圈圖與簡單圖的冠圖的D(2)-點和可區別邊染色的界

摘要： 利用組合零點定理、 構造染色法和數學歸納法， 研究圈圖與簡單圖的冠圖的D（2）-點和可區別邊染色問題， 得到了圈圖與簡單圖的冠圖的D（2）-點和可區別邊色數的界為Δ（G）+1， 進而推出路圖與簡單圖的冠圖的界為Δ（G）+1.

關鍵詞： 圈圖; 簡單圖; 冠圖; D（2）-點和可區別邊染色; D（2）-點和可區別邊色數

中圖分類號： O157.5文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0375-07

Bound ofD（2）-Vertex Sum Distinguishing Edge-Coloring ofCorona Graph of a Cycle andSimple Graphs

HE Jing， QIANG Huiying

（School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： We studied the D（2）-vertex sum distinguishing edge-coloring problem of the corona graph of a cycle and a simple

graphs by using combinatorial 1stellensatz， constructing coloring function and mathematical induction. We obtainedthat the bound of D（2）-vertex sum distinguishing

edge-coloring of the corona graph of a cycle and a simple graphs was Δ（G）+1， and then we derived that the bound of the corona graph of a path and a simple graphs was Δ（G）+1.

Keywords： cycle graph; simple graph; corona graph; D（2）-vertex sum distinguishing edge-coloring; D（2）-vertex sum distinguishing edge

-coloring number

收稿日期： 2024-04-02. 網絡首發日期： 2024-09-04.

第一作者簡介： 何 靜（2000—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事圖論的研究， E-mail： 1947194097@qq.com. 通信作者簡介： 強會英（1968—）， 女， 漢族，

碩士， 教授， 從事圖論及其應用的研究， E-mail： qhy2005ww@126.com.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 61962035）.

網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.o.20240902.1630.001.

目前， 關于圖染色問題的研究已有很多結果， 如D（β）-點和可區別邊染色（記為D（β）-VSDEC）等^［1-3］.本文在D（β）-VSD

EC的基礎上， 研究圈圖與簡單圖的冠圖的D（2）-VSDEC問題， 得到了其D（2）-VSDEC的一個上界.

本文討論的圖均為有限、 無向的簡單圖， 分別用V（G），E（G），Δ（G）表示圖G的頂點集、 邊集、 最大度. 令C={1，2，…，k}為k-色集， C（u）稱為點

u的色集合， 記{v1v2，v2v3，…，vn-1vn}→{a1，a2，…，an}表示邊v1v2，v2v3，…，vn-1vn所染顏色序列，

d（Δ，Δ）表示圖G中兩個最大度點之間的距離， S（u）表示與u點關聯邊的顏色數之和. 其他未說明的術語參見文獻［4-16］.

1 預備知識

定義1^［1］設f為圖G的一個k-正常邊染色， uv∈E（G）， 有S（u）≠S（v）， 其中S（u）=∑uv∈E（G） f（uv）， 則f

稱為G的一個k-鄰和可區別邊染色. 使得G存在k-鄰和可區別邊染色的最小顏色數k稱為G的鄰和可區別邊色數， 記為χ′Σ（G）.

定義2^［2］令f是圖G的一個k-正常邊染色， u，v∈V（G）， 若dG（u，v）≤2， 則S（u）≠S（v）， 其中S（u）

=∑uωεE（G） f（uω）， 則f稱為圖G的2-距離和可區別邊染色. 染色中用到的最小顏色數k稱為G的2-距離和可區別邊色數， 記為χ′2-Σ（G）.

引理1^［2］對于簡單圖G， χ′2-Σ（G）≥χ′Σ（G）≥Δ

（G）， 若圖G存在兩個距離不超過2的最大度點， 則χ′2-Σ（G）≥Δ（G）+1.

引理2（組合零點定理）^［4］令F為任一數域， Q=Q（x1，x2，…，xn）為F上的多項式， 設deg（Q）=∑ni=1ki，

其中ki為非負整數， 且CQ（x^k11x^k22…x^knn）≠0， 若S1，S2，…，SnF且

Sigt;ki（1≤i≤n）， 則存在s1∈S1， s2∈S2，…，sn∈Sn， 使得Q（s1，s2，…，sn）≠0.

引理3^［5］設Q（x1，x2，…，xn）=∏1≤ilt;j≤n（xi-xj）2∑ni=1

xin是關于n個變量的多項式， 其中n≥2， 則多項式Q中最高次項（x1x2x3…xn）n的系數CQ（（x1x2x3…xn）n）≠0.

引理4^［6］設Cm是m（m≥3）階的圈， Pn是n（n≥3）階的路， 則χ′2-Σ（CmPn）=n+3.

引理5^［6］設Cm是m（m≥3）階的圈， Cn是n（n≥3）階的圈， 則χ′2-Σ（CmCn）=n+3.

引理6^［6］對完全圖Kn（n≥3）， 有χ′2-Σ（Kn）=χ′Σ（Kn）=

n，n≡1（mod 2），n+1，n≡0（mod 2）.

定義3^［7］簡單圖G和H的冠圖（記為GH）是指將H復制V（G）次， 把第i個H中的每個頂點與G中第

i個頂點相連接（1≤i≤V（G））.

特別地， 當H為r階空圖時， 圖GH稱為r-冠圖， 記為Ir（G）. 1-冠圖簡稱為冠圖， 記為I（G）.

2 主要結果

定理1 對于冠圖Ir（Cn）（r≥1， n≥3）， 有χ′2-Σ（Ir（Cn））=

Δ+2，n=5且r=1;Δ+1，其他.

證明： 由于Δ（Ir（Cn））=r+2， 因此根據引理1得

χ′2-Σ（Ir（Cn））≥Δ（Ir（Cn））+1=r+3.

記V（Ir（Cn））={v1，v11，v12，…，v1r，v2，v21，v22，…，v2r，…，vn，vn1，vn2，…，vnr}，

E（Ir（Cn））={vivi+1（mod n）1≤i≤n}∪{vivij1≤i≤n， 1≤j≤r}.

根據H的階數r分以下3種情形討論.

圖1 I1（C5）Fig.1 I1（C5）

情形1） 當r=1， n=5時， Δ（I1（C5））=3， χ′2-Σ（I1（C5））≥4.

假設χ′2-Σ（I1（C5））=4， 由C34=4知， 這4種組合的和互不相同， 而圖I1（C5）任意d（Δ，Δ）≤2， 需要5種不同的顏色數之和， 因此4種

顏色不夠染， 故χ′2-Σ（I1（C5））≥Δ+2=5. 下面給出I1（C5）的一個5-D（2）-VSD-邊染色以及各點的顏色數之和， 如圖1所示.

情形2） 當1≤r≤4時， Ir（Cn）中存在d（Δ，Δ）≤2， 由引理1知χ′2-

Σ（Ir（Cn））≥Δ（Ir（Cn））+1. 下面給出冠圖Ir（Cn）的一個Δ（Ir（Cn））+1-D（2）-VSD-邊染色.

① 當n≡0（mod 3）時， 邊染色φ為φ（vivij）=j+3（1≤i≤n; 1≤j≤4）， 邊v1v2，v2v3，…，vnv1用顏色1，2，3循環染色. 此時， 各點的顏色數之和為S（vij）=j+3（1≤i≤n; 1≤j≤4），

S（vi）=j2+7j+82，i≡1（mod 3），j2+7j+62，i≡2（mod 3），

j2+7j+102，i≡0（mod 3），1≤i≤n， 1≤j≤4.

② 當n≡1（mod 3）時， 只需對①中部分邊的染色做如下調整： 邊染色φ為φ（vnv1）=4， φ（v1v11）=2， φ（v2v21）=3， φ

（vnvn1）=1; 其余各邊的染色方法同①. 此時， 各點的顏色數之和為

S（v1）=j2+7j+62， S（v2）=j2+7j+42， S（vn）=j2+7j+82， 1≤j≤4.

正常邊染色條件下， 1度頂點易和可區別， 其余各點的顏色數之和均與①相同.

③ 當n≡2（mod 3）且n≠5時， 只需對②中部分邊的染色做如下調整： 邊染色φ為φ（vn-3vn-4）=4， φ（vn-2vn-3）=1， φ

（vn-1vn-2）=2， φ（vnvn-1）=3， φ（vn-1v（n-1）1）=4， φ（vn-2v（n-2）1）=3， φ（vn-3v（n-3）1）=2， φ（vn-4v（n-4）1）=1; 其余各邊的染色方法同②.

此時， 各點的顏色數之和為

S（vn-1）=j2+7j+102，S（vn-2）=j2+7j+42，S（vn-3）=j2+7j+62，

S（vn-4）=j2+7j+82， 1≤j≤4.

正常邊染色條件下， 1度頂點易和可區別， 其余各點的顏色數之和均與②相同.

特別地， 當n=5時， Ir（C5）的Δ（Ir（C5））+1-D（2）-VSD-邊染色如圖2所示. 此時各點的顏色數之和為

S（v1）=j2+7j+82， S（v2）=j2+7j+62， S（v3）=j2+7j+42，S（v4）=j

2+7j+22， S（v5）=j2+7j+102，2≤j≤4.

故2-距離內和可區別.

情形3） 當r≥5時， 記G′=G-{v1v1r}， 如圖3所示.

圖2 Ir（C5）（1≤r≤4）Fig.2 Ir（C5）（1≤r≤4）

圖3 Ir（Cn）Fig.3 Ir（Cn）

假設G′存在Δ（G′）+1-D（2）-VSD-邊染色φ′. 下面將染色φ′ 擴展為圖G的Δ（G）+1-D（2）-VSD-邊染色φ. 因為r≥5， 所以1度點和（r+2）度點易D（2）-和可區別. 下面對邊v

1v11，v1v12，…，v1v1r重新染色. 令φ（v1v1m）=xm（1≤m≤r）， 其中r=Δ（G）-2， 所得的染色為正常邊染色. 令Sm表示xm

的可用顏色集， 則Sm=（Δ（G）+1）-2=Δ（G）-1（1≤m≤r）， 由染色條件得多項式：

Q（x1，x2，…，xr）=∏1≤mlt;n≤r（xm-xn）∑rs=1xs+φ′（vnv1）+φ′

（v1v2）-SG′（vn）×∑rs=1xs+φ′（vnv1）+φ′（v1v2）-SG′（v2）×∑rs=1

xs+φ′（vnv1）+φ′（v1v2）-SG′（vn-1）×∑rs=1xs+φ′（vnv1）+φ′（v1v2）-SG′（v3）.

去掉Q（x1，x2，…，xr）中的常數得

（x1，x2，…，xr）=∏1≤mlt;n≤r（xm-xn）∑rs=1xs4.

令1（x1，x2，…，xr）=（x1，x2，…，xr）∏1≤mlt;n≤r（xm-xn）∑rs=

1xsθ， 可得

′1（x1，x2，…，xr）=∏1≤mlt;n≤r（xm-xn）2∑rs=1xsr.

由引理2和引理3得， C1（（x1x2…xr）r）=C′1（（x1x2…xr）r）≠0， 且存在s1∈S1， s2∈S2， …， sr∈Sr滿足1（s1，s2，…

，sr）≠0， 是1的一個因式， 因此（x1，x2，…，xr）≠0， 即χ′2-Σ（G）≤Δ（G）+1. 證畢.

定理2 設Cn是n（n≥3）階的圈， H是m（m≥2）階的連通圖， 則有χ′2-Σ（CnH）≤Δ+1.

證明： 根據CnH的結構知， Δ（CnH）=m+2， 且存在d（Δ，Δ）≤2. 由引理1可知χ′2-Σ（

CnH）≥Δ+1. 設Cn=v1v2v3…vnv1， 與vi相鄰的點記為vi1，vi2（1≤i≤n）. 下面根據m的大小分3種情形討論.

情形1） 當m=2時， H=P2. Δ（CnP2）=4且d（Δ，Δ）≤2， 故χ′2-Σ（CnP2）≥5. 下面給出CnP2的5-D（2）-VSD-邊染色.

① 當n≡0（mod 3）時， 邊染色φ為φ（vivij）=j+3， φ（vi1vi2）=1（1≤i≤n， 1≤j≤2）; 邊v1v2，v2v3，…，vnv1按1，2，3 循環染色. 此時， 各點的顏色數之和為

{S（v1），S（v2），…，S（vn）}→{13，12，14，…，13，12，14}， S（vij）=j+4， 1≤i≤n， 1≤j≤2，

易見染色方法是2-距離內點和可區別的.

② 當n≡1（mod 3）時， 邊染色φ為φ（vivi2）=5（1≤i≤n）， φ（vivi1）=4（2≤i≤n-2）， φ（v1v11）=3， φ（vnvn1）=2，

φ（vn-1v（n-1）1）=1， φ（vi1vi2）=1（i≠n-1）， φ（v（n-1）1v（n-1）2）=2， {v1v2，v2v3，…，vnv1}→{1，2，3，…，1，2，3，4}.

此時， 各點的顏色數之和為{S（v1），S（v2），…，S（vn-2）}→{13，12，14，…，13，12，14}， S（vn）=14， S（vn-1）=11， S（vij）=j+4（2≤i≤n-2; 1≤j≤2

）， S（v（n-1）1）=3， S（v（n-1）2）=7， S（vn1）=3， S（vn2）=6， S（v11）=4， S（v12）=6， 易見染色方法是2-距離內點和可區別的.

③ 當n≡2（mod 3）時， 根據不同n值分下列3種情形討論.

（i） 當n=5時， 給出C5P2的一個Δ+1-D（2）-VSD-邊染色及各點的顏色數之和， 如圖4所示.

（ii） 當n=8時， 給出C8P2的一個Δ+1-D（2）-VSD-邊染色及各點的顏色數之和， 如圖5所示.

圖4 C5P2Fig.4 C5P2

圖5 C8P2Fig.5 C8P2

（iii） 當n≠8時， φ（vivi2）=5（1≤i≤n）， φ（vivi1）=4（i≠3，4，5，7，8，9）， φ（v3v31）=φ（v7v71）=1， φ（v4v41）=φ（v

8v81）=2， φ（v5v51）=φ（v9v91）=3， {v1v2，v2v3，…，v8v9，v9v10，v10v11，…，vn-1

vn，vnv1}→{1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，…，1，2，3}， φ（vi1vi2）=1（i≠3，7）， φ（v31v32）=φ（v71v72）=2.

此時， 各點的顏色數之和為{S（v1），S（v2），…，S（vn）}→{13，12，11，14，13，12，11，14，13，12，14，13，12，14，…，13，12，14}， S（vij）=j+4（i≠3，4，5，7，8，9， 1≤j≤2）， S（v

31）=S（v41）=S（v81）=S（v71）=3， S（v32）=S（v72）=7， S（v51）=S（v91）=4， S（v42）=S（v52）=S（v82）=S（v92）=6， 易見染色方法是2-距離內點和可區別的.

情形2） 當m=3時， H=P3或C3， 由引理4和引理5可知結論成立.

情形3） 當m≥4時， 根據圖H最大度點的分布特點， 分以下兩種情形討論.

① 當簡單圖H上的每個點都是最大度點， 且度數均為m時， 設Cn=v1v2v3…vnv1， 與vi相鄰的點記為vi1，vi2，vi3，vi4（1≤i≤n）. 下面對階數m進行歸納.

（i） 當m=4時， 給出CnH的Δ+1-D（2）-VSD-邊染色.

當n≡0（mod 3）時， 邊染色ψ為ψ（vivij）=j+3（1≤i≤n， 1≤j≤4）， ψ（vi1vi3）=ψ（vi2vi4）=1， ψ（vi1vi4）=ψ（vi2vi3

）=2， ψ（vi1vi2）=ψ（vi3vi4）=3（1≤i≤n）. 邊v1v2，v2v3，…，vnv1用顏色1，2，3循環染色.

此時， 各點的顏色數之和為{S（vi1），S（vi2），S（vi3），S（vi4）}→{10，11，12，13}， {S（v1），S（v2），…，S（vn）}→{26，25，27，…，26，25，27}（1≤i≤n）.

當n≡1（mod 3）時， 只需對n≡0（mod 3）情形中的染法做如下調整： 邊染色ψ為ψ（v1v11）=2， ψ（v2v21）=3， ψ（vnvn1）=1， ψ（vnv1）=4，

ψ（v11v14）=ψ（v12v13）=ψ（v21v22）=ψ（v23v24）=ψ（vn1vn3）=ψ（vn2vn4）=4; 其余各邊均按n≡0（

mod 3）情形中的染色方法進行染色. 此時， 各點的顏色數之和為S（v1）=25， S（v2）=24， S（v22）=12， S（v12）=S（v23）=13， S（v13）=S（v24）=S（vn2）=14，

S（v14）=S（vn3）=15， S（vn4）=16， 其余各點的顏色數之和均與n≡0（mod 3）情形中相同.

當n≡2（mod 3）且n≠5時， 只需對n≡1（mod 3）情形中的染法做如下調整： 邊染色ψ為ψ（vn-4v（n-4）1）=1， ψ（vn-3v（n-3）1）=2， ψ（vn-2v（n-2）1）

=3， ψ（vn-4vn-3）=4， ψ（vn-3vn-2）=1， ψ（vn-2vn-1）=2， ψ（vn-1vn）=3， ψ（v（n-4）1v（n-4）3）=ψ（v

（n-4）2v（n-4）4）=ψ（v（n-3）1v（n-3）4）=ψ（v（n-3）2v（n-3）3）=ψ（v（n-2）1v（n-2）2）=ψ（v（n-2）3v（n-2）4）=4; 其余各點均按n≡

1（mod 3）情形中的染色方法進行染色. 此時， 各點的顏色數之和為S（vn-2）=24， S（vn-1）=27， S（v（n-4）2）=S（v（n-3）3）=S（v（n-2）4）=14， S（v（n-4）3）=S（v（n-3）4）=15， S（v

（n-4）4）=16， S（v（n-2）2）=12， S（v（n-3）2）=S（v（n-2）3）=13; 其余各點的顏色數之和均與n≡1（mod 3）情形中相同.

圖6 C5K4Fig.6 C5K4

特別地， 當n=5時， 給出C5K4的Δ+1-D（2）-VSD-邊染色以及各點的顏色數之和， 如圖6所示.

（ii） 當m≥5時， 假設冠圖CnH′中圖H′的階數為m， CnH′存在χ′2-Σ（Cn

H′）≤Δ′+1. 下面根據m的奇偶性對（m+1）階圖H進行歸納討論.

當m為奇數時， H′為Km，χ′2-Σ（CnH′）≤Δ′+1. 給H′增加一個點， 使得圖H加上對應圈上的點所構成的圖是Km

+2， 且m+2為奇數， Δ（CnH）=m+3. 根據引理6可知， 圖Km+2存在m+2-D（2）-VSD-邊染色， 且每個點所缺的顏色不同. 因為冠圖CnH存在d

（Δ，Δ）≤2， 由引理1可知， 圖CnH至少需要（m+4）種顏色. 故用剩余的1+（m+4）-（m+2）=3種顏色去染圈Cn上的邊.

不妨設用1，2，…，（m+2）種顏色對與v1關聯的Km+2進行正常染色， 使得（v1）={1}. 邊vnv1染顏色1， 剩余的兩種顏色m+3，m+4染邊v1v2. 設v

1v2為顏色m+3， 此時v1點的顏色集和為（m+4）（m+3）2， 不同于S（v1j）（1≤j≤m）. 用顏色1，2，…，m+1，m+3對與vn關聯的K

m+2進行正常染色， 使得（vn）={1}. 因為vnv1的顏色為1， 故還剩顏色m+2和m+4. 用顏色m+4去染邊vn-1vn， 此時

S（vn）=m2+7m+162≠S（v1）=m2+7m+122，

且（v1）={m+4}， （vn）={m+2}， （v1i）={m+3，m+4，x}（x∈［2，m+2］）. 易見染色方法是2-距離和可區別的.

因為v1點在2-距離以內的同度點至多有5個， 且m≥5， m+4≥9， 按上述染色方法， 易做到D（2）-VSD-邊染色. 故當m為奇數時， χ′

2-Σ（CnH）≤Δ+1.

當m為偶數時， 與m為奇數時的情形討論類似. 由引理6知， 圖Km+2 存在m+3-D（2）-VSD-邊染色， 且每個點所缺的顏色不同. 由冠圖的結構特點和引理1可知， 圖CnH

至少需要（m+4）種顏色. 故用剩余的2+（m+4）-（m+3）=3種顏色去染圈Cn上的邊.

同理， 不妨用顏色1，2，…，m+3對與v1關聯的Km+2進行正常染色， 使得（v1）={1，2}. 用剩余的3種顏色去染圈Cn上的邊. 邊vnv

1染顏色1， 邊v1v2染顏色2. 此時v1 點的顏色集和為S（v1）=m2+7m+122， 不同于S（v1j）（1≤j≤m）. 用顏色1，2，…，m+2，m+4

對與v2關聯的Km+2進行正常染色， 使得（v2）={2，x}， x∈{1，3，4，…，m+2，m+4}. 因為邊v1v2的顏色為2， 故還剩顏色x

和顏色m+3. 用顏色x去染邊v2v3， S（v2）≠S（v1）滿足條件. 此時（v1）={m+4}， （v2）={m+3}， （v1i）=

{m+4，y，z}（y，z∈［1，m+3］且y≠z）. 易見染色方法是2-距離和可區別的.

同理， 按照上述染色方法， 易做到D（2）-VSD-邊染色. 故當m為偶數時， χ′2-Σ（CnH）≤Δ+1.

② 當簡單圖H上的每個點不全是最大度點時， 根據最大度點的情況分以下兩種情形討論.

（i） 當H有唯一的最大度點時， 不妨設圖H的最大度最大為P， Δ（CnH）=P+2， 且存在d（Δ，Δ）≤2， 故圖CnH至少需要（P+3）種顏色. 此時P≥4， 且C^P+2

P+3=P+3≥7， 這C^P+2P+3種組合的和互不相同. 在圈Cn上2-距離內的點至多有5個， 易做到D（2）-VSD-邊染色. 而對于H， 用P種顏色即可. 此時， P

度點和（P+2）度點易做到D（2）-VSD-邊染色. 當圖H的最大度小于P 時， 顯然. 故當H有唯一最大度點時結論成立.

（ii） 當H至少有2個最大度點時， 不妨設圖H的最大度最大為P， 故圖H至少需要（P+1）種顏色實現D（2）-VSD-

邊染色. 圖CnH至少需要（P+3）種顏色. C^P+1P+3=（P+3）（P+2）2P+2≥2P+3， 這（2P+3）種組合的和互不相同， 因此圖H能做到（P+1）-D（2）-

VSD-邊染色. 此時， P度點與（P+2）度點易做到D（2）-VSD-邊染色. 圈Cn上的點同情形（i）. 故當H至少有2個最大度點時結論成立.

綜上可知， GH存在（Δ+1）-D（2）-VSD-邊染色.

推論1 設Pn是n（n≥2）階的路， H是m（m≥1）階的連通圖， 則有χ′2-Σ（PnH）≤Δ+1.

證明： 由于PnH與CnH的結構相同， 故類似定理2的證明可知結論成立.

參考文獻

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（責任編輯： 趙立芹）