單圈圖和雙圈圖的次大次小約化Sombor指標

摘要： 首先， 利用圖形變換及獨特的分類方法解決n（n≥5）階單圈圖的約化Sombor指標最大、 次大和次小以及對應(yīng)的極圖問題; 其次， 考慮n（n≥6）階雙圈圖的約化Sombor指標次大、 次小以及對應(yīng)的極圖問題， 給出n（n≥5）階單圈圖最大、 第二大以及第二小的約化Sombor指標， 并刻畫對應(yīng)的極圖; 同時還確定了n（n≥6）階雙圈圖第二大和第二小的約化Sombor指標及所對應(yīng)的極圖.

關(guān)鍵詞： 約化Sombor指標; 單圈圖; 雙圈圖; 極圖

中圖分類號： O157.5文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0382-09

Second-Maximum and Second-Minimum Values ofReduced Sombor Index in Unicyclic and Bicyclic Graphs

TAN Huan， ZHAO Biao

（College of Mathematics and System Science， Xinjiang University， Urumqi 830017， China）

Abstract： Firstly， we solved the problem of the maximum， second-maximum and second-minimum values of the reduced Sombor index

of n（n≥5） orderunicyclic graphs， and the corresponding extremal graphs by usinggraphical transformations and unique classification methods. Secondly， we considered the problems of the

second-maximum and second-minimum values of the reduced Sombor indexof n（n≥6） order bicyclic graphs， and the corresponding extremal graphs， gave the maximum， second-maximum

and second-minimum values of the reduced Sombor indexofn（n≥5） orderunicyclic graphs， and characterized the corresponding extremal graphs. At the same time，

we also confirmed the second-maximum and second-minimumvalues of the reduced Sombor indexofn（n≥6） order bicyclic graphs， and the corresponding extremal graphs.

Keywords： reduced Sombor index; unicyclic graph; bicyclic graph; extremal graph

收稿日期： 2024-07-12.

第一作者簡介： 譚 歡（1999—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事圖論及其應(yīng)用的研究， E-mail： tan_hcj@163.com. 通信作者簡介：

趙 飚（1966—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事圖論及其應(yīng)用的研究，E-mail： zhb_xj@163.com.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12161085）和新疆維吾爾自治區(qū)自然科學基金（批準號： 2021D01C069）.

1 引言與預(yù)備知識

設(shè)V（G）為頂點集， E（G）為邊集， 其連通圖G=（V（G），E（G））， V（G）和E（G）分別為圖G的階數(shù)和邊數(shù). 點u的開鄰域NG（u）表示G中點u的所有鄰點集合， 簡寫為N（u）. G中任意點u的度是其開鄰域的階數(shù)， 用dG（u）表示. 當dG（u）=1時， 稱u是G的懸掛點. 圖G的最大度和最小度分別用Δ（G）和δ（G）表示. 對于uv∈E（G）， 用G-uv表示從G中刪除邊uv得到的G的子圖， 對于G的兩個不相鄰頂點u和v， 用G+uv表示由G 加邊uv得到的圖. 同一圖G的不相鄰頂點x和y是指將圖G的不相鄰頂點x和y替換為單個頂點， 該頂點與G中和x或y相鄰的所有邊相鄰， 用G/{x，y}表示所得到的圖. 收縮圖G的一條邊e=xy是指刪除該邊， 然后將其兩端點x，y同一化， 所得到的圖用G/e表示， 則有G/e=（G-xy）/{x，y}. Pn表示n個頂點的路， Sn表示n個頂點的星圖. 當n≠2時，其中度最大的點稱為星圖的中心; 當n=2時， 任選一點均為星圖的中心. Tn表示n個頂點的樹， Cn表示n個頂點的圈， Kn表示n個頂點的完全圖， 其他相關(guān)術(shù)語可參考文獻［1］.

設(shè)e=uv∈E（G）， 有序數(shù)對（dG（u），dG（v））稱為邊e的度坐標. 在平面直角坐標系中， 邊e的度坐標對應(yīng)的點稱為邊e的度點， 邊e的度點到坐標系原點的距離dG（u）2+dG（v）2稱為邊e的度半徑. 在化學分子圖中， 兩條邊的度半徑相等當且僅當它們有相同或?qū)ε嫉亩茸鴺? 基于邊的度坐標與幾何距離的對應(yīng)關(guān)系， Gutman^［2］引入了圖的Sombor指標以及約化Sombor指標的概念：

SO（G）=∑uv∈E（G）dG（u）2+dG（v）2，（1）SOred（G）=∑uv∈E（G）

（dG（u）-1）2+（dG（v）-1）2.（2）

關(guān)于上述兩個指標的研究目前已有很多結(jié)果^［2-11］.Deng等^［3］解決了分子樹約化Sombor指標的極值； Liu等^［4］確定了單圈圖的最小約化Sombor指標； Dorjdembe等^［5］給出了雙圈圖的約化Sombor極值， 并刻畫了相應(yīng)的極圖； Liu等^［6］確定了有關(guān)化學樹、 化學單圈圖、 化學雙圈圖和化學三圈圖的Sombor指標和約化Sombor指標排序； Tan等^［11］研究了單圈圖和雙圈圖的次大、 次小Sombor指標.

本文考慮單圈圖和雙圈圖的約化Sombor指標， 給出給定階數(shù)為n（n≥5）的單圈圖的最大、 第二大及第二小的約化Sombor指標， 并刻畫約化Sombor指標達到最大、 第二大及第二小時所對應(yīng)的極圖; 同時確定n（n≥6）階雙圈圖第二大和第二小的約化Sombor指標， 并刻畫約化Sombor指標達到第二大和第二小時對應(yīng)的極圖.

為找到單圈圖和雙圈圖關(guān)于第二大的約化Sombor指標和第二小的約化Sombor指標， 下面分別給出一些圖的變換， 使得約化Sombor指標嚴格遞增或者嚴格遞減的引理.

定義1^［11］圖G中， 令P=ux1x2…xk是一個k長路， 其中dG（u）≥3， dG（xk）=1且dG（xi）=2

， i=1，2，…，k-1， 則P稱為圖G的一個懸掛路， 點u稱為懸掛路P的起點.

定義2^［11］令M=uu1u2…ukv是圖G的一條k+1長路， 其中uv≠E（G）， dG（u）≥2， dG（v）≥2， dG（ui）=2， i=1，2，…，k， k≥1， 則M稱為圖G的一個內(nèi)路.

引理1 設(shè)wv是連通圖G的一條邊， 其中d（w）≥3， d（v）≥2， 令P=wu1u2…ur-1ur是圖G的一條懸掛路， 若G′=G-wv+vur ， 則SOred（G）gt;SOred（G′）.

證明： 令G1=G-{v，u1，…，ur-1，ur}， x=dG（w）≥3， y=dG（v）≥2. 下面考慮以下兩種情形.

情形1） rgt;1. 由約化Sombor指標的定義， 有

SOred（G）-SOred（G′）=∑v0∈NG1（w）[（dG（v0）-1）2+（x-1）2-

（dG（v0）-1）2+（x-2）2]+［（x-1）2+（2-1）2-（x-2）2+（2-1）2]+［（x-1）2+（y-1）2-（2-1）2+（y-1）2]

+［（2-1）2+（1-1）2-（2-1）2+（2-1）2]gt;［（x-1）2+1-（x-2）2+1]+1-2

≥5-2+1-2gt;0，

即SOred（G）gt;SOred（G′）.

情形2） r=1， 即G′=G-vw+vu1， G1=G-{v，u1}. 由約化Sombor指標的定義， 有

SOred（G）-SOred（G′）=∑v0∈NG1（w）[（dG（v0）-1）2+（x-1）2-（dG（v0）-1）2+（x-2）2]+［（x-1）2+（1-1）2-（x-2）2+（2-1）2]+［（x-1）2+（y-1）2-（2-1）2+（y-1）2]

gt;（x-1）2-（x-2）2+1.

由于x≥3， 則（x-1）2-（x-2）2-1=2x-4gt;0， 即SOred（G）gt;SOred（G′）.

綜上， SOred（G）gt;SOred（G′）， 結(jié)論得證.

引理2^［5］設(shè)P，Q是圖G源點分別為u，v的兩條懸掛路， 特別地， 若x是懸掛路P上u的鄰點， y是懸掛路Q上的懸掛點， 若G′=G-ux+xy ， 則SOred（G）gt;SOred（G′）.

k-圈圖是具有n個頂點， m=（n+k-1）條邊的連通圖. 顯然可得如下推論.

推論1 設(shè)圖G是n個頂點、 k（k≥1）個懸掛點的k-圈圖， 則存在一個n個頂點、 （k-1）個懸掛點的k-圈圖G′， 使得SOred（G）gt;SOred（G′）.

引理3 設(shè)圖G是n個頂點的連通圖， M=xu1u2…uky是G的一個內(nèi)路， zw為圖G的一條邊， 其中w是G的懸掛點， 若G′

=G-xu1-yuk+xy+wu1， 則SOred（G）≥SOred（G′）， 其中等號成立當且僅當x，z的度為2或者y，z的度為2.

證明： 顯然有

dG（x）=dG′（x）=d（x）≥2， dG（y）=dG′（y）=d（y）≥ 2， dG（z）=dG′（z）=d（z）≥2，

考慮單減函數(shù)f（t）=t2+1-t， tgt;0， 則有f（t）≤f（1）=2-1， t≥1. 根據(jù)約化Sombor指標的定義， 有

SOred（G）-SOred（G′）=（d（x）-1）2+1+（d（y）-1）2+1-（d（x）-1）2+

（d（y）-1）2-[（d（z）-1）2+1-（d（z）-1）2]-1≥（d（x）-1）2+1+（d（y）-1）2+1-（d（x）-1）

2+（d（y）-1）2-2≥0，（3）

故SOred（G）-SOred（G′）≥0成立. 特別地， 當d（z）=2時， 第一個不等號取等號; 當d（x）=2或者當d（y）=2時， 第二個不等號取等號. 綜上， 當且僅當x，z的度為2或者y，z的度為2時， 式（3）取等號， 結(jié)論得證.

引理4^［5］設(shè)G是在所有n個頂點、 m條邊的連通圖中具有最大約化Sombor指標的圖， 則Δ（G）=n-1.

引理5 設(shè)G是連通圖， uv∈E（G）， 且dG（u）≥2， dG（v） ≥2， NG（u）＼{v}∩NG（v）＼{u}=. 令G

′是將G中的uv邊收縮為點w， 并添加一個與w相鄰的懸掛點， 則有 SOred（G′）gt;SOred（G）.

證明： 令x=dG（u）≥2， y=dG（v）≥2， 由約化Sombor指標的定義可得

SOred（G）-SOred（G′）=∑v0∈NG（u）＼{v}[（dG（v0）-1）2+（x-1）2-（dG（v0）-1）2+（x+y-2）2]

+∑v1∈NG（v）＼{u}[（dG（v1）-1）2+（y-1）2-（dG（v1）-1）2+（x+y-2）2]+［（x-1）2+（y-1）2-（x+y-2）2+（1-1）2]

lt;（x-1）2+（y-1）2-（x+y-2）2=［（x-1）2+（y-1）2-（x-1）2+（y-1）2+2（x-1）（y-1）].

因為x，y≥2， 故SOred（G）-SOred（G′）lt;0成立. 結(jié)論得證.

易得n個頂點的樹中具有最大Sombor指標的是Sn. 故可得如下推論.

推論2 設(shè)G是有n個頂點、 圍長為i（i≥4）的連通圖， 則存在一個n個頂點、 圍長為i-1的連通圖G′， 滿足SOred（G′）gt;SOred（G）.

引理6^［7］設(shè)l（x，y）=x2+y2-（x-1）2

+y2， 其中x≥2， y≥1， 則有l(wèi)（x，y）gt;0， 且l（x，y）隨著x的增大而嚴格遞增， 隨著y的增大而嚴格遞減.

雙星圖是用一條邊連接Sa的中心和Sn-a的中心形成的圖， 用Sa，n-a表示.

引理7 令S ={Sa，n-aa=2，…，n/2}， 其中Sa，n-a為雙星

圖， 則SOred（S2，n-2）gt;SOred（S3，n-3）gt;…gt;SOred（Sn/2，

n/2）.

證明： 由約化Sombor指標的定義可得

SOred（Sa+1，n-a-1）-SOred（Sa，n-a）=aa2+a2+（n-a-2）2+（n-a-2）（n-a-2）2-（a-1）（a-1）2-（a-1）2+（n-a-1）2-（n-a-1）（n-a-1）2

=（a-1）[a2-（a-1）2]-（n-a-2）[（n-a-1）2-（n-a-2）2]

+［a2-（n-a-1）2]+[a2+（n-a-2）2-（a-1）2+（n-a-1）2]

=［（a-1）-（n-a-2）]+[a-（n-a-1）]+［a2+（n-a-2）2-（a-1）2+（n-a-2）2]

-［（n-a-1）2+（a-1）2-（n-a-2）2+（a-1）2]=2（2a-n+1）+［l（a，n-a-2）-l（n-a-1，a-1）］.

由于2≤a≤n/2-1， 因此2alt;n-1， 利用引理6， 又有l(wèi)（a，n-a-2）lt;l（n-a-1，a-1）. 從而SOred（Sa+1，n-a-1）lt;SOred（Sa，n-a）. 結(jié)論得證.

2 主要結(jié)果

為得到單圈圖與雙圈圖的次大次小約化Sombor指標， 本文按照懸掛點的個數(shù)或者圍長的不同分類， 使得約化Sombor指標單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減.

2.1 單圈圖的約化Sombor指標

設(shè)U（n）為具有n個頂點的單圈圖類. 令G∈U（n）， 由文獻［4］和引理4可知

SOred（Cn）≤SOred（G）≤SOred（UΔ），

其中UΔ是最大度為n-1的單圈圖. 因此， 對單圈圖類已有了最小和最大的約化Sombor指標， 下面考慮第二小的約化Sombor指標和第二大的約化Sombor指標.

2.1.1 單圈圖的第二小約化Sombor指標

設(shè)Ui是有n個頂點、 i個懸掛點的單圈圖類， 其中0≤i≤n-3， 則U（n）=∪n-3i=0Ui.特

別地， 有U0={Cn}， U1={Ukn-k， 1≤k≤n-3}， 其中Ukn-k

是圍長為n-k、 懸掛路為k長的單圈圖. 因此在單圈圖中， 具有第二小約化Sombor指標的圖在U（n）＼U0=∪n-3

i=1Ui中.

由推論1可得

min{SOred（G）G∈Ui}lt;min{SOred（G）G∈Ui+1}，

min{SOred（G）G∈Uk}=min{SOred（G）G∈∪n-3j=kUj}.

從而可得具有第二小值的約化Sombor指標的單圈圖是U1中具有最小值的約化Sombor指標對應(yīng)的圖， 于是有

SOred（U1n-1）=2（n-3）+25+2，SOred（Ukn-k）=2（n-4）+35+1，

其中2≤k≤n-3. 通過計算可知SOred（Ukn-k）lt;SOred（U1n-1）， 2≤k≤n-3， 從而有如下結(jié)論成立.

定理1 設(shè)G是n個頂點的單圈圖， 則SOred（G）取到第二小值當且僅當GUkn-k， 其中2≤k≤n-3，

SOred（G）=2（n-4）+35+1.

2.1.2 單圈圖的第二大約化Sombor指標

令Un，g是有n個頂點、 圍長為g的單圈圖類， 3≤g≤n， 則有U（n）=∪ng=3Un，g. 由推論2可得

max{SOred（G）G∈Un，g}gt;max{SOred（G）G∈Un，g+1}，

max{SOred（G）G∈Un，k}=maxSO

red（G）G∈∪nj=kUn，j.

從而有

max{SOred（G）G∈Un，3}gt;max{SOred（G）G∈U

n，4}=max{SOred（G）G∈U（n）＼Un，3}.

顯然， 在Un，3中已有SOred（UΔ）為其最大值， 下面需找到Un，3中第二大的約化Sombor指標， 即

max{SOred（G）G∈Un，3＼{UΔ}}; 同時， 還需確定Un，4中的最大約化Sombor指標， 即max{

SOred（G）G∈Un，4}， 故兩個值中較大的即為單圈圖的第二大約化Sombor指標.

圖1 G0和G1的示意圖Fig.1 Schematic diagrams ofG0 and G1

設(shè)圖G∈Un，3， v1，v2，v3 是G中三角形的3個頂點， 其中Tni是G-{v1v2，v2v3，v3v1}中包含點vi、頂點個數(shù)為ni的

樹， i=1，2，3， 則n1+n2+n3=n， 并記G=U（Tn1，Tn2，Tn3）. 特別地， 如果TniSni， 且vi是Sni的中心， 則U（Tn

1，Tn2，Tn3）=U（Sn1，Sn2，Sn3）. 令U（Sn-3，S2，S1）=G0（圖1）， 則U（Sn-2，S1，S1）=UΔ.

首先證明max{SOred（G）G∈Un，3＼{UΔ}}=SOred（G0）， 為此先給出如下引理.

引理8 設(shè)n1≥n2≥n3， 則當n3≥2時， SOred（U（Sn1+1，Sn2，Sn3-1））gt;SOred（U（S

n1，Sn2， Sn3））; 當n3=1時， SOred（U（Sn1+1，Sn2-1，S1））gt;SOred（U（Sn1，Sn2，S1））.

證明： 設(shè)f（x，y）=（x-1）2+（y-1）2， 其中x，y≥2， l（x，y）=f（x+1，y+1）-f（x，y+1）， 則由約化Sombor指標的定義， 有

SOred（U（Sn1+1，Sn2，Sn3-1））-SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3））

=（f（n1+2，n2+1）-f（n1+1，n2+1））-（f（n3+1，n2+1）-f（n3，n2+1））+（f（n1+2，n3）-f（n1+1，n3+1））

+［n1（n1+1）-n1（n1-1）]+[（n3-2）（n3-1）-n3（n3-1）]=（l（n1+1，n2）-l（n3，n2））+（f（n1+2，n3）-f（n1+1，n3+1））+2（n1-n3+1）.

由給定的y， 函數(shù)l（x，y）關(guān)于x嚴格遞增， 則有

SOred（U（Sn1+1，Sn2，Sn3-1））-SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3））

gt;（f（n1+2，n3）-f（n1+1，n3+1））=n21+n23+2（n1-n3）+2-n21+n23gt;0，

因此SOred（U（Sn1+1，Sn2，Sn3-1））gt;SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3））成立.

當n3=1時， 同理可證SOred（U（Sn1+1，Sn2-1，S1））gt;SOred（U（Sn1，Sn2，S1））成立. 結(jié)論得證.

設(shè)G∈Un，3＼{UΔ}， G=U（Tn1，Tn2，Tn3）， 且n1≥n2≥n3≥1， 下面分兩種情形討論.

情形1） n2+n3≥3.

由引理5可得SOred（U（Tn1，Tn2，Tn3））≤SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3）），

其中等號成立當且僅當TniSni， 且vi是Sni的中心， i=1，2，3. 由引理8， 有

SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3））≤SOred（U（Sn1+n3-1，Sn2，S1））

≤SOred（U（Sn-3，S2，S1））=（n-4）（n-3）+（n-3）2+4+（n-3）2+1+5+2=SOred（G0）.

情形2） n2+n3=2， 即n2=n3=1.

設(shè)C（a，n-a）是用一條邊連接Sa，n-a（a≥3）中Sa的兩個懸掛點而得到的

圖. 由引理5知， 存在一個整數(shù)a， 使得SOred（U（Tn1，T1，T1））≤SOred（C（a，n-a））. 由于

SOred（C（a，n-a））=SOred（Sa，n-a）+2（a-1）2+1-2（a-1）2+2，

故考慮一個嚴格遞減的函數(shù)h（x）=2x2+1-2x2， x≥0.

利用引理7及3≤a≤n-2， 有

SOred（C（a，n-a））lt;SOred（S2，n-2）+h（2）+2=（n-3）（n-3）2+（n-3）2+1+1+25-4

+2lt;SOred（G0）.

綜合情形1）和情形2）的討論， 有max{SOred（G）G∈Un，3＼{UΔ}}=SOred（G0）成立.

設(shè)圖G∈Un，4， v1，v2，v3，v4是G中四邊形的4個頂點， 其中Tni是G-{v1v2，v2v3，v3v4，v4v1}中包含點vi、 頂點個

數(shù)為ni的樹， i=1，2，3，4， 則n1+n2+n3+n4=n， 并記G=U（Tn1，Tn2，Tn3，Tn4）. 特別地， 如果TniSni， 且vi是Sn

i的中心， 則U（Tn1，Tn2，Tn3，Tn4）=U（Sn1，Sn2，Sn3，Sn4）. 令U（Sn-3，S1，S1，S1）=G1（圖1）.

下面證明max{SOred（G）G∈Un，4}=SOred（G1）.

引理9 設(shè)n1=max{n1，n2，n3，n4}， 則在U（Sn1，Sn2，Sn3，Sn4）中， 有如下結(jié)論：

SOred（U（Sn1+1，Sn2，Sn3，Sn4-1））gt;SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3，Sn4）），（4）

SOred（U（Sn1+1，Sn2，Sn3-1，Sn4））gt;SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3，Sn4）），（5）

SOred（U（Sn1+1，Sn2-1，Sn3，Sn4））gt;SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3，Sn4））.（6）

證明： 由于v1與v2和v4相鄰， 用類似引理8的推導(dǎo)過程可知式（4），（6）成立， 因此下面只需證明式（5）成立即可. 由約化Sombor指標的定義， 有

SOred（U（Sn1+1，Sn2，Sn3-1，Sn4））-SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3，Sn4））=

（f（n1+2，n2+1）-f（n1+1，n2+1））-（f（n3+1，n2+1）-f（n3，n2+1））+（f（n1+2，n4+1）-f（n1+1，n4+1））-（f（n3+1，n4+1）-f（n3，n

4+1））+［n1（n1+1）-n1（n1-1）]+[（n3-2）（n3-1）-n3（n3-1）]=（l（n1+1，n2）-l（n3，n2））+（l（n1+1，n4）-l（n3，n4））+2（n1-n3+1）.

由于y給定， 函數(shù)l（x，y）關(guān)于x嚴格遞增， 且n1≥n3， 因此式（5）成立. 結(jié)論得證.

設(shè)G∈Un，4， G=U（Tn1，Tn2，Tn3，Tn4）， 不妨設(shè)n1=max{n1，n2，n3，n4}， 則由引理5可得

SOred（U（Tn1，Tn2，Tn3，Tn4））≤SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3，Sn4）），

其中等號成立當且僅當TniSni， 且vi是Sni的中心， i=1，2，3，4. 再根據(jù)引理9可得

SOred（U（Sn1，Sn2，Sn3，Sn4））≤SOred（U（Sn-3，S1，S1，S1））

=（n-4）（n-3）+2（n-3）2+1+22=SOred（G1）.

通過比較易見SOred（G1）lt;SOred（G0）， 從而可得如下結(jié)論.

定理2 設(shè)G是有n個頂點的單圈圖， 則SOred（G）取到第二大值當且僅當GG0，

SOred（G）=（n-4）（n-3）+（n-3）2+4+（n-3）2+1+5+2.

2.2 雙圈圖的約化Sombor指標

設(shè)B（n）是有n個頂點的雙圈圖類. 雙圈圖G的基圖是G的最小雙圈子圖， 該子圖沒有懸掛點 且是G的唯一雙圈子圖， G可通

過在其基圖的頂點上粘連一些樹得到. 設(shè)G∈B（n）， G中有兩個圈C和C′， 由文獻［4］知， 具

有n個頂點的雙圈圖有3種類型的基圖T0，T1和T2， 如圖2所示.

圖2 雙圈圖的基圖Fig.2 Base graphs of bicyclic graphs

用T0（m，l）表示T0中有m個頂點的圖集， 其中l(wèi)≥1是連接C和C′的路徑長度. 用

T1（m，l）表示T1中有m個頂點的圖集， 其中l(wèi)≥1是C和C′形成的公共路徑長度. 用T2（m）表示T2中

有m個頂點的圖的集合. 則有

SOred（G）=2（m-4）+45+8， G∈T0（m，1）∪T1（m，1），

SOred（G）=2（m-5）+65， G∈T0（m，lgt;1）∪T1（m，lgt;1），

SOred（G）=2（m-3）+410， G∈T2（m），

從而有

SOred（T0（m，1）∪T1（m，1））lt;

SOred（T0（m，l）∪T1（m，l））lt;SOred（T2（m））.

設(shè)G∈B（n）， 由文獻［5］知

SOred（T0（n，1）∪T1（n，1））≤SOred（G）≤SOred（BM），

其中BM是添加兩個相鄰的邊到星圖K1，n-1的懸掛點上得到的雙圈圖. 由于

SOred（BM）=（n-4）（n-2）+2（n-2）2+1+（n-2）2+4+25，

則對雙圈圖類的約化Sombor指標已有最大值和最小值， 下面研究雙圈圖類約化Sombor指標的第二小值和第二大值.

2.2.1 雙圈圖的第二小約化Sombor指標

首先， 將n≥6階的雙圈圖重新分類：

B1={G∈B（n）G的基圖∈T0（m，1）∪T1（m，1）};

B2={G∈B（n）G的基圖∈T0（m，lgt;1）∪T1（m，lgt;1）};

B3={G∈B（n）G的基圖∈T2（m）}.

易得B（n）=B1 ∪B2 ∪B3.

令B^（i）j={B∈BjB有i個懸掛點}， 則

Bj=∪n-4i=0B^（i）j， j=1，2，3. 特別地

， B^（0）1=T0（n，1）∪T1（n，1）， B^（0）

2=T0（n，lgt;1）∪T1（n，lgt;1）， B^（0）3=T2（n）. 由推論1可得

min{SOred（G）|G∈B^（i）j}lt;min{SOred（G）G∈B^（i+1）j}，j=1，2，3，

min{SOred（G）G∈B^（k）j}=minSOred（G）G∈∪n-4q=k

B^（q）j，j=1，2，3.

特別地，

min{SOred（G）G∈Bj}=min{SOred

（G）G∈B^（0）j}=SOred（B^（0）j），j=1，2，3.

由文獻［5］可得

SOred（B^（0）1）lt;SOred（B^（0）2）lt;SOred（B^（0）3），

min{SOred（G）G∈B（n）}={SOred（G）G∈B^（0）1}.

進而

min{SOred（G）G∈B1＼B^（0）

1}=min{SOred（G）G∈B^（1）1}，

min{SOred（G）G∈B2∪B3

}=SOred（B^（0）2）=2（n-5）+65.

故min{SOred（G）G∈B^（1）1}和SOred（B^（0）2）中較小的值即為雙圈圖的第二小約化Sombor指標.

如果G是B^（1）1中的圖， 則圖G可通過附加一個懸掛路到G的基圖T0（m，1）或T1（m，1）上得到.

設(shè)Ti（c1，c2，d）∈B^（1）1， 基圖是Ti（m，1）（i=0，1）， 其中c1和c2分別為兩個圈的長度（c1，c2≥3），

d是從懸掛路的起點到基圖中3度頂點的最短距離.下面證明min{SOred（G）G∈B^（1）1}=SOred（T1（3，3，1））.

由引理3知， 當G∈B^（1）1時， 有

SOred（G）≥SOred（T0（3，3，d）），d=0，1，SOred（G）≥SOred（T1（3，3，d）），d=0，1.

從而可得

SOred（T0（3，3，0））=2（n-6）+13+310+25+1，

SOred（T0（3，3，1））=2（n-7）+28+55+1，

SOred（T1（3，3，0））=2（n-6）+13+310+25+1，

SOred（T1（3，3，1））=2（n-6）+38+35+1.

故

SOred（T1（3，3，1））lt;SOred（T0（3，3，1））lt;SOred（T0（3，3，0））=SOred（T1（3，3，0）），

min{SOred（G）G∈B^（1）1}=SOred（T1（3，3，1））.

通過比較易得SOred（B^（0）2）lt;SOred（T1（3，3，1））， 進而可得如下結(jié)論.

定理3 設(shè)G是有n個頂點的雙圈圖， 則SOred（G）取到第二小值當且僅當G∈B^（0）2， 且

SOred（G）=2（n-5）+65.

2.2.2 雙圈圖的第二大約化Sombor指標

首先， 將n≥6階的雙圈圖進行重新分類：

A1={G∈B（n）G的基圖∈T1（m，l）};

A2={G∈B（n）G的基圖∈T0（m，l）∪T2（m）}.

則有B（n）=A1∪A2.

由引理4有max{SOred（G）G∈A2}=SOred（BF），

其中BF是添加兩個不相鄰的邊到星圖K1，n-1的懸掛點上得到的雙圈圖. 顯然有

max{SOred（G）G∈A1}=SOred（BM）gt;SOred（BF）.

下面需找到A1中第二大約化Sombor指標， 即max{SOred（G）G∈A1＼{BM}}， 再與SOred（BF）做

比較， 其中較大的即為雙圈圖的第二大約化Sombor指標.

設(shè)G∈A1＼{BM}， 假設(shè)SOred（G）是最大的， 由有引理5知， G的基圖為K4-e. 設(shè)v1，v2是G的基圖中兩個2度頂點， v3，v4是G的基圖中兩個3度頂點，

記G=B（Tn1，Tn2;Tn3，Tn4）， 其中Tni是G-E（K4-e）中包含點vi、 頂點個數(shù)為ni的樹， i=1，2，3

，4， 則n1+n2+n3+n4=n. 特別地， 如果TniSni， 且vi是Sni的中心點， 則B（Tn1，Tn2;Tn3，Tn4）=B（S

n1，Sn2;Sn3，Sn4）. 令B（T1，T1;Sn-4，S2）=MO， 其中MO是先添加兩個相鄰的邊到星圖K1，n-2的懸掛點上， 再添加一個懸掛邊于其相鄰邊的公共頂點上得到的雙圈圖. 于是

SOred（MO）=（n-5）（n-3）+2（n-3）2+1+（n-3）2+9+210+3.

先證明max{SOred（G）G∈A1＼{BM}}=SOred（MO）.

引理10 在B（Sn1，Sn2;Sn3，Sn4）中， 有如下結(jié)論：

1） 當n1≥n2≥1時， SOred（B（Sn1+1，Sn2-1;Sn3，Sn4））gt;SOred（B（Sn1，Sn2;Sn3，Sn4））;

2） 當n3≥n4≥1時，

SOred（B（Sn1，S1;Sn3+1，Sn4-1））gt;SOred（B（Sn1，S1;Sn3，Sn4））;

3） 當n3≥n1≥1時，

SOred（B（Sn1-1，S1;Sn3+1，S1））gt;SOred（B（Sn1，S1;Sn3，S1））;

4） 當n1≥n3+1時，

SOred（B（Sn1+1，S1;Sn3-1，S1））gt;SOred（B（Sn1，S1;Sn3，S1））.

證明： 用類似引理8、 引理9的推導(dǎo)過程可得結(jié)論1）～3）成立， 下面證明結(jié)論4）成立. 由約化Sombor指標的定義， 有

SOred（B（Sn1+1，S1;Sn3-1，S1））-SOred（B（Sn1，S1;Sn3，S1））

=（f（n1+2，3）-f（n1+1，3））-（f（n3+2，3）-f（n3+1，3））+（n1-1）（f（n1+2，1）-f（n1+1，1））-（n3-1）（f（n3+2，1）-f（n

3+1，1））+（f（n1+2，1）-f（n3+1，1）+f（n3+1，2）-f（n3+2，2））+（f（n1+2，n3+1）-f（n1+1，n3+2））=（l（n1+1，2）-l（n3+1，2））+（n1-n3）

+（f（n1+2，1）-f（n3+2，2））+（f（n3+1，2）-f（n3+1，1））+（f（n1+2，n3+1）-f（n1+1，n3+2））.

由于n1≥n3+1， 且y給定， 函數(shù)l（x，y）關(guān)于x嚴格遞增， 故

f（n1+2，1）-f（n3+2，2）≥f（n3+3，1）-f（n3+2，2）gt;0，f（n1+2，n3+1）-f（n1+1，n3+2）=n21+n23+2n1+1-n21+n23+2n3+1gt;0.

從而得

SOred（B（Sn1+1，S1;Sn3-1，S1））-SOred（B（Sn1，S1;Sn3，S1））gt;0，

即結(jié)論4）成立. 證畢.

設(shè)G∈A1＼{BM}， G=B（Tn1，Tn2;Tn3，Tn4）， 且n1≥n2≥1， n3≥n4≥1.

情形1） n1+n2≥3. 由引理5可得

SOred（B（Tn1，Tn2;Tn3，Tn4））≤SOred（B（Sn1，Sn2;Sn3，Sn4）），

其中等號成立當且僅當TniSni， 且vi是Sni的中心， i=1，2，3，4. 再由引理10可得

SOred（B（Sn1，Sn2;Sn3，Sn4））≤SOred（B（Sn1+n2-1，S1;Sn3+n4-1，S1））.

① n3+n4≥n1+n2. 計算可得

SOred（B（Sn1+n2-1，S1;Sn3+n4-1，S1））≤SOred（B（S2，S1;Sn-4，S1））

=（n-5）（n-3）+2（n-3）2+4+（n-3）2+1+8+5+2lt;SOred（MO）.

② n3+n4+1≤n1+n2. 計算可得

SOred（B（Sn1+n2-1，S1;Sn3+n4-1，S1））≤SOred（B（Sn-3，S1;S1，S1））

=（n-4）（n-3）+2（n-3）2+4+8+25lt;SOred（MO）.

情形2） n1+n2=2， 即n1=n2=1.

① n3≥2， n4≥2. 由引理5和引理10， 有

SOred（B（T1，T1;Tn3，Tn4））≤SOred（B（T1，T1;Sn3，Sn4））

≤SOred（B（T1，T1;Sn-4，S2））=SO（MO）.

② n4=1. 設(shè)B（a，n-a）是用兩條相鄰邊連接雙星圖Sa，n-a（a≥4）中Sa的3個懸掛點而得到的圖. 由引理5知， 存在一個整數(shù)a，

使得SOred（B（T1，T1;Tn3，T1））≤SOred（B（a，n-a））. 由于

SOred（B（a，n-a））=SOred（Sa，n-a）+2（a-1）2+1+（a-1）2+4-3（a-1）2+25，

故考慮一個嚴格遞減的函數(shù)H（x）=2x2+1+x2+4-3x2， 其中x≥0. 由引理7及4≤a≤n-2， 有

SOred（B（a，n-a））lt;SOred（S2，n-2）+H（2）+25=（n-3）（n-3）2+（n-3）2+1+25+8

-5+25lt;SOred（MO）.

綜合情形1）和情形2）的討論， 有max{SOred（G）G∈A1＼{BM}}=SO

red（MO）. 通過比較易得SOred（MO）lt;SOred（BF）， 從而可得如下結(jié)果.

定理4 設(shè)G是有n個頂點的雙圈圖， 則SOred（G）取到第二大值當且僅當GBF， 且

SOred（G）=（n-5）（n-2）+4（n-2）2+1+22.

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（責任編輯： 李 琦）