本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量H-譜半徑的算法

摘要： 首先， 定義一類本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量， 其是涵蓋本質(zhì)正張量、 弱正張量和廣義弱正張量的更廣泛的張量類. 其次， 應(yīng)用張量的H-特征值在對角相似變換下的不變性質(zhì)， 給出本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量H-譜半徑的算法， 并用數(shù)值例子說明算法的有效性.

關(guān)鍵詞： 本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量； H-譜半徑； 算法

中圖分類號： O183.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0411-06

Algorithm for H-Spectral Radius of EssentiallyQuasi-symmetric Non-negative Tensors

LIN Zhixing， L Hongbin

（Fujian Key Laboratory of Financial Information Processing （Putian University）， Putian 351100， Fujian Province， China）

Abstract： Firstly， we defined a class of essentially quasi-symmetric non-negative tensors， which encompassed a broader class of tensors covering essentially positive

tensors， weakly positive tensors and generalized weakly positive tensors. Secondly， we gave an algorithm for the H-spectral radius of an essentially quasi-symmetric non-negati

ve tensorby applying the property that the H-eigenvalues of the tensor were invariant under diagonal similarity transformations， and usednumerical examples

toillustrate the effectiveness of the algorithm.

Keywords： essentially quasi-symmetric non-negative tensor; H-spectral radius; algorithm

收稿日期： 2024-07-12.

第一作者簡介： 林志興（1973—）， 男， 漢族， 碩士， 教授， 從事矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用的研究， E-mail： linzhixing@163.com.通信作者簡介： 呂洪斌

（1964—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事數(shù)值代數(shù)、 矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用的研究， E-mail： hbinlv@126.com.

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號： 61772292）、 福建省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號： 2023J01997）和莆田市科技項(xiàng)目（批準(zhǔn)號： 2023SZ3001PTXY17）.

張量是矩陣的一種高維推廣， 在信號和圖像處理、 連續(xù)介質(zhì)物理、 數(shù)據(jù)挖掘和處理、 非線性優(yōu)化、 物理學(xué)的彈性分析和高階統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛^［1-3］.一個m階n維實(shí)張量是nm個元素的多維數(shù)組

A=（ai1i2…im）， ai1i2…im∈瘙綆， ij=1，2，…，n， j=1，2，…，m.

用瘙綆^［m，n］表示實(shí)數(shù)域瘙綆上的m階n維張量的集合. 若ai1i2…im≥0（ij=1，2，…，n， j=1，2，…，m）， 則稱A為非負(fù)

張量， 記為A∈瘙綆^［m，n］+. 此外， 本文中瘙綇^n×n和瘙綆^n×n+分別表示復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的n×n階矩陣及其非負(fù)矩陣集合，

瘙綆n+和瘙綆n++分別表示n維歐氏空間上的非負(fù)非零向量和正向量集合.

目前， 關(guān)于張量特征值的研究已有很多結(jié)果： Qi^［4］和Lim^［5］分別定義了張量的特征值; 文獻(xiàn)［6］給出了不可約非負(fù)張量H-譜半徑的NQZ算法；文獻(xiàn)［7］證明了算法對本質(zhì)正張量的收斂性； 文獻(xiàn)［8］提出了非負(fù)張量H-譜半徑的LZI算法， 并證明了LZI算法對一類不可約非負(fù)張量的收斂性； 文獻(xiàn)［9］證明了弱正張量H-譜半徑NQZ算法的線性收斂性； 文獻(xiàn)［10］給出了廣義弱正張量的定義和H-譜半徑算法的線性收斂性； 文獻(xiàn)［11］給出了弱本質(zhì)不可約非負(fù)張量H-譜半徑的擬冪型算法. 本文定義一類本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量， 并給出不可約本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量H-譜半徑的對角相似算法.

1 相關(guān)定義與結(jié)果

定義1^［12］設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］， 若有非空真子集J〈n〉={1，2，…，n}， 使得aii2…im=

0， i∈J， i2，…，im∈〈n〉＼J， 則稱張量A是可約的， 否則稱其為不可約的.

定義2^［7］設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+， 則稱M（A）=（aij）

∈瘙綆^n×n+是張量A的優(yōu)化矩陣， 其中aij=aij…j， i，j∈〈n〉.

由定義1和定義2知， 若張量A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+的優(yōu)化矩陣M（A）是不可約的， 則A是不可約張量.

定義3^{［7，9-10］}設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+， M（A）=（aij

）∈瘙綆^n×n+是張量A的優(yōu)化矩陣. 若aijgt;0（i，j∈〈n〉）， 則稱A是本質(zhì)正張量； 若aijgt;0

（i，j∈〈n〉， i≠j）， 則稱A是弱正張量； 若存在i0∈〈n〉， 使得ai0jgt;0， aji0gt;0（i0，j∈〈n〉， j≠i0）， 則稱A是廣義弱正張量.

本文推廣本質(zhì)正張量、 弱正張量和廣義弱正張量類， 定義一類本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量， 并給出其H-特征值的算法.

定義4 設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+， M（A）=（aij）∈瘙綆^n×

ⁿ+是張量A的優(yōu)化矩陣. 若aijgt;0.ajigt;0（i≠j）， 則稱A是本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量；

圖1 非負(fù)張量類的包含關(guān)系Fig.1 Inclusion relations of non-negative tensor classes

若M（A）是不可約的， 則稱A是不可約本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量.

由定義4知， 本質(zhì)正張量、 弱正張量和廣義弱正張量均是特殊的本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量類， 其與本原張量和不可約非負(fù)張量之間的包含關(guān)系如圖1所示.

定義5^［4-5］設(shè)A=（ai1i2…im）

∈瘙綆^［m，n］， 若存在λ∈瘙綇和非零向量x=（x1，x2，…，xn）T， 使得

Ax^m-1=λx^［m-1］，

則λ稱為張量A的特征值， x為張量A的相應(yīng)于特征值λ的特征向

量， 其中Ax^m-1和x^［m-1］為n維向量， 它們的第i個元素分別為

（Ax^m-1）i=∑ni2，…，im=1a

ii2…imxi2…xim，（x^［m-1］）i=x^m-1i.

若λ和x的元素都是實(shí)的， 則λ稱為張量A的H-特征值， x稱為相應(yīng)于

特征值λ的H-特征向量. 本文用σH（A）表示張量A的H-特征

值集合， ρ（A）=maxλ∈σH（A）λ稱為張量A的H-譜半徑.

定義6^［13］設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］， B=（bi1i2…im）∈瘙綆

^［m，n］， 如果存在對角可逆矩陣D=diag（d1，d2，…，dn）∈瘙綆^n×n， 使得B=D^-（m-1）·A·

D， 則稱張量A，B是對角相似的， 其中bi1i

2…im=ai1i2…imd^-（m-1）i1di2…dim， ij=1，2，…，n， j=1，2，…，m.

定理1^［13］設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］， B=（bi1i2…i

m）∈瘙綆^［m，n］， 如果張量 A，B是對角相似的， 則σH（A）=σH（B）.

類似于非負(fù)矩陣， 非負(fù)張量的H-譜半徑有如下基本性質(zhì).

定理2^［12］設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+， 則：

1） ρ（A）是張量A的特征值， 且ρ（A）有相應(yīng)的非負(fù)特征向量

x∈瘙綆n+， 如果不計(jì)倍數(shù)， 則x∈瘙綆n+是唯一的；

2） 若張量A是不可約的， 則ρ（A）有相應(yīng)的正特征向量x∈瘙綆n++.

Chang等^［12］將關(guān)于非負(fù)矩陣譜半徑上下界的經(jīng)典Perron-Frobenius定理推廣到非負(fù)張量上， 得到如下結(jié)果：

定理3^［12］設(shè)張量A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+， 則

mini∈〈n〉 ri（A）≤ρ（A）≤maxi∈〈n〉 ri（A），

其中ri（A）=∑ni2，…，im=1aii2…im， i∈〈n〉.

設(shè)矩陣A=（aij）∈瘙綇^n×n， 記A的有向圖^［14］為Γ（A）.

如果i1，i2，…，ir+1互不相同， 且aisis+1≠0（s=1，2，…，r）， 則稱ei1→ir+1是Γ（A）上的有向路徑， 并稱r是有向路徑ei1→ir+1的長度.

定義7^［14］設(shè)矩陣A=（aij）∈瘙綇^n×n， Γ（A）是A的有向圖. 如

果對任意兩個不同的結(jié)點(diǎn)i，j∈〈n〉都有i到j(luò)的有向路徑， 則稱有向圖Γ（A）是強(qiáng)連通的.

定理4^［14］設(shè)矩陣A=（aij）∈瘙綇^n×n， 則A是不可約的當(dāng)且僅當(dāng)A的有向圖Γ（A）是強(qiáng)連通的.

2 算法構(gòu)造

設(shè)張量A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+， 取-mini∈〈n〉 ai…ilt;θlt;maxi∈〈n〉 ri（A）， 記A=∶A^（0）=（a^（0）i1i2…im）ni1，i2，…，im=1. 對k=0，1，2，…， 記

r^（k）i=∑i2，…，im∈〈n〉a^（k）ii2…im， r^（k）=maxi∈〈n〉

r^（k）i， r^（k）=mini∈〈n〉 r^（k）i，Dk=1（r^（k）+

θ）^1/（m-1）［diag（r^（k）1，r^（k）2，…，r^（k）n）+θI］^1/（m-1），

A^（k+1）=（Dk）^-（m-1）·A^（k）·Dk，

其中I為單位矩陣. 則有非負(fù)張量H-譜半徑的如下算法.

算法1

設(shè)張量A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+， εgt;0， k=0.

步驟1） 計(jì)算r^（k）i=∑i2，…，im∈〈n〉a^（k）ii2…im， r^（k）=maxi∈〈n〉 r^（k）

i， r^（k）=mini∈〈n〉 r^（k）i.

步驟2） 如果r^（k）-r^（k）lt;ε， 轉(zhuǎn)步驟3）; 否則， 記

Dk=1（r^（k）+θ）^1/（m-1）［diag（r^（k）1，r^（k）2，…，r^（k）n）+θI］^1/（m-1），A

^（k+1）=（Dk）^-（m-1）·A^（k）·Dk.

令k∶=k+1， 轉(zhuǎn)步驟1）.

步驟3） 輸出ρ（A）=12（r^（k）+r^（k））.

3 算法的收斂性

下面證明算法1對不可約本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量H-譜半徑的計(jì)算是收斂的.

引理1 設(shè)張量A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+， 則r^（k）單調(diào)遞增有上界， r^（k）單調(diào)遞減有下界.

證明： 應(yīng)用定理3和定理1， 對任意的k∈瘙綄+∪{0}， 有

r^（0）≤r^（k+1）=maxi∈〈n〉 r^（k+1）i=maxi∈〈

n〉∑i2，…，im∈〈n〉（a^（k）ii2…im+θ）（r^（k）i2+θ）^1/（m-1）·…·（r

^（k）im+θ）^1/（m-1）r^（k）i+θ-θ≤（r^（k）+θ）∑i2，…，i

m∈〈n〉（a^（k）ii2…im+θ）r^（k）i+θ-θ=r^（k），

因此， r^（k）單調(diào)遞減有下界. 類似可證r^（k）單調(diào)遞增有上界. 證畢.

引理2 設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+是不可約本質(zhì)擬對稱張量， 則對任意的k∈瘙綄+和任意的a^（0）

ij…jgt;0（i≠j）， 有

a^（k）ij=a^（k）ij…j≥a∶=a2/r^（0）gt;0，

其中a=min{aij…jgt;0： i，j∈〈n〉， i≠j}.

證明： 顯然， 對任意的k∈瘙綄+， 若aij…jgt;0， 則a^（k）ij…jgt;0. 由引理1有

r^（0）≥r^（k）≥a^（k）ij…j=a^（k-1）ij…j·r^（k-1）j+θr^（k-1）i+θ=…=a^（0）ij…j·∏k-1t=0

（r^（t）j+θ）∏k-1t=0（r^（t）i+θ）≥a·∏k-1

t=0（r^（t）j+θ）∏k-1t=0（r^（t）i+θ），（1）

從而有∏k-1t=0（r^（t）j+θ）∏k-1t=0（r^（t）i+θ）≤r^（0）a.

又由∏k-1t=0（r^（t）j+θ）∏k-1t=0（r^（t）i+θ）·∏k-1t=0（r^（t）i+θ）∏k-1t=0（r^（t）j+θ）=1

及aji…igt;0， 有

∏k-1t=0（r^（t）j+θ）∏k-1t=0（r^（t）i+θ）≥a2/r^（0），

再由式（1）有a^（k）ij=a^（k）ij…j≥a∶=a2/r^（0）gt;0. 證畢.

定理5 設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+是不可約本質(zhì)擬對稱張量， 則對k∈瘙綄+∪{0}， 由算法1有

r^{（（k+1）n）}-r^{（（k+1）n）}≤α（r^（kn）-r^（kn）），

其中0lt;α=1-a0r^（0）+θnlt;1， a0∶=mini∈〈n〉{a，aii…i+θ}gt;

0， 進(jìn)而有 limk→∞ r^（k）=limk→∞ r^（k） =ρ（A）.

證明： 設(shè)r^（0）lt;r^（0）， 否則， 由定理3知r^（0）=r^（0）=ρ（A）. 由

張量序列{A^（k）}∞k=0的構(gòu)造過程知， 當(dāng)a^（0）i1i2…im≠0時， a^（k）i1i2…im≠0， i1，i2

，…，im∈〈n〉； a^（k）i…i=a^（0）i…i=ai…i， i∈〈n〉.

設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+是不可約本質(zhì)擬對稱張量， 定義A^（k）+θE=∶^（k）=（a^（k）i1i2…im）， k=0，1，2，…，

其中E∈瘙綆^［m，n］+是單位張量. 則由引理2知， 對任意的a^（0）ij…jgt;0， i，j∈〈n

〉， k∈瘙綄+， 有a^（k）ij…j≥a0gt;0.

取i0∈E0={i∈〈n〉： ri（A）=mini∈〈n〉 ri（A）}， 則有

r^（1）i0=∑ni2，…，im=1a^（1）i0i2…im=r^（0）-∑ni2，…，i

m=1a^（0）i0i2…im（r^（0）+θ）-∏ml=2（r^（0）il+θ）

^1/（m-1）r^（0）i0+θ≤r^（0）-a^（0）i0…i0（r

^（0）+θ）-（r^（0）i0+θ）r^（0）i0+θ≤r^（0）-a0r^（0）

+θ·（r^（0）-r^（0））.（2）

類似地， 利用式（2）并依次推導(dǎo)可得

r^（t）i0≤r^（0）-a0r^（0）+θt（r^（0）-r^（0）），t=1，2，…，n.（3）

對任意的i∈〈n〉＼E0， 由A是不可約本質(zhì)擬對稱張量知， Γ（M（A））是強(qiáng)

連通的， 故存在a1i0…i0gt;0， a21…1gt;0， …， ar-1

r-2…r-2gt;0， air-1…r-1gt;0， 其中i0，1，…，r-1，i互不相同， 且r≤n-1. 由式（3）有

r^（2）1≤r^（0）-a^（1）1i0…i0（r^（0）+θ）-（r^（1）i0+θ）r^（1）1+θ≤r^（0）-a0r

^（0）+θ·（r^（0）-r^（1）i0）lt;r^（0）-a0r

^（0）+θ2（r^（0）-r^（0））.（4）

類似地， 利用式（4）并依次推導(dǎo)可得

r^（t）t-1≤r^（0）-a^（t-1）t-1t-2…t-2（r^（0）+θ）-（r^（t-

^1）t-2+θ）r^（t-1）t-1+θ≤r^（0）-a0r

^（0）+θ·（r^（0）-r^（t-1）t-2）lt;r^（0）-a0r^（0）+θt（r^（0）-r^（0））， t=3，4，…，n.

從而有r^（n）i≤r^（0）-a0r^（0）+θn（r^（0）-r^（0））.

于是有

r^（n）-r^（n）≤maxi∈〈n〉 r^（n）i-r^（0）≤

1-a0r^（0）+θn（r^（0）-r^（0））.

類似上述證明， 對任意的k∈瘙綄+， 有

r^（kn）-r^（kn）≤1-a0r^（0）+θn（r^{（（k-1）n）}-r

^{（（k-1）n）}）≤…≤1-a0r^（0）+θnk（r^（0）-r^（0））.

由于0lt;α∶=1-a0r^（0）+θnlt;1， 應(yīng)用引理1并令k→∞， 則有

limk→∞ r^（kn）-limk→∞ r^（kn）=

limk→∞（r^（kn）-r^（kn））=limk→∞（αk（r^（0）-r^（0）））=0，

即ρ（A）=limk→∞ r^（kn）=limk→∞ r^（kn）. 證畢.

注1 算法1中引入了參數(shù)θ， 相當(dāng)于一個移位算法， 在設(shè)計(jì)上是有意義的. 同時， 參數(shù)θ在其取值范圍內(nèi)對算法的計(jì)算效率有一定影響， 但還不能從理論上說明θ的最優(yōu)取值.

注2 定理5的條件是非負(fù)張量A是不可約本質(zhì)擬對稱的， 但條件過于嚴(yán)

格. 事實(shí)上， 若記M（A）=（aij）∈瘙綆^n×n+， 只要有矩陣（A）=（aij）∈瘙綆^n×n+，

使得矩陣（A）擬對稱且不可約， 則由定理5的證明即知算法1收斂， 其中a

ij= aij或0，aij≠0， 0，aij=0.

例如， 對于張量A=（aijk）∈瘙綆^［3，4］+， 設(shè)M（A）=0

100302201034010， 其余元素任意非負(fù)， 取（A）=0

100302001030010， 則

（A）是擬對稱的， 此時算法1收斂.

注3 設(shè)A=（ai1i2…im）∈瘙綆^［m，n］+是不可約本質(zhì)擬對稱張量， 則由算法1知， x=∏k→∞D(zhuǎn)^（k）e即為ρ（A）對應(yīng)的正特征向量， 其中e=（1，1，…，1）T∈瘙綆n++.

4 數(shù)值算例

下面用實(shí)例比較算法1和LZI算法^［8］的計(jì)算效率.

例1 設(shè)張量A=（aijk）∈瘙綆^［3，n］+， 其中aijj=（i+j）/（2i）， j=i+1， i=j+1， i，j=1，2，…，n-1， 其余元素為零， 則有

M（A）=032000340540005600002n-12（n-1）0002n-12n0，

因此， A是不可約本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量. 用算法1（取θ=（r^（0）-r^（0））/2=0.25）和LZI算法分別計(jì)算ρ（A）的迭代步數(shù)和CPU時間， 比較結(jié)果列于表1.

由表1可見， 計(jì)算例1的非負(fù)張量H-譜半徑的算法1 迭代次數(shù)明顯少于LZI算法， 但在CPU用時上有些不足.

綜上所述， 本文定義的本質(zhì)擬對稱非負(fù)張量類， 是本質(zhì)正張量、 弱正張量和廣義弱正張量類的有益推廣， 給出的H-譜半徑的帶有參數(shù)變換的算法， 解決了某些非負(fù)張量H-譜半徑NQZ算法

［6］不收斂、 LZI算法^［8］不能直接計(jì)算的問題， 說明了參數(shù)選擇對算法計(jì)算效率的影響， 并比較了其與LZI算法的效率， 數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明本文算法是有意義的.

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）