基于改進組合核函數高斯過程回歸的車速預測

摘要： 基于高斯過程回歸技術， 提出一種新的實時車速預測方法， 在準確有效預測前車速度的同時量化了預測的不確定性. 該方法通過引入平方指數和Matern的組合核函數SEM， 并改進組合核函數為SEM*， 有效平衡了單一核函數對車速預測的優缺點， 并在超參數尋優時采用了粒子群實時求解方法. 瞬態工況下2 s時長車速預測的仿真分析表明： 相比于單核性能較好的徑向基（SE）核函數， SEM方法在車速FTP75工況下平均絕對誤差（MAE）和均方根誤差（RMSE）標準分別降低了10.09%和7.23%， 而SEM*方法在兩個誤差指標上相比SEM方法分別降低8.02%和8.13%； 在城市典型工況下， SEM相比SE方法MAE和RMSE分別降低了3.44%和4.16%， 而SEM*在兩個誤差指標上相比SEM核函數分別降低3.57%和2.17%； 同時SEM*方法在FTP75工況單次最大計算時間上相對SE核函數降低0.3 s， 城市典型工況付出的代價是相對SE核函數提高了0.015 s的最大計算時間， 但計算時間仍在0.1 s采樣時刻以內， 具有實時性.

關鍵詞： 組合核函數； 高斯過程； 車速預測

中圖分類號： TP273文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0454-11

Vehicle Speed Prediction Based on Gaussian ProcessRegression with Improved Combination Kernel Function

ZHAO Jinghua^1，2， WEN Long 1， WANG Shoufeng3， LIU Qianyu1，ZHOU Yuqi1， LIU Da1， XIE Fangxi2

（1. College of Mathematics and Computer， Jilin Normal University， Siping 136000， Jilin Province， China;

2. National Key Laboratory of Automotive， Chassis Integration and Bionics， Jilin University， Changchun 130025， China;

3. Department of Technical Development， Qijing Machinery Co.， Ltd.， Ningbo 315000， Zhejiang Province， China）

收稿日期： 2024-04-17. 網絡首發日期： 2024-12-27.

第一作者簡介： 趙靖華（1980—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事車輛智能控制的研究， E-mail： zjh@jlnu.edu.cn. 通信作者簡介：

解方喜（1982—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 從事先進控制理論應用的研究， E-mail： xiefx2011@jlu.edu.cn.

基金項目： 國家自然科學基金面上項目（批準號： 61773009）和吉林省科技發展計劃項目（批準號： 20240601034RC）.

網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.O.20241225.1334.001.

Abstract： We proposed a novel real-time vehicle speed prediction method based on Gaussian process regression （GPR） technology， which accurately and effectively predicted

the velocity of the preceding vehicle while quantifying the uncertainty of the prediction. This method introduced a combination kernel function SEM of squared exponent （SE） and Matern， and improved the combination kernel function to SEM*. This effectively balanced the advantages and disadvantages of a single kernel function for vehicle speed prediction， and a particle swarm optimization method for real-time solution in hyperparameter optimization was adopted. The simulation analysis of 2 s vehicle speed prediction under transient operating conditions shows that under the FTP75 workingcondition， compared to the radial basis SE kernel function with better single kernel performance， the SEM method reduces the mean absolute error （MAE） and root mean square error （RMSE） standards by 10.09% and 7.23% respectively， while the SEM* method reduces the two error indicators by 802% and 813% respectively compared to the SEM method. Under typical urban working conditions， the SEM reduces MAE and RMSE standards by 3.44% and 4.16% respectively compared to the SE method， while the SEM* reduces the two error indicators by 357% and 217% respectively compared to the SEM method. At the same time， the SEM* method reduces the maximum single calculation time relative to the SE method by 0.3 s under the FTP75 working condition， and the cost paid under typical urban conditions is an increase in the maximum single calculation time relative to the SE method by 0.015 s， but the calculation time is still within 0.1 s of the sampling time， which has real-time performance.

Keywords： combination kernel function; Gaussian process; vehicle speed prediction

隨著智能交通技術的不斷發展， 越來越多的車和路端都融入網絡并共享信息， 為車與車之間的互聯通信提供了更多的可能性^［1］.通過獲取前車車速信息預測前車的車速狀態， 對本車的行駛安全性及節能減排控制都有重要意義， 特別是在車輛編隊跟車場景中. 研究表明， 利用車輛地理坐標、 瞬時速度、 交通等信息可預測前車的速度^［2-3］.但車速是一個高度非線性的時序變量， 受交通、 環境、 駕駛習慣等因素影響， 精準預測難度較大^［4］.

針對上述車速預測問題目前已有很多研究結果， 主要分為基于模型和基于機器學習兩種方法. 文獻［5］基于指數變化的模型對車速進行預測， 方法簡便快捷， 但速度變化的單一性限制了其在不同動態工況下的適應性； 文獻［6］采用智能駕駛員模型預測前車速度、 車距等信息， 保證安全速度的同時提高了經濟燃油性能. 這些基于模型的車速預測方法具有實現簡單、 可解釋性強等特點， 但受車輛駕駛行為和周圍不確定因素的動態變化影響， 在實際應用中有較大的局限性， 很難適應復雜的行駛工況. 因此， 基于機器學習的車速預測方法受到廣泛關注. 文獻［7］基于人工神經網絡（back propagation neural network， BPNN）模型提出了一種車速短期預測方法， 該方法利用歷史車速用于訓練， 采用時間演變模式預測車速， 并基于數值優化的方法提高預測精度; 文獻［8］采用MCMC（Markov chain Monte Carlo）方法， 以多尺度單步形式預測當前狀態下的速度序列， 并采用平均濾波、 二次擬合等后處理算法優化預測結果; 文獻［9］在BP（back propagation）模型基礎上結合Markov模型預測前車速度， 得到了較高的預測精度. 但車輛動態具有主觀性和隨機性， 任何車速預測都存在不確定性， 在準確預測前車速度的同時量化預測的不確定性是一個難題.

高斯過程回歸（Guassian process regression， GPR）方法^［10］確定了連續輸入空間中的每個點都與正態分布的隨機變量相關聯， 在非線性系統建模領域得到廣泛應用. GPR方法能在給出預測結果的同時提供置信區間， 即能給出具有概率意義的結果， 與BP等機器學習方法相比， 更適合較復雜的非線性系統^［11］.文獻［12］利用GPR方法預測了發動機性能， 相比BP以及其他的線性回歸方法， GPR方法具有較高的預測精度. 針對利用歷史數據預測前車加速度或速度分布問題， 文獻［13］比較了包括GPR方法在內的多種參數和非參數的時間序列預測方法， 并證明了GPR方法的有效性.

隨著GPR方法的發展， 其性能得到了廣泛認可， 被應用于各領域. 但GPR方法對數據的擬合能力面臨兩個挑戰： 一是核函數的選擇； 二是超參數的實時優化. 常用的單一核函數有徑向基核函數（SE）、 Matern核函數、 有理二次（RQ）核函數^［14-16］.當遇到不同區域的數據突變時， 采用單一核函數的GPR方法可能無法有效擬合^［17］.同時， GPR模型中存在超參數過多， 通過優化參數提高預測精度也是一項重要且艱巨的任務. 文獻［18］采用梯度下降法對多個超參數進行優化， 得到了更高的預測精度. 文獻［19］采用共軛梯度法對超參數進行了優化. 但上述梯度算法都依賴超參數估計函數是可微或近似可微， 限制了梯度法的通用性能. 并且梯度法還對初值過分依賴， 易陷入局部最優. 因此， 采用粒子群優化（particle swarm optimization， PSO）算法等智能算法優化超參數是一種可行的方案. PSO迭代尋優算法的核心是基于生物種群行為特征求解優化問題， 算法中的每個粒子均是問題的一個潛在解^[20-21].

基于上述研究結果， 本文提出一種新的實時車速預測GPR方法， 通過引入SE和Matern核的改進組合核函數SEM*， 有效平衡了單一核函數對車速預測的優缺點， 并在超參數尋優時采用PSO實時求解方法， 保證了車速預測的實時性.

1 GPR原理及PSO求解方法

GPR方法是一種非參數的回歸方法， 其核心思想是將輸入數據視為從一個多元高斯分布中抽取的樣本， 用于建模和預測數據. PSO方法能解決GPR超參數的實時優化問題.

1.1 GPR數學模型推導

GPR是由隨機變量集合定義的一個隨機過程， 其分布是所有隨機變量的聯合分布. 因此GPR是建立在連續域上的函數分布. 對給定的訓練集

D={X，Y}， n個輸入特征構成X=（x1，x2，…，xn）T， X∈瘙綆^n×d， 第i個輸入特征xi為d維向量， 對應的目標值Y=（y1，y2，…，yn）

T， Y∈瘙綆^n×1. 考慮到一個GPR模型實際輸出中會包含噪聲， 因此GPR問題可建模為

yi=f（xi）+ε，（1）

其中： f為GPR模型; i=1，2，…，n; ε為高斯噪聲， 服從均值為0、 方差為σ2n的高斯分布. 一個高斯過程可由均值函數m（x）和協方差函數k（x，x′）決定：

m（x）=E［f（x）］，k（x，x′）=E［

（f（x）-m（x））（f（x′）-m（x′））］，（2）

其中x′為輸入特征， E（·）表示均值函數. 由于0均值先驗具有泛用性， 因此一般將先驗均值函數設為0， 即m（x）=0， 則GPR可簡化為y～GP（0，k（x，x′））. 協方差函數以矩陣形式可表示為

Cov（X，X）=K（X，X）+σ2nI，（3）

其中I表示N×N的單位矩陣， Cov（X，X）表示N×N的協方差矩陣， K

（X，X）表示N×N的核矩陣.

核函數能實現非線性映射， 可以表征協方差函數， 主要分為RQ，SE和Matern核函數等幾種. RQ核函數表達式為

kRQ（x，x′）=σ2RQ1+‖x-

x′‖22αRQl2RQ^-αRQ，（4）

其中lRQ為信號特征長度的尺度， αRQ為正值尺度混合參數， 超參數σ2RQ為調節協方差函數變化的垂直

尺度因子， ‖x-x′‖2為輸入向量x和x′之間

的歐氏距離平方. 設θRQ={αRQ，lRQ，σ2RQ}為RQ核函數超參數集， 需通過訓練學習獲取最優值.

SE核函數通常用于對光滑函數的建模， 在高斯過程回歸中表示任意兩點的協方差值， 表達式為

kSE（x，x′）=σ2SEexp-‖x-x′‖22l2SE，（5）

其中： lSE為信號特征長度的尺度， 用于描述函數的平滑程度， 當它較小時， 擬合函數響應特征性能較好， 較大時函數趨于平滑; σ2SE為信號

的方差， 用于表示擬合函數與信號均值的偏差， 當它較小時， 相對偏離信號均值， 當它較大時， 擬合函數波動會變大.

Matern核函數具有參數化的靈活性， 能通過調節lM和σM更精細地控制模型的平滑度和波動范圍， 使模型能更好地適應不同的數據特性， 表達式為

kMatern（x，x′）=σ2M1+5‖x-x′‖lM+5‖x-x′‖23l2Mexp-

5‖x-x′‖lM.（6）

根據Bayes原理， 高斯過程模型在訓練集D內建立先驗函數， 在測試數據X*上轉化為后驗分布， 因此根據測試數據輸入得到的預測結果y*與訓練集

數據的目標值y形成聯合高斯分布， 即

yy*～N0，K（X，X）+σ2nIN×NK

（X，X*）

K（X*，X）K（X*，X*），（7）

其中K（X，X）表示訓練集輸入特征的自協方差矩陣， K（X*，X

*）表示測試集輸入特征的自協方差矩陣， K（X，X*）表示訓練集數據

與測試集數據輸入特征之間的協方差矩陣. 根據式（4）中的聯合分布可計算y*的邊緣分布為

y*～N（K（X*，X）［K（X，X）+σ2nI

]^-1y，K（X*，X*）-K（X*，X

）［K（X，X）+σ2nI］^-1K（X，X*）），（8）

其中預測均值μ（y*）和預測方差σ2（y*）分別為

μ（y*）=K（X*，X）［K（X，X）+σ2nI］^-1y，

σ2（y*）=K（X*，X*）-K（X*，X）［K（X，X）+σ2nI］^-1K（X，X*）.（9）

1.2 PSO求解方法

本文利用PSO算法優化GPR中的超參數， 對前方車速進行預測. 粒子群優化算法的速度和位置更新公式分別為

v^k+1i，d=vki，d+c1Rand（ ）（pki，d-xki，d）+c2Rand（ ）（pkg，d-xki，d），（10）

x^k+1i，d=xki，d+vki，d，（11）

其中c1和c2分別為學習因子和加速常數， Rand（ ）為（0，1）內的隨機數， v^k+1i，d和x^k+1i，d分別為粒子i在k次迭代中第d維的速度和位置， Pk

i，d為粒子i在第d維的個體極值位置， Pkg，d為群體在第d維的全局極值位置.

2 基于改進組合核函數的車速預測

圖1為基于GPR技術的前車車速預測流程.

圖1 基于GPR技術的前車車速預測流程

Fig.1 Flow chart of vehicle speed prediction of preceding vehicle based on GPR technology

由圖1可見， 本車基于前車2 s歷史車速數據， 利用GPR技術預測前車0.1～2 s內未來車速的均值和方差. GPR技術的主要步驟如下：

1） 選取前車2 s內歷史車速數據建立訓練數據集；

2） 選取SEM*組合核函數；

3） 初始化超參數及進行先驗模型；

4） 使用PSO算法對超參數進行優化；

5） 得到高斯過程回歸車速預測模型；

6） 得到未來2 s時域預測車速的均值和方差.

PSO算法對超參數進行優化的主要步驟如下：

1） 初始化粒子群參數；

2） 生成超參數初始群體；

3） 計算各粒子適應度；

4） 計算個體最優位置；

5） 計算種群歷史最優位置和種群最優適應度；

6） 更新粒子的速度和位置；

7） 判斷是否達到迭代值， 如果未滿足條件則返回步驟3）計算各粒子適應度；

8） 輸出最優超參數.

本文車速誤差評價采用平均絕對誤差（mean absolute error， MAE）和均方根誤差（root-mean-square error， RMSE）， 分別表示為

MAE=1N∑Ni=1μ（yi）-y′i，（12）

RMSE=1N∑Ni=1（μ（yi）-y′i）2，（13）

其中yi表示車速預測輸出（為一個高斯隨機變量）， μ（yi）表示車速預測輸出的均值， y′i表示前車車速的真實值， N表示車速預測點總數.

單一核函數一般只針對一個類型的數據有較好的性能， 但對于復雜的非線性系統， 基于單一核函數的模型通常無法完成對數據的描述. 假設高斯過程f（x）=f

1（x）+f2（x）， 且f1（x）與f2（x）相互獨立， 則有

k（x，x′）=k1（x，x′）+k2（x，x′），

即使核函數的特征長度不同也不會影響這種組合方式的結果. 本文利用兩個單一核函數SE和M組合成核函數SEM， 表示為

kSEM（x，x′）=σ2SEexp

-‖x-x′‖22l2SE+σ2M1+5‖x-x′‖lM+5‖x-x′‖23l2M

exp-5‖x-x′‖lM.（14）

在此基礎上利用兩個不同核函數的特點進一步改進SEM組合核函數并進行分析. 將4種改進的SEM組合核函數分別標記為SEM1，SEM2，SEM3，SEM*， 公式為

kSEM1（x，x′）=σ2SEexp-‖x-x′‖22l2SE+

1+θ‖x-x′‖lM+θ‖x-x′‖23l2

Mexp-θ‖x-x′‖lM，（15）

kSEM2（x，x′）=exp-‖x-x′‖22l2SE+σ2M1+5‖x-x′‖

lM+5‖x-x′‖23l2Mexp-5‖x-x′‖lM，（16）

kSEM3（x，x′）=exp-θSE‖x

-x′‖22l2SE+σ2M1+5‖x-x′‖lM+5‖x-x′‖23l2

Mexp-5‖x-x′‖lM，（17）

kSEM*（x，x′）=θM‖x-x′‖2+3

2θMlM‖x-x′‖+3l2M3l2Mexp-2θM‖x-x′‖lM+σ2SEexp

-‖x-x′‖22l2SE.（18）

圖2為組合核函數對車速預測結果的敏感性分析曲線. 圖2（A）為車速1 s預測效果， 圖2（B）為車速2 s預測效果.

表1列出了不同核函數GPR方法車速預測2 s的誤差對比結果. 由表1可見， SEM*組合核函數方法的MAE和RMSE指標都是最低的. 敏感性分析結果表明， SEM*方法不僅具有SE核函數對高維數據集建模的優勢， 而且也具有M核函數更精細的模型平滑尺度.

3 不同核函數的GPR方法車速仿真分析

為驗證不同核函數對車速的預測效果， 本文分別在FTP75工況和城市典型工況下進行仿真測試. 使用MATLAB工具箱RQ核函數方法作為預測基準， 其他核函數的超參數為PSO實時優化. 當前時刻下控制器以0.1 s時刻為采樣間隔獲取歷史車速2 s數據作為訓練數據集， 分別對未來1 s和2 s時域車速進行預測， 其中預測步長為0.1 s.

3.1 FTP75工況下的5種核函數GPR方法車速預測效果對比

圖3和圖4分別為未來1 s和2 s時， 5種核函數在FTP75工況下的車速預測對比結果. 其中（A）為5種核函數GPR方法下的車速預測效果， （B）和（C）為部分工況下預測對比局部放大圖， （D）為（B）的95%置信區間（confidence interval， CI）， （E）為（C）的95%CI.

表2列出了5種核函數GPR方法車速預測1 s和2 s的誤差對比. 由表2可見： 當車速進行1 s預測時， SEM組合核函數相比于M核函數和SE核函數方法， MAE指標分別下降11.76%，15.09%， RMSE指標分別下降7.79%，11.80%; SEM*組合核函數相比于SEM， MAE和RMSE指標分別下降17.77%和11.26%； 對車速進行2 s預測時， SEM組合核函數相比于M核函數和SE核函數方法， MAE指標分別下降9.66%，10.09%， RMSE指標分別下降6.94%，7.23%; SEM*組合核函數相比于SEM， MAE和RMSE指標分別下降8.02%和8.13%. 圖5為FTP75工況下4種核函數超參數實時優化算法的運行時間. 4種核函數方法的單次最大運行時間均在0.1 s以內， SE核函數為0.09 s， M核函數為0.04 s， SEM核函數為0.082 s， SEM*核函數為0.035 s. 結果表明， 上述GPR車速預測方法都具有實時性.

3.2 城市典型工況下5種核函數GPR方法車速預測效果的對比

下面進一步驗證本文提出的SEM*組合核函數方法預測車速的可行性和準確性. 圖6和圖7分別為未來1 s和2 s時5種核函數GPR方法在城市典型工況下的車速預測對比結果. 表3列出了城市工況下5種核函數GPR方法車速預測1 s和2 s的誤差對比數據. 由表3可見： 對車速進行1 s預測時， SEM核函數組合相比于M核函數和SE核函數方法MAE指標分別下降9.09%，6.25%， RMSE指標分別下降7.40%，5.66%; SEM*組合核函數相比于SEM方法， MAE和RMSE指標分別下降3.33%，4.0%; 對車速進行2 s預測時， SEM核函數組合相比于M核函數和SE核函數方法， MAE指標分別下降8.19%，3.44%， RMSE指標分別下降5.15%，4.16%; SEM*組合核函數相比于SEM方法， MAE和RMSE指標分別下降3.57%，2.17%. 圖8為4種核函數超參數實時優化算法的運行時間. 4種核函數GPR方法的單次最大運行時間均在0.1 s以內， SE核函數為0.075 s， M核函數為0.029 s， SEM核函數為0.029 s， SEM*核函數為0.09 s. 結果表明， 上述GPR車速預測方法都具有實時性.

圖9為FTP75工況下和城市典型工況下， 0.1～2 s不同預測時域下4種核函數實時GPR方法車速預測誤差對比結果. 由圖9可見， 隨著預測時域增大， 各種核函數方法實時車速預測誤差MAE和RMSE指標都會增大. 整體上看， SEM組合核函數方法在各預測時域下誤差指標都低于SE和M核函數方法； SEM*核函數方法的誤差指標都低于SEM組合核函數方法.綜上所述， 針對目前有效預測前車速度的同時量化不確定性的問題， 本文基于高斯過程回歸技術， 提出了一種新的實時車速預測方法. 該方法引入SE和M的組合核函數SEM方法， 并改進了組合核函數方法為SEM*， 有效地平衡了單一核函數方法對車速預測的優缺點， 并在超參數尋優時采用了粒子群實時求解方法. 瞬態工況下2 s時長車速預測的仿真分析表明： 相比于單核性能較好的SE核函數， SEM方法在車速FTP75工況下誤差MAE和RMSE標準分別降低了10.09%和7.23%， 而SEM*方法在兩個誤差指標中相比SEM方法分別降低了8.02%和8.13%； 在城市典型工況下， SEM相比SE誤差MAE和RMSE分別降低了3.44%和4.16%， 而SEM*在兩個誤差指標中相比SEM核函數分別降低3.57%和2.17%. 并且改進核函數SEM*在FTP75工況單次最大計算時間上相對SE核函數降低0.3 s， 城市典型工況付出的代價是相對SE核函數提高了0.015 s的最大計算時間， 但計算時間仍在0.1 s采樣時刻以內， 具有實時性.

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（責任編輯： 韓 嘯）