潛在增長曲線模型在二語習得研究中的應用

提 要：傳統的二語習得研究多采用重復性（協）方差分析（repeated measure ANOVA/ANCOVA）等方法來分析重復測量的數據，進行差異性檢驗。然而該方法局限性明顯，僅從群體層面探究學習者的發展變化，無法考察個體的變異性、比較個體與群體變化軌跡所存在的差異性。鑒于此，本文基于復雜動態系統理論，介紹一種更為先進的縱向數據分析方法：潛在增長曲線模型，該方法在考察群體變化趨勢的同時關注個體發展，并探究影響發展軌跡變化和差異的因素。本文以學生課堂怠學（disengagement）的實證數據為例，使用R語言進行統計建模，展示如何使用該模型進行縱向數據分析，通過添加時變協變量探究影響個體內部課堂怠學變化的因素，通過添加時不變協變量解釋群體變化中的個體差異。最后本文簡要探討了近年來該方法在二語習得研究中的應用。

關鍵詞：復雜動態系統理論；潛在增長曲線模型；個體變化；群體差異；縱向數據分析；課堂怠學

中圖分類號：H319" "文獻標識碼：A" "文章編號：1000-0100（2025）02-0011-8

DOI編碼：10.16263/j.cnki.23-1071/h.2025.02.002

Application of Latent Growth Curve Modeling in Second Language Acquisition Research

Zhou Shi yao

（School of International Studies， Hainan University， Haikou 570228， China）

Traditional second language acquisition （SLA） research often employs methods such as repeated measure ANOVA/ANCOVA to analyze repeated measurement data and conduct tests of differences. However， these methods have clear limitations as they explore learner development changes only at the group level， failing to examine individual variability or the differences between individual and group developmental trajectories. In light of this， this paper introduces a more advanced longitudinal data analysis method based on Complex Dynamic Systems Theory： Latent Growth Curve Modeling （LGCM）. This method not only focuses on the trends of group changes but also pays attention to individual development and explores the factors influencing the trajectories of development and their differences. Using empirical data on student disengagement in the classroom as an example， and employing R programming for statistical modeling， this paper demonstrates how to use this model for longitudinal data analysis. It investigates the factors influencing intra individual changes in classroom disengagement by adding time varying covariates and explains inter individual differences in group differences by incorporating time invariant covariates. Finally， the paper briefly discusses the recent applications of this method in second language acquisition research.

Key words：complex dynamic systems theory; latent growth curve modeling; intra individual changes; inter individual diffe rences; longitudinal data analysis; disengagement

1 引言

潛在增長曲線模型（Latent Growth Curve Modeling， 簡稱LGCM）是回歸模型延伸出的一種縱向數據分析方法（Kozlowski et al. 2013：590），該方法可同時分析研究變量的個體層面和群體層面，捕捉個體內部和群體間隨時間變化而產生的軌跡。該模型已廣泛應用于行為科學、社會學、醫學等研究領域，用以探究干預前后個體及群體層面某現象的變化情況（李麗霞等 2012：713）。在二語習得領域，語言學習者個體的變異性則是復雜動態系統理論關注的焦點問題（如Larsen Freeman 2009：579）。在Hiver與Al Hoorie（2020：173）出版的《復雜性理論的應用語言學研究方法》一書中指出，“潛在增長曲線模型結合了以變量為中心和以個體為中心的兩種截然不同的發展觀，它可以描述每個案例的獨特軌跡、所有案例的平均軌跡以及圍繞平均軌跡的變化”。

2 潛在增長曲線模型

2.1 相關術語

潛在增長曲線模型包含固定效應和隨機效應。群體層面的變化軌跡以及其他表示樣本平均值的參數為固定效應。這是因為在樣本群體確定后，群體層面的數據相對穩定，因而稱為固定效應。具體而言，群體初始狀態通過對樣本內所有個體的初始狀態取平均值獲得，而群體平均變化率則由所有個體變化率的平均值估算獲得。在潛在增長曲線模型中，被測變量的初始狀態由方程中的截距因子來表示，而該變量隨時間發展的變化率則由斜率因子表示。由截距和斜率生成的軌跡可以用來描述受試者被測變量在不同時間的變化情況。模型中的固定效應不僅是對所研究變量的群體變化軌跡的描述，也是進一步進行個體內和群體間比較分析的基礎。

與群體參數相對應的個體增長參數（即截距和斜率）為隨機效應，其因個體不同而存在差異，具有隨機性。個體間初始狀態與變化率的異質性可以通過對初始狀態方差和斜率方差結果進行分析獲得。例如，在所有其他影響因素不變的情況下，斜率的方差越大，個體間隨時間的變化率差異就越大。如果在一個或多個協變量加入無條件潛在增長曲線模型后，方差減小，則說明加入的協變量有助于解釋個體層面的變化或群體層面的異質性，亦或同時解釋兩者的差異性。例如，在研究二語學習水平變化的無條件增長曲線模型中加入“課外使用二語時長”這一協變量后，截距方差顯著減小，說明該協變量可有效解釋二語學習水平初始狀態的個體間差異。總而言之，包含固定效應和隨機效應的潛在增長曲線模型的優勢在于其既能從個體變化的基礎上捕捉群體變化，量化群體變化中的個體差異，又能通過納入協變量來解釋引起不同層面差異的原因（Kozlowski et al. 2013：590）。

2.2 潛在增長曲線模型的優勢

二語習得研究中，重復測量方差分析或重復測量協方差分析已被廣泛應用數十年（Hiver， Al Hoorie 2020：172）。重復測量（協）方差模型通過分析相同個體中重復收集的數據，在比較不同組別的因變量隨時間的變化方面效果顯著。然而，此模型局限于群體層面的比較，忽略對個體層面的分析，因此無法捕捉每位受試者的被測變量是如何隨著時間發生變化，或者這些變化的軌跡是否存在個體間差異。此外，該模型無法添加時變協變量（time varying covariates），因此無法探究結果變量的變化是否與時變協變量的變化存在相關性及何種相關性。潛在增長曲線模型為重復測量（協）方差模型所存在的局限性提供了解決方案。由于潛在增長曲線模型中至少存在兩個層次（如嵌套于個體內的重復測量），因此該模型能夠在對個體層面參數和群體層面參數進行估算的同時，進一步檢驗引起個體內變化和個體間差異的因素。

二語習得領域目前關注的許多前沿問題，大多涉及在不同時間跨度上具有不同變化態勢的群體中的個體（鄭詠滟 2020：93，于涵靜等 2024：104），Lowie和Verspoor（2019）明確指出，由于遍歷性（ergodicity）的嚴格限制條件，群體性數據不應用于推斷個體發展，且復雜動態系統理論的研究重點之一就是對個體隨時間變化軌跡的追蹤（同上：191）。由于潛在增長曲線模型具備同時對個體間差異比較和個體內變化分析的功能性，該模型符合復雜動態系統理論的研究范式，也被認為是應用語言學研究中最具潛力的模型之一（Hiver， Al Hoorie 2020：175）。接下來，筆者將通過一個實例展示如何使用潛在增長曲線模型進行二語習得研究。

3 實例研究展示

在本例中，筆者使用問卷調查法對我國南方地區某綜合類大學二年級非英語專業學生的大學英語課堂怠學和心理需求變化開展為期一個學期的追蹤，進行3輪數據收集，即學期開始后的第2周（第1輪）、第9周（第2輪）和學期結束前1周（第3輪）。問卷采用李克特7級量表，其中1表示“非常不同意”，7表示“非常同意”。研究具體考察：（1）學生大學英語課堂怠學的變化情況（即課堂怠學的個體內發展軌跡以及個體間差異）；（2）個體間課堂怠學水平異質性是否與性別相關；（3）個體內課堂怠學的變異性是否與學生基本心理需求的變化相關（此研究中特指心理需求受挫（need frustration））。鑒于課堂怠學與基本心理需求均為多維度變量，因此在進行潛在增長曲線模型建模之前，筆者對上述兩個變量進行了確定性因子分析（CFA）和縱向測量的不變性檢驗（measurement invariance test，包含構形檢驗、計量檢驗和標量檢驗），確認了二者在不同數據收集輪次測量的等效性。該研究中，性別作為時不變協變量（即變量本身不隨時間變化而變化），編碼為虛擬變量（dummy variable），0代表女性，1代表男性；心理需求受挫作為時變協變量（即變量本身亦會隨時間變化而變動）。

3.1 實例研究中的變量簡介

第一，結果變量：課堂怠學（classroom disengagement）①：作為二語習得個體差異熱門變量“學習投入”（engagement）的對立面，課堂怠學泛指學生在課堂學習時懶惰、松散的行為及表現，同樣包含4個子維度（Reeve 2013：579）， 即行為怠學、情感怠學、認知怠學及能動性怠學。

第二，協變量：在對于時變協變量的選擇上，本研究選取自我決定論（Self Determination Theory）中與投入及怠學關聯最緊密的核心微型理論——基本心理需求理論（Basic Psychological Needs Theory）作為理論依據（Ryan， Deci 2017：50）。該理論指出，基本心理需求包含3個要素，即自主、能力、關系。當學習者的基本心理需求得到滿足時（need satisfaction），他們就會表現出優秀的學習行為，即“投入”；然而，當學習者的基本心理需求受挫時，他們往往會表現出失調的行為，即“怠學”（同上 2017：55）。因此，本研究選取需求受挫作為時變協變量，用以探究其與課堂怠學個體內變異的動態關系。

現有研究表明，男性學習者在語言課堂上的投入程度較低，對所學外語及相關文化興趣較弱，進而在外語及其文化的學習上精力投入較少（Henry， Cliffordon 2013：280）。基于此類研究結果，在對于時不變協變量的選取方面，本研究選擇檢驗性別是否對個體間課堂怠學的差異產生影響。

3.2 潛在增長曲線模型建模步驟

潛在增長曲線模型可通過不同統計軟件來建構，如Mplus， SAS， HLM等，在本例中，筆者使用R軟件（4.2.2版本）進行模型構建及數據分析，具體使用“Ime4”（Bates et al. 2015：3）和“lmer Test”（Kuznetsova et al. 2017：23）等軟件包來建構此研究中的模型。

3.2.1 步驟1：縱向數據的組織與探索

數據的組織：即寬數據格式與長數據格式。一般來說，從問卷星等問卷調查工具導入數據時，所獲取的數據通常是寬格式的， 即每位被試者的數據占一橫行，變量包含每輪測量得到的所有數據，見表 1。這種寬格式的數據缺少明確的“時間”變量，在使用“lme4”和“lmerTest”軟件包分析模型時，無法靈活處理時變協變量，因此須要將數據從寬格式轉換成長格式。

“data.table”和“reshape2”（Wickham 2007：1）軟件包可用來將寬格式的數據轉換為長格式數據。完成長格式轉換后，如表 2所示，每位被試者的數據會占多個橫行，即每個測量場景（如數據收集輪次）都占有一橫行。表 2共顯示4類變量：識別變量（即學生編號），為非時變型；時間變量（時變型）；結果變量（時變型）和協變量（時變型和非時變型）。

數據的探索：研究首先對個體學習者課堂怠學變化軌跡進行描述。使用“lattice”軟件包繪制出每位個體學習者的課堂怠學動態軌跡。

圖 1繪制了前25名（共171名）個體學習者的軌跡作為示例。圖 1顯示，前25位學習者的課堂怠學變化呈現不同態勢：平滑、變化率較大、上升、下降等，軌跡各不相同。剩余146位學習者的軌跡圖中也可觀測到明顯的個體間差異。

為了探索不同學習者個體間變化軌跡的差別，即個體間變化差異性，筆者將所有學習者在一個學期內的課堂怠學變化軌跡繪制在同一張圖上（見圖 2）。圖 2中的紅色曲線代表3輪數據收集時間點的群體平均課堂怠學水平。圖 2顯示，學習者個體間怠學水平的初始狀態和斜率均差異明顯，因此平均軌跡（即紅色曲線）無法用來準確代表每位個體學習者在整個學期內的課堂怠學情況變化。

怠學水平變化軌跡

數據探索表明，僅使用均值的傳統統計模型無法準確描述個體學習者課堂怠學的動態變化，因此，為更準確研究大學英語課堂怠學的個體內變化及個體間差異，須要建立潛在增長曲線模型。

3.2.2 步驟2：無條件潛在增長曲線模型

筆者首先構建一個無條件潛在增長曲線模型，該模型僅包含時間變量，不含有任何解釋個體內變化和個體間差異的協變量。該模型可用來估算結果變量隨時間的變化軌跡（Singer， Willett 2003：32）。學習者課堂怠學水平的無條件模型公式（即模型1）表達為：

一層模型： Y it=β 0i+β 1iSymboltB@time it+ε it

二層模型： β 0i=β 00+SymbolzA@ 0i

β 1i=β 10+SymbolzA@ 1i

將兩個公式合并，得到二層次復合無條件模型：Y it= β 00+β 10SymboltB@time it+SymbolzA@ 1iSymboltB@time it+SymbolzA@ 0i+ε it

一層模型描述了個體內隨時間發生的變化，可以用來回答研究問題一中的“課堂怠學的個體內發展軌跡？”具體來說，學習者個體i在時間t的怠學水平Y it是時間變量time的一個線性函數。其中，time=數據收集輪次 1，因此，time在本例中的取值分別為0、1、2。通過使用“數據收集輪次 1”，將時間變量中心化處理，可以更清晰地解讀模型中的參數，明確第一輪數據收集之時為學習者怠學水平的初始狀態。β 0i代表個體i的初始狀態（即time=0）怠學水平。β 1i代表個體的怠學水平隨時間的變化率。β 0i和β 1i中的下標i，表示初始狀態和斜率因人而異。ε it表示個體i在特定時間節點的殘差，用于量化觀測到的個體i在時間t內的怠學水平與模型預測的怠學水平之間的差異。另外，該模型假設ε it的均值為0，且其方差在時間上保持不變，記為σ2 ε 。

二層模型用于探究研究問題一中的怠學程度變化的個體間差異，即“不同學習者的怠學水平初始值及變化率是否存在差異？”在第二層模型中，β 0i是β 00和SymbolzA@ 0i的函數。β 00是固定效應，代表所有學習者的平均真實截距（即初始階段的平均怠學程度）。SymbolzA@ 0i是隨機效應，代表每個個體的截距與平均截距之間的差異。同樣，β 10是固定效應，代表所有學習者的平均真實斜率（即怠學程度的變化率）。SymbolzA@ 1i是隨機效應，代表每個個體的斜率與平均斜率之間的差異。該模型中，SymbolzA@ 0i和SymbolzA@ 1i的均值被假定為0，方差分別為σ2 0和σ2 1。SymbolzA@ 0iSymbolzA@ 1i之間的協方差被記為σ 10。如果σ 10的值為正，表明初始狀態較高的學生具有較高的變化率；反之亦然。

將一層模型和二層模型結合起來，得到一個復合模型，即分析及結果解讀中所使用的模型。該模型包含6個參數，2個固定效應（β 00和β 10）和4個方差分量（σ2 0 、σ2 1、σ 10和σ2 ε）。該模型可用 “lme4”軟件包進行處理。鑒于該軟件包僅提供固定效應的顯著性檢驗，因此筆者使用代碼“confint（model 1）”來進行方差分量的顯著性檢驗。結果如表 3所示。

表 3為無條件增長曲線模型中學習者怠學程度的6個參數的估算值。固定效應β 00的估算值為12.73（plt;.001）。該數值的顯著性表明，學習者的初始平均怠學程度不為0。β 10的估算值是0.36（plt;.05）。該數值的顯著性表明，學生的怠學程度的確會隨著時間而發生變化。具體而言，隨著時間的推移（即每隔7周），怠學程度平均增加0.36個單位。

接下來看方差分量估算結果。σ2 ε的估算值為7.47，其標準差的95%置信區間為[2.47， 3.05]，不包括0，表明在該模型中僅使用時間作為預測變量時，怠學程度的變化模式中存在未解釋的方差。σ2 0和σ2 1的估算值分別為28.45和1.20，分別代表截距和斜率的個體間變異程度。它們所對應標準差的95%置信區間也均不包括0，表明不同學習者之間怠學程度的初始值和變化率均存在顯著差異。截距與斜率之間的關系系數（γ 10）的估算值為-0.42，表明初始階段怠學程度較高的學生在整個學期的怠學水平變化率較低。

3.2.3 步驟3：有條件潛在增長曲線模型

上述結果說明，在使用無條件潛在增長曲線模型時，僅包含時間變量并不能完全解釋課堂怠學水平的個體內變化和個體間差異。因此，需要尋找其他協變量（往往從理論和以往的實證研究中獲得的預測變量）來協助解釋方差中未能解釋的部分。下一步，筆者將演示兩個有條件潛在增長曲線模型構建及模型參數分析。

第一，將性別作為時不變協變量。在這一步中，性別作為一個時不變協變量被添加到原有無條件模型中，以檢驗它是否能夠解釋學習者課堂怠學程度的個體間差異。時不變協量通常被添加在第二層模型。以下為添加性別協變量后的復合有條件模型：

Y it=β 00+β 01SymboltB@Male i+β 10SymboltB@time it+β 11SymboltB@Male iSymboltB@time it+SymbolzA@ 0i +SymbolzA@ 1iSymboltB@time it+ε it

與無條件模型相比，該有條件模型，即模型2，增加了另外兩個參數β 01和β 11。這兩個參數量化了增長軌跡中的性別差異。因此，原有6個參數的解讀也有別于它們在無條件模型中的含義。如表 4所示，模型2中的參數解讀如下：編碼0代表女性，β 00代表女性學習者初始狀態的平均截距（即第一輪數據收集之時怠學程度的平均值），為10.75，顯著區別于0。β 01描述了初始怠學程度平均值的組間差異。其估算值為2.51，plt;.05，這表明在初始狀態時，男性學習者的怠學程度平均值顯著高于女性。根據β 00和β 01的估算值，可以得到男性課堂怠學的平均初始狀態，即10.75+2.51=13.26。β 10代表女性怠學程度的平均變化率，其估算值為0.90，同樣顯著區別于0。β 11表示怠學程度變化率平均值的組間差異，其估算值為-0.68，表明女生的變化率平均值更高，但男女之間的差異并不顯著。與截距參數計算類似，男性的平均變化率為0.90-0.68=0.22。

接下來解讀方差分量結果。在模型2中，σ2 ε的估算值為7.47，與它在無條件增長模型（即模型1）中的估算值相同。這是由于時不變協變量在加入第二層模型后，該變量無法解釋第一層模型的方差。σ2 0表示在控制第二層協變量（即性別）之后，截距在個體之間的差異。其估算值為27.40，較模型1中有所下降，表明性別可以解釋課堂怠學初始狀態中3.69%的組間差異。然而其（標準差）對應的95%置信區間為[4.58， 5.98]，不包括0，表明截距中仍存在未解釋的差異性。σ2 1表示在控制性別的條件下，個體間變化率的差異。其估算值為1.12，較模型1中有所降低，顯示性別可以解釋課堂怠學變化率中6.67%的組間差異。同樣，其（標準差）對應的95%置信區間為[0.08， 1.58]，不包含0，表明在控制性別的條件下，個體間變化率中仍有顯著的未解釋差異性。在控制第二層模型協變量（性別）的條件下，個體的截距與變化率之間的關系系數γ 10的估計值為-0.39，95%置信區間[-1.49， 0.14]，包括0，這表明在控制性別的條件下，學習者的截距與變化率之間不存在顯著關系。為直觀展示課堂怠學的性別差異，筆者繪制出男性和女性課堂怠學的折線圖（見圖 3）。

為了進一步檢驗模型2是否優于模型1，筆者對兩個模型進行相對擬合程度比較。由于兩個模型屬于嵌套模型，因此使用卡方差異檢驗比較其擬合優度。結果表明，包含二級協變量的模型2擬合程度并沒有顯著優于不包含二級協變量的模型1（Δχ2=2941.7-2936.0=5.7， Δdf=2， pgt;.05）。也就是說，在解釋學習者大學英語課堂怠學水平軌跡的個體間差異時，性別并不是一個理想的協變量。

第二，將需求受挫作為時變協變量。時變協變量指其數值可能隨著時間而變化的變量。根據模型1的結果，可以得知，在第一層模型和第二層模型中，方差均存在未被解釋的部分。這說明時間本身并不能完全解釋這些變異性。在本實證示例中，根據自我決定理論將學生的心理需求受挫選作一個獨立的時變協變量添加進來，以協助解釋學生的課堂怠學程度隨著時間的變化。時變協變量通常包括兩個下標，記為X ij。如上所述，時變協變量屬于第一層（即個體內變化）模型預測因子。以下為合并一二層模型的復合有條件模型（即模型3）表示為：

Y it=β 00+β 10SymboltB@time it+β 20SymboltB@X it+β 30SymboltB@ X itSymboltB@time it +SymbolzA@ 0i +SymbolzA@ 1iSymboltB@time it+ε it

見表 4中模型3的分析結果。如表 4所示，交互效應（β 30）呈現顯著性（其估算值為-0.13， plt; .01），表明學生課堂怠學的變化率因其心理需求受挫程度不同而出現差異。對方差分量的進一步檢驗顯示，將需求受挫加入無條件模型之后，第一層模型殘差方差由7.47降低為4.69，呈顯著遞減。這表明，在個體內層面上，需求受挫的變化解釋了課堂怠學隨時間產生變化中的37.4%變異性。

由于需求受挫僅被添加到第一層模型中，其主要功能是協助解釋個體內層面的方差分量，對個體間層面差異性的影響有限。因此，在此處解釋第二層方差分量（即個體間變化差異）的變化并無實際意義。然而，加入一個時變協變量依然會改變原潛在增長曲線模型其他參數的意義。一層模型的方差分量數值減小是具有可預見性的，但二層模型方差分量的變化可能不具有實際意義。這是為什么呢？這些二層方差分量發生了什么變化？正如本例的表 4所示，雖然模型3較模型1截距的方差分量大幅下降（即從27.40下降到8.93），但變化率卻上升了（即從1.12上升到1.60）。27.40和1.12這兩個數值分別是所有學習者初始狀態的方差和斜率的方差。然而，8.93和1.60這兩個數值僅適用于需求受挫水平為0的學習者。改變時變協變量的數值將使這些方差分量的估值也發生變化。因此，在解釋這些變化時，須要謹慎對待。

最后進行模型比較。表 4顯示，在添加時變協變量后，卡方差異檢驗結果呈現顯著性（Δχ2=2941.7-2619.9=321.8， df =2， plt;.001），模型3的擬合程度顯著提高。此結果表明，在解釋學習者怠學程度變化方面，相較于模型1，模型3為更優模型，即心理需求受挫可以用來解釋學習者個體內部怠學軌跡的變化。

在此需要強調一點，本研究將時間變量進行了中心化處理，此外，也可以使用組均值中心化或總均值中心化，對時變協變量（需求受挫）進行中心化處理。在對需求受挫進行組均值中心化處理時，須要用學生i每輪數據收集時需求受挫的得分，減去其需求受挫在整個學期內的平均得分。因此，要使用（X it- .j），而不是X it。通過使用組均值中心化，第一層模型截距可以解釋為一名學習者在其整個學期中平均需求受挫程度對應的怠學水平的預期初始狀態。第一層模型斜率則可以解釋為保持學習者個體內（而非個體間）的需求受挫程度不變的情況下，怠學水平隨時間產生的預期變化。總均值中心化處理，需要從每個個案的X值中減去全部學生在所有時間點的總平均值X。這意味著在第一層模型中用（X it-..） 來代替X it。通過使用總均值中心化處理，可以將本例中的第一次模型截距解釋為在學習者需求受挫水平等于所有學習者需求受挫的總平均水平時，其怠學程度的預期初始狀態。第一層模型斜率則可以解釋為，在需求受挫程度等于總體均值時，其課堂怠學程度隨時間的預期變化速率。

4 結束語

近年來，潛在增長曲線模型已經被廣泛應用于多個研究領域。但作為一種統計方法，它的知名度尚不及從回歸模型中衍生出來的用于研究數據嵌套層次的其他類似應用（如分層模型、隨機效應模型或混合效應模型）。即便如此，應用語言學中已經出現不少使用潛在增長曲線模型進行的研究，如雙語教育（Gugliemi 2008：322）、二語構詞法與詞匯習得（Kieffer， Lesaux 2012：23）、短語學與語料庫（Garner， Crossley 2018：494）、二語學習的決定因素（Debatin et al. 2019：121）、個體差異（Noels et al. 2019：821）、二語讀寫能力（Kim et al. 2020：573）以及二語熟練程度（Zhang et al. 2020：807）等。

通過以上簡短的方法教程，筆者希望能夠展現出潛在增長曲線模型的實用性、多功能性以及其在二語習得領域中的具體應用。需要指出的是，潛在增長曲線模型并非一個完全動態的模型，因為它不是迭代重復式的，可能無法回答關于高維度時間序列數據發展過程中變化規則的問題，如變異性較大的階段是否能預測質變。然而，在研究從同一個體重復測量收集的數據（即個體內變化）之間的關系時，以及在比較個體層面數據與群體層面數據之間的（即個體間差異）關系時，潛在增長曲線模型可以說是最為適用的。

注釋

①classroom disengagement的中文翻譯出自本文作者與鄭詠滟教授的私人通訊，并由鄭詠滟教授首次提出。受《說文解字》中啟發，即怠學是指學習者懶惰、忪懈地學習。怠，形聲字，從心臺聲。心上一個高高的臺階，不想爬上去。本義：懶惰。《說文解字》：“怠，慢也。”《爾雅》：“懈，怠也。”《廣雅》：“怠，賴也。”

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定稿日期：2025-01-10【責任編輯 陳慶斌】