分形理論在“實(shí)變函數(shù)”中的直觀引入

摘"要：“實(shí)變函數(shù)”是數(shù)學(xué)專業(yè)中一門重要的課程，它在數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化了微積分和函數(shù)理論。“實(shí)變函數(shù)”課程知識(shí)體系嚴(yán)密，具有大量抽象的概念和定理，這給該課程的教學(xué)帶來了巨大挑戰(zhàn)。現(xiàn)有的“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)中的方法大多基于概念講解、定理推導(dǎo)等，學(xué)生難以切身體驗(yàn)本課程的魅力。本文主要研究在“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)中直觀地引入分形的基本思想和理論，從分形在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用入手，給出“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)中融入分形思想的一種新角度。

關(guān)鍵詞：實(shí)變函數(shù)；分形理論；建筑

分形幾何是一種非線性幾何學(xué)，其研究對(duì)象是不規(guī)則、非線性的幾何形態(tài)。分形幾何的核心概念是自相似性，即分形形態(tài)在不同尺度下具有相同的結(jié)構(gòu)特征。分形幾何也會(huì)在自然界中出現(xiàn)，如山脈、樹木、雪花等，這使分形被劃入藝術(shù)作品的范疇，因此，分形幾何也被稱為“大自然的幾何學(xué)”［1］。分形的基本思想和理論在實(shí)變函數(shù)中就多次出現(xiàn)，如Cantor集、連續(xù)但處處不可微的函數(shù)、Weierstrass函數(shù)等，可見分形與“實(shí)變函數(shù)”課程中的許多知識(shí)聯(lián)系緊密，但是學(xué)生卻對(duì)分形知之甚少。大家較為熟悉的是Cantor集，其特點(diǎn)是自相似性，即部分與整體相似。Cantor集的構(gòu)造過程簡單直接，學(xué)生基本理解和掌握，但其他分形的構(gòu)造更加復(fù)雜抽象。“實(shí)變函數(shù)”課程中定理和概念的抽象性，以及證明過程的復(fù)雜性，要求學(xué)生具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力和抽象思維能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候常會(huì)感到異常困難和具有挫敗感，學(xué)習(xí)的興趣隨著課程的深入逐漸降低。許多教師對(duì)“實(shí)變函數(shù)”課程的教學(xué)進(jìn)行了大量有益的研究，如蘇先鋒等［2］的《關(guān)于實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的一些注記》、孫萍［3］的《兩個(gè)有趣的數(shù)學(xué)悖論》、唐古生［4］的《論實(shí)變函數(shù)第一堂課的相關(guān)問題及作用》。特別地，參考文獻(xiàn)［5］研究了分形在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用，通過具體的兩個(gè)實(shí)例Cantor三分集和Peano曲線探討了在實(shí)變函數(shù)中引入分形的必要性。

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文繼續(xù)探討分形的基本思想和理論在“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)中的直觀引入。首先，研究分形與實(shí)變函數(shù)的聯(lián)系，詳細(xì)介紹了“實(shí)變函數(shù)”課程中出現(xiàn)的Cantor集和Weierstrass函數(shù)。為了加深學(xué)生對(duì)分形幾何圖形自相似性結(jié)構(gòu)的理解，筆者進(jìn)一步介紹Peano曲線和Sierpinski墊片。這兩種典型的分形圖形有助于培養(yǎng)學(xué)生從抽象到具體的邏輯思維能力，旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。其次，探討了分形的特性及其在自然界中的廣泛應(yīng)用，詳細(xì)討論了分形的基本思想和理論在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用，這是對(duì)“實(shí)變函數(shù)”課堂教學(xué)的一次創(chuàng)新。在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生不僅可以了解抽象的數(shù)學(xué)概念和理論，還學(xué)習(xí)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想理念在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處都是數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生能從實(shí)際問題中提煉出數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。最后，對(duì)論文討論的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，通過這種理論結(jié)合實(shí)際的教學(xué)嘗試，旨在提高“實(shí)變函數(shù)”課堂的教學(xué)效果和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的興趣。

一、分形與實(shí)變函數(shù)的聯(lián)系

實(shí)變函數(shù)中有大量分形的例子，如Cantor集、Weierstrass函數(shù)、Peano曲線、Sierpinski墊片等。更重要的是，分形幾何的許多基本思想和方法都源自實(shí)變函數(shù)，如簡單的Cantor集，也稱為Cantor三分集，是實(shí)變函數(shù)論中的一個(gè)重要概念，它是由德國數(shù)學(xué)家康托爾（Georg"Cantor）在19世紀(jì)末提出的。Cantor集是一個(gè)典型的分形集，具有許多有趣的性質(zhì)。Cantor集的構(gòu)造過程如下：（1）從單位區(qū)間［0，1］開始；（2）將區(qū)間三等分，去掉中間的1/3區(qū)間，保留兩邊的1/3區(qū)間，即保留［0，1/3］和［2/3，1］；（3）對(duì)剩下的兩個(gè)區(qū)間［0，1/3］和［2/3，1］分別重復(fù)步驟（2）；（4）無限重復(fù)上述步驟。經(jīng)過無限次的三等分和去掉中間區(qū)間的過程后，剩下的集合就是Cantor集［6］。Cantor集的構(gòu)造和性質(zhì)在實(shí)變函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、分形幾何等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，它揭示了數(shù)學(xué)中的一些深刻概念，如無窮小、完備性、測度等。

Weierstrass函數(shù)是由德國數(shù)學(xué)家卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl"Weierstrass）在19世紀(jì)提出的一個(gè)經(jīng)典函數(shù)。它是第一個(gè)被證明在所有點(diǎn)上都是連續(xù)的但在任何點(diǎn)上都不可微的函數(shù)，從而打破了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們的普遍認(rèn)知，即連續(xù)函數(shù)通常是可微的。Weierstrass函數(shù)的主要特點(diǎn)包括：（1）連續(xù)但不可微。Weierstrass函數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是連續(xù)的，但在任何一點(diǎn)上都不可微。這表明它的圖像處處都是“粗糙”的，沒有任何平滑的切線。（2）分形特性。Weierstrass函數(shù)具有分形幾何的某些特性，如自相似性。盡管其定義中沒有明確提到分形維數(shù)，但它展示了類似分形的復(fù)雜行為。Weierstrass函數(shù)的發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)分析的發(fā)展具有重大意義，它挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)的連續(xù)性和可微性的概念，并為進(jìn)一步研究更復(fù)雜和不規(guī)則的函數(shù)提供了基礎(chǔ)。

Peano曲線是一種在數(shù)學(xué)中具有重要意義的空間填充曲線，它由意大利數(shù)學(xué)家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe"Peano）于1890年首次構(gòu)造。Peano曲線的主要特點(diǎn)是一條連續(xù)曲線，能夠完全填充一個(gè)二維平面區(qū)域，如單位正方形。這種曲線的發(fā)現(xiàn)打破了當(dāng)時(shí)對(duì)連續(xù)和可微函數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)知，并引發(fā)了對(duì)空間填充曲線的深入研究［7］。

Peano曲線在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，它展示了一種極端情況，即一條一維的曲線可以遍歷整個(gè)二維區(qū)域。Peano曲線完全填充一個(gè)二維空間，即它通過其路徑覆蓋了單位正方形的每一個(gè)點(diǎn)，盡管它是一維曲線，但它能填充一個(gè)二維區(qū)域，這在當(dāng)時(shí)是一個(gè)極具顛覆性的概念。Peano曲線在不同尺度上顯示出自相似性，這意味著曲線的某些局部結(jié)構(gòu)與整體結(jié)構(gòu)相似，這也是分形幾何的一個(gè)重要特點(diǎn)。雖然Peano曲線是連續(xù)的，但它在任何點(diǎn)上都不可微，這與Weierstrass函數(shù)的性質(zhì)類似，展示了連續(xù)但不可微函數(shù)的復(fù)雜行為。

Sierpinski墊片（Sierpinski"Triangle）是由波蘭數(shù)學(xué)家Wacaw"Sierpiński在1915年提出的一種自相似分形結(jié)構(gòu)。它是一種通過遞歸方法構(gòu)造的幾何圖形，由簡單的規(guī)則生成出復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。Sierpinski墊片在各個(gè)尺度上都呈現(xiàn)出相似的形態(tài)，無論放大或縮小，該圖形的局部結(jié)構(gòu)都與整體結(jié)構(gòu)類似，這是分形幾何的一個(gè)重要特點(diǎn)。Sierpinski墊片的分形維數(shù)介于一維和二維之間，具體來說，其分形維數(shù)為log（3）/log（2）≈1.585，這表明它比一維的線更復(fù)雜，但又沒有填滿整個(gè)二維平面。Sierpinski墊片是通過反復(fù)刪除正三角形的中心部分并對(duì)剩余部分進(jìn)行同樣的操作來生成的，盡管構(gòu)造規(guī)則簡單，但經(jīng)過無限次遞歸后，Sierpinski墊片展示出無窮復(fù)雜的細(xì)節(jié)。

Sierpinski墊片的構(gòu)造可以通過以下步驟實(shí)現(xiàn)。（1）初始三角形：從一個(gè)等邊三角形開始。（2）細(xì)分：將該三角形的每一條邊的中點(diǎn)連接，形成四個(gè)較小的等邊三角形。（3）刪除中心三角形：移除中心的小三角形，剩下三個(gè)同樣大小的等邊三角形。（4）遞歸細(xì)分：對(duì)剩下的每一個(gè)較小三角形重復(fù)步驟（2）和步驟（3）。通過不斷重復(fù)上述步驟，最終得到的圖形將趨向于Sierpinski墊片［7］。

Sierpinski墊片是分形幾何的經(jīng)典例子，展示了自相似性和分形維數(shù)等概念，它幫助數(shù)學(xué)家理解自然界中自相似結(jié)構(gòu)的存在和性質(zhì)。Sierpinski墊片具有特殊的拓?fù)湫再|(zhì)，如每個(gè)點(diǎn)都是分離的，這對(duì)拓?fù)淇臻g的研究提供了重要案例。Sierpinski墊片在計(jì)算機(jī)科學(xué)、圖形學(xué)、天文學(xué)和材料科學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，例如，在圖形壓縮和自相似天線的設(shè)計(jì)中，都可以看到其身影。通過研究Sierpinski墊片等分形結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)家不僅加深了對(duì)幾何和拓?fù)鋵W(xué)的理解，也推動(dòng)了這些理論在各個(gè)科學(xué)和工程領(lǐng)域的應(yīng)用。

在以往的“實(shí)變函數(shù)”課程教學(xué)中，介紹了Cantor集和Weierstrass函數(shù)的概念后，接著開始研究他們的性質(zhì)，如Cantor集的性質(zhì)，它是閉集、完備的集合、零測集、不可數(shù)的集合、自相似的集合等，這些性質(zhì)都是比較難理解的內(nèi)容，會(huì)讓學(xué)生感覺更抽象。因此，為了加深學(xué)生對(duì)分形幾何圖形結(jié)構(gòu)特性的進(jìn)一步理解，接下來進(jìn)一步介紹Peano曲線和Sierpinski墊片的概念，重點(diǎn)介紹這兩種典型分形幾何圖形的形成過程和圖形的特性。這兩種圖形的維數(shù)都是分?jǐn)?shù)，這是學(xué)生首次接觸到分?jǐn)?shù)維數(shù)，是一個(gè)令人驚訝的發(fā)現(xiàn)，由此可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

除了學(xué)習(xí)教材中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師還可以通過標(biāo)志性的建筑物介紹生活中出現(xiàn)的分形，有助于學(xué)生對(duì)分形的自相似性有更深刻的理解。接下來，將重點(diǎn)介紹分形的思想和理論在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用，特別是讓學(xué)生直觀地看到建筑物的外形結(jié)構(gòu)是分形幾何圖形構(gòu)成的，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到分形幾何也可以被應(yīng)用于建筑的結(jié)構(gòu)和構(gòu)造設(shè)計(jì)中，加深數(shù)學(xué)來源于生活的理念。

二、分形幾何在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用

在建筑行業(yè)中，設(shè)計(jì)師們一直在探索如何使建筑更加美觀實(shí)用，而分形幾何提供了一種新的設(shè)計(jì)思路，可以幫助設(shè)計(jì)師創(chuàng)造出更加自然美觀的建筑。目前，分形幾何已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于建筑設(shè)計(jì)中［8］。

分形幾何的引入打破了傳統(tǒng)建筑設(shè)計(jì)的局限，為建筑師提供了全新的設(shè)計(jì)視角，增加了以不規(guī)則的形狀去思考建筑設(shè)計(jì)的可能性，推動(dòng)了建筑設(shè)計(jì)的創(chuàng)新和發(fā)展。

同時(shí)，分形幾何的嵌套式空間布局方式為建筑內(nèi)部空間提供了更多層次和變化，可以增強(qiáng)建筑的空間流動(dòng)性，使人們?cè)诮ㄖ懈惺艿礁迂S富和多樣的空間變化。建筑師可以運(yùn)用分形原理設(shè)計(jì)出獨(dú)特而富有藝術(shù)美感的建筑形態(tài)，如通過重復(fù)的三角形圖形構(gòu)建建筑的外立面，形成具有階梯狀的層次感。

分形幾何在建筑設(shè)計(jì)中的優(yōu)勢(shì)在于它可以創(chuàng)造出更加美觀且實(shí)用的建筑。由于分形幾何具有自相似的特性，可以在建筑上呈現(xiàn)出大小不同的相似結(jié)構(gòu)，從而增強(qiáng)建筑的整體協(xié)調(diào)性。分形幾何的設(shè)計(jì)比傳統(tǒng)的建筑設(shè)計(jì)更復(fù)雜。由于分形結(jié)構(gòu)的自相似性和無限精細(xì)性，設(shè)計(jì)計(jì)算也更復(fù)雜，對(duì)于設(shè)計(jì)師的要求也更高。將分形設(shè)計(jì)從理論轉(zhuǎn)化為實(shí)際建筑，需要先進(jìn)的建筑技術(shù)和施工設(shè)備支持。

分形幾何的原理可以被應(yīng)用于建筑形態(tài)設(shè)計(jì)中，創(chuàng)造出獨(dú)特而富有藝術(shù)感的建筑外觀。例如，某些建筑物的外立面采用分形圖案，通過重復(fù)的幾何形狀和自相似的結(jié)構(gòu)，形成動(dòng)態(tài)變化的外觀。分形幾何的嵌套式空間布局方式為建筑內(nèi)部空間提供了更多可能性，建筑師可以利用分形原理設(shè)計(jì)出層次豐富、流動(dòng)性強(qiáng)的空間布局，提高建筑的使用效率和舒適度。分形幾何也可以應(yīng)用于建筑的材料和表皮設(shè)計(jì)中，通過模擬自然形態(tài)的分形結(jié)構(gòu)，建筑師可以創(chuàng)造出一種自然、有機(jī)的建筑表面，使建筑與自然環(huán)境相融合。同時(shí)，分形幾何的原理還可以被應(yīng)用于建筑材料的研發(fā)和生產(chǎn)中，開發(fā)出具有自相似結(jié)構(gòu)和無限細(xì)節(jié)的新型材料。

分形幾何也可以被應(yīng)用于建筑的結(jié)構(gòu)和構(gòu)造設(shè)計(jì)中。建筑師可以利用分形幾何的原理，設(shè)計(jì)出具有獨(dú)特結(jié)構(gòu)形式和構(gòu)造方式的建筑。這些建筑不僅具有極高的結(jié)構(gòu)性能，同時(shí)也能夠展現(xiàn)出一種獨(dú)特的藝術(shù)美感。例如，某些建筑物的支撐結(jié)構(gòu)可以采用分形幾何的形態(tài)，使整個(gè)建筑呈現(xiàn)出一種輕盈、靈活的美感。分形幾何在景觀和城市規(guī)劃中也有廣泛的應(yīng)用。建筑師和城市規(guī)劃師可以利用分形幾何的原理，設(shè)計(jì)出具有獨(dú)特形態(tài)和空間布局的城市景觀和規(guī)劃方案，這些方案不僅可以提高城市的美觀度和宜居性，同時(shí)也能夠優(yōu)化城市的空間結(jié)構(gòu)和生態(tài)環(huán)境。

結(jié)語

在“實(shí)變函數(shù)”課程的教學(xué)過程中，常常需要講授抽象的數(shù)學(xué)概念，如Cantor集、Weierstrass函數(shù)、Peano曲線、Sierpinski墊片等，教師不僅需要詳細(xì)介紹它們的概念和形成過程，還需要指出它們獨(dú)有的特性，如自相似性，與其他函數(shù)圖形進(jìn)行區(qū)分，這是分形幾何圖形獨(dú)有的圖形特征。為了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師還介紹分形幾何在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)存在于生活中的各個(gè)角落。數(shù)學(xué)來源于生活，讓學(xué)生理解分形幾何作為一種新型的幾何學(xué)理論，其在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用不僅推動(dòng)了建筑設(shè)計(jì)的創(chuàng)新和發(fā)展，也為建筑美學(xué)帶來了新的思考和探索。隨著分形幾何理論的不斷發(fā)展和完善，其在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用也將更加廣泛和深入。

在“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)中直觀引入分形的思想和理論，特別是建筑物的外形結(jié)構(gòu)，這些與課程相關(guān)的生活中能見到的實(shí)例，讓枯燥抽象的數(shù)學(xué)理論在生活中具象化，構(gòu)造興趣點(diǎn)，提高教學(xué)效果的同時(shí)，也提高學(xué)生對(duì)高難度課程深入學(xué)習(xí)的興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這是對(duì)“實(shí)變函數(shù)”課堂教學(xué)的一種新嘗試。

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基金項(xiàng)目：2023年自治區(qū)級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目，特殊數(shù)字集下自仿測度譜問題的研究（S202310"608165）

作者簡介：楊茗舒（1989—"），女，漢族，廣西容縣人，博士研究生，教師，研究方向：分形理論。