認知結構視域下構建數學發現性思維的教學探索*

摘要：數學學習是在有意識、有結構的認知構建中去認知與發現的過程，傳統教學活動知識“碎片化”、問題“孤立化”、活動“形式化”，導致學生的數學發現性思維建構不完整。數學發現性思維是一種復雜多維的思維活動，以直覺思維為基礎，以辨析思維為核心，以演繹、歸納、類比等思維為路徑。數學發現性思維促進認知關鍵能力的形成與發展，認知結構則為數學發現性思維建構?提供基本框架。教學中，將問題提出作為激活數學發現性思維的起點，將觀察分析作為形成數學發現性思維的節點，將策略應用作為構建數學發現性思維的落點，建立教學的基本模型，有利于學生數學發現性思維的形成與提升。

關鍵詞：結構化教學；認知結構；發現性思維；數學發現學習

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2025）03-0115-06

數學知識是有結構的，數學學習是在有意識、有結構的認知構建中獲得認知發現的過程?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版數學課標”）提出“設計體現結構化特征的課程內容，注重數學知識和方法的層次性和多樣性”。結構包括三個層次：知識結構、過程結構與認知結構[1]。教學中要以知識內容的結構化和學習過程的結構化來促進認知建構的結構化，從而系統地提升學生的數學發現性思維。

傳統教學活動中，知識“碎片化”、問題“孤立化”、活動“形式化”導致數學學習浮于表面，缺少建構發現性思維的完整過程。數學源自對現實世界的抽象，數學學習是學生經歷數學知識再創造、再發現的過程，數學教學應當深度解析數學發現性思維的內涵意蘊與生成機制，系統審視認知結構視域下數學發現性思維的價值，完整設計構建沖突、積累素材、操作驗證的學習過程，將知識的被動傳授變為結構化學習下的主動發現。

一、數學發現性思維的內涵意蘊與生成機制

“發現”是一種重要的數學學習方式。布魯納在研究中提出，發現學習與接受學習是兩種不同的學習形式，前者應注重學習過程，鼓勵學習者自主探究、實驗、觀察，從事實中歸納結論，獲得發現。因此，教學中應構建從對數學問題的初步感知，到對學習對象素材的深入分析，再到對規律的驗證的過程，使學生完整地體驗產生認知的動機、加強直觀的感知、提煉數學的規律的學習過程[2]。

（一）數學發現性思維是多維度的思維活動

形成數學認知需要多種思維活動的有序參與，數學發現性思維是一種復雜多維的思維活動，主要包含直覺思維、辨析思維、演繹思維、歸納思維、類比思維等形式?。

1.數學發現性思維以直覺思維為基礎

“發現”是人類對自我的內在及外在現象的認知，是一種思維加工的行為表象，依賴于個人的直覺和洞察力。數學學習中，直覺思維能夠引導人們產生新的數學問題，為學習活動提供方向。教學中，教師應當構筑真實有效的問題情境，激活學生的直覺思維，引導學生產生問題意識，形成認知動機和探究視角[3]。

2.數學發現性思維以辨析思維為核心

2022版數學課標提出會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界。那么，“會”從何而來？“會”應從對數學素材的觀察與分析中產生。辨析思維是指學生基于學習內容對數學概念和規律進行深入的剖析和辨別，明確它們的內涵和外延以及它們之間的關系。教學中，教師要提供豐富多元的學習素材，引導學生基于發現的數學問題尋求解決問題的方法，提取、驗證數學的規律，并發現數學知識與生活及客觀世界的關聯。

3.數學發現性思維以演繹、歸納、類比等思維為路徑

演繹思維從一般性的原理或規律出發，推導出特殊情況的結論，強調從一般到特殊的推理過程；歸納思維通過對大量具體事例的觀察和分析，從復雜的數學現象中提煉出本質特征，探索出一般性的結論和規律；類比思維則通過比較不同數學對象之間的相似性和差異性，提取關鍵要素，發現它們之間的內在聯系和規律。演繹、歸納、類比等思維活動是催生數學發現的策略性思維。數學學習活動中，教師要構建清晰的由“感知”到“解析”再到“驗證”的路徑，引導學生根據知識的結構特征靈活選擇假設、分類、類比等不同的方法，進一步在數學學習中驗證發現，并歸納基本思路與主要方法。

（二）數學發現性思維存在線性的生成機制

數學發現是對現實世界中的數量關系、空間形式等進行抽象、概括和推理的結果。從最初認識數字到理解簡單的數學運算，再到掌握更復雜的數學概念和方法，是逐步建構數學發現性思維的過程。從思維建構的過程來看，數學的認知活動主要包括矛盾產生、對象分析和驗證歸納三個基本節點。教學中應以激活認知需求為起點，促使學生產生認知動機；以同類、遞進或逆向的素材比較分析為支點，強化學生的直觀感知；以驗證歸納為落點，構建數學認知與學習路徑。

1.以“如何引起發現”為起點，在問題激發中催生認知動機

數學源于生活，來自生活實踐中解決實際問題時對規律和方法的需求。如何引導學生產生困惑、發現問題是建構數學發現性思維的起點。因此，在小學數學課堂中，教師應當從學生的認知需求入手，構建沖突，激活學生的問題意識，進而尋求方法、總結規律。

2.以“通過什么發現”為支點，在素材分析中提取關鍵要素

2022版數學課標提出用數學的眼光觀察世界，即在生活實際問題的解決中形成辨析、選擇及構思的主觀判斷力。教學中，教師提供有效的學習素材，讓學生研讀分析，實現從直覺感知到理性分析的轉化。教師需要梳理學習對象，合理設計研究素材的模型，建構直覺感知和理性分析的重要橋梁，幫助學生將抽象的知識具體化、形象化，從而更好地提取出學習內容的關鍵要素。

3.以“怎樣驗證發現”為落點，在操作檢驗中完善學習策略

學生產生問題并進行理性分析之后，教師要在感知和分析的基礎上引導學生進行驗證和總結，如在新舊知識的對比中激活認知、在實踐檢驗中產生經驗、在合作交流中研討方法等，靈活選擇假設、分類、類比等方式，進行檢驗、歸納、提取等活動，從而實現對數學知識的深度發現。

二、認知結構視域下數學發現性思維的價值審視

認知結構是指學習者在某一知識領域內的全部觀念及其組織形式，反映學習者對該領域內知識及知識之間的關聯和邏輯結構的理解和掌握程度。認知結構的發展與數學發現性思維建構有著密切關聯?。

（一）認知結構為數學發現性思維建構?提供基本框架?

在數學學習中，認知結構包含了學生對數學概念、定理、公式等知識的理解和認識方式，以及如何運用這些知識解決問題等思維模式。小學是數學認知發展從具體運算向形式運算過渡的階段，教學方法的選擇直接影響學生的學習方式與認知發展，因而，教師需要強化知識間的聯系，優化知識呈現的方式，從而引導學生形成數學發現性思維。

?首先，數學學習之旅往往始于問題的提出?，在情境中形成認知沖突是起點。從認知結構的角度來看，認知沖突是指個體在遇到與原有知識體系不一致的新信息時，產生困惑與矛盾，原有認知平衡被打破，激發了學習的動力。這是數學發現性思維產生的重要基礎。其次，學習中，學生需要分析和處理學習素材，提取關鍵要素，產生認知的遷移，以生成對概念或規律的初步感知。最后，驗證歸納是對數學探究發現的初步感知、猜想進行校驗的過程，同時也是對認知過程進行復盤的行為。

（二）數學發現性思維促進認知關鍵能力的形成與發展

認知結構視域下，數學學習發現活動對思維提升有著多維度、深層次的積極影響。一是能發展思維的抽象能力，建構的學習活動要能激發學生的問題意識，培養學生在問題發現中抽象概括提取的能力；二是能發展思維的邏輯能力，學生在學習探究的過程中形成分析、解析的能力，能夠解析學習素材的關鍵特征與內在聯系；三是能發展思維的批判特征，學生在數學發現的過程中以嚴謹的驗證操作提取、提煉規律，從而形成客觀認知和數學表達的能力。

數學眼光是有序生成的，并非生來就具備的，其產生需要歷經經驗的積累、素材的累加和內在規律的總結[4]。要在認知結構中強化問題意識，關鍵在于激發認知沖突、引發疑問猜想，幫助學生更好地認識客觀世界，形成自主觀察事物的視角與能力。數學學習的過程是發現問題、思考問題進而解決問題的一系列過程，是個體思維體驗、轉化的過程。細致觀察問題中的現象，嘗試從多個角度和層面去審視和分析學習對象，并找出其中的規律，是提升解析能力的重要步驟，數學思維中邏輯推理、抽象能力均以充分的觀察與分析為基礎。課堂教學應該更多地創設生活化的情境，提高學習活動的實踐性、操作性[5]。教師引導學生在猜想中檢驗、在分類中歸納、在類比中提取，構建從認知的發現到知識的歸納的具體路徑，從而構建“問題—探究—歸納”的數學發現性思維。

三、認知結構視域下培養數學發現性思維的教學路徑

結構化教學強調知識結構與認知結構的融通。教學中，教師應當充分解析數學知識的內在邏輯，以學生的認知發展結構為考量，引導學生發現問題，提供學習素材引發學生的假設與推理，學生最后經由驗證而產生數學發現。這一過程可以梳理為構建沖突、素材積累、操作驗證三個主要環節。

（一）構建沖突：將問題提出作為激活數學發現性思維的起點

數學發現的產生源自學生對知識的理性分析，而認知沖突則是學生產生認知需求的基本動機[6]。在有效的問題情境中，學生會質疑自己原來的認知，產生深入思考和探究的需求，從而主動提出需要探究的新問題，形成新的理性認知。

1.設計“沖突型”問題

設計“沖突型”問題是指在學生已有知識建構的基礎上，設計合理情境，呈現現有知識點無法解決或者違背現有認知結構的問題類型，重點引導學生產生“是什么”“為什么”的認知沖突，進而指導學生聯系生活實際，嘗試解釋并解決相應的數學問題，常見于概念知識類的教學活動中。

例如，在“負數的認識”教學中，存在典型的認知沖突，學生要在對自然數理解的基礎上，通過生活實際產生負數認知的需求。常規教學一般通過引入“零下溫度”的概念，直接告知學生負數的存在，而不是引導學生主動發現。教學中，教師可以同時呈現大量的實際情境，在“海拔”“溫度”“電梯樓層”等情境中設計問題表達，引導學生發現和分析生活中有比“0”更小的數，從而引發主動認知的需求。其主要特點是：以學生對自然數的理解和對比“0”更小的數的認知沖突引發探索，代替“零下溫度”等內容的直接告知。

2.設計“陷阱式”問題

設計“陷阱式”問題，主要指為學生設計的問題在臨近知識區和新知識之間存在相近、相似之處，打破學生直線的思維遷移。相近的場景及問題讓學生在思考中遭遇障礙及困惑，從而引導學生重新構思問題解決的路徑，實現知識能力在更高維度的應用拓展，常見于規律探究類的教學活動中。

例如，在“認識3的倍數”教學中，首先，教師讓學生嘗試用已經學過的判斷2、5的倍數的方法來尋找3的倍數并驗證，從而發現倍數判斷方法不一致，進行方法的直接遷移是不行的。接著，教師引導學生使用10×10的方格表示1～100的數，對2、3、5的倍數涂色，完成規律探索。其主要特點是：通過“反向遷移”來促使學生另辟蹊徑，生成“不能只看個位”的認知動機。

3.設計“不合理”問題

“不合理”主要指教師指導學生解決實際問題時，設計非常規性、非公平性的問題情境，激發學生“公平性競爭（游戲）”的意識，從而引發學生產生探究動機，在教學問題解決、數據統計、綜合與實踐探索等內容時適用。

例如，在“認識平均數”單元教學中，教師在教材提供的投籃比賽的素材基礎上，邀請學生當“小裁判”，判定投籃命中率。學生很快發現，單人比賽只需要比較投中個數的多少即可，但是，在團體比賽中每隊參賽人數不同的情況下，通過求和來比較存在“不合理”性，從而產生公平判斷的現實需求。其主要特點是：以游戲或活動的公平性、合理性為切入點，自然激發學生對平均數的需求，以數學的美學本質喚醒學生的理性思考。

（二）素材累積：將觀察分析作為形成數學發現性思維的節點

數學思維是數學學習活動產生的經驗的累積，而經驗的累積依賴于豐富素材的感知與積累。為此，教師需要為學生創設豐富的感知活動，學生通過充分的體驗和多層的思考，形成并提升主動發現的意識和能力。

1.提供“同類型”素材

提供同類型的素材，“觸類旁通、舉一反三”，讓學生積累感知、比較與加工的經驗，是數學學習中形成發現的最基本方式。在分析、比較、概括等學習活動中，學生發現關聯共通，提取數學概念與規律。

例如，在“乘法的交換律和結合律”教學中，教材在加法交換律和結合律的基礎上進行延伸，知識結構相同，學習過程可以自然遷移累積。在學習了加法交換律和結合律之后，教師可以讓學生在與加法完全相同的框架下，自行舉例對比，并以“小老師”的視角，自己出題，形成同框架知識的積累。其主要特點是：在教學框架完全相同或近乎相同的知識時，將多項素材進行對比，放手讓學生比較、分析和驗證。

2.提供“遞進式”素材

“從淺入深、由易到難”，遞進式的素材積累注重數學知識之間的關聯性，在處理難度較深或關聯較多的知識類型時，采取層層相扣的遞進式感知方式。在教學中，教師可以梳理本課知識點相關的“前知”，進行有效的鋪墊和滲透，促進學生認知自然遷移。

例如，在“異分母分數加減法”一課中，教師關聯“分數的基本性質”“分數的通分”和“異分母分數加減法”的知識點，引導學生探究算理。學生通過“圖示表征”的方式，具象地表達通分的過程，從1/3和1/4圖示的基礎上，進一步表征1/3和1/4相加的過程，形成對3個不同層次的知識點的“一圖”表示。其主要特點是：通過數形結合的圖示表征，學生線性地呈現關聯遞進的知識鏈，由淺入深地提取關鍵要素。

3.提供“逆向式”素材

“更換角度、逆向思考”的基礎是數學知識之間的關聯性。在教學方式上采取逆向推理的形式，如“逆運算”“倒推法”的教學，是在學生正向思考難度過大或過于復雜的情況下，轉換思路從后往前看，引導學生轉換思維進行思考的一種教學方式。

例如，在“解稍復雜的方程”教學中，通過“逆運算”轉換的方法，來解決未知數在“減數”或“除數”位上的方程。未知數在“減數”或“除數”位上的方程，一直是解方程中錯誤率最高的部分。教師由“5-3=2”可以看成“3+2=5”，引導學生思考“5-（）=2”的逆運算是什么，從而形成問題轉化的視角。其主要特點是：通過“逆運算”轉換的方法，學生反向思考，化繁為簡，從而發現共通之處。

（三）操作驗證：將策略應用作為構建數學發現性思維的落點

小學生認知結構偏向于具象認知，驗證推理及分類歸納等方法是小學生認知發現的主要路徑。因此，教師要構建運用演繹、歸納、類比等不同思維的教學模型，讓學生從知識的感知過渡到知識的歸納，從而形成完整的發現過程。

1.進行“猜想—檢驗”

經歷由引發猜想到嘗試驗證的數學探究過程是驗證數學學習發現最為基本的方式。學生根據已知的一般規律或者明確的某一同類概念，對所學習內容進行猜想，通過正向舉例驗證或反向舉例排除的方式進行驗證。

例如，“三角形的內角和”具備典型的“猜想－檢驗”結構，3個角度數的和是180度是容易觀察的結果，但為什么等于180度卻不易感知。教師可以設計先“舉例驗證”再“推理驗證”的步驟，從常用的2個三角尺來引出三角形的內角和為180度，進而引導學生提出“是否所有三角形的內角和都是180度”的猜想并設計驗證。其主要特點是：由簡單可得，到提出猜想、檢驗、再猜想、再檢驗，經過兩個層次的驗證，形成完整的思維過程。

2.進行“分類—歸納”

分類是人類的一種基本能力，由分類到歸納是一種從特殊到一般的思考過程。對于數學學習而言，分類就是提取相同屬性，區分不同屬性的過程。在這個過程中形成或感知分類標準是學生學會數學歸納的重要途徑，也是產生數學發現最為常見的一種方式。

例如，在“三角形的分類”中，教師出示不同種類的三角形，先讓學生根據直觀分類，初步感知分類標準，測量后再分類。通過兩次分類，學生發現了分類規則。第一次分類是根據直觀感受，在未明確“按角分”“按邊分”的基礎上，經過討論初步感知分類的標準。第二次則在提出標準的情況下，測量數據并分類，屬于驗證分類。其主要特點是：由感知到驗證，主動提煉關鍵要素。

3.進行“類比—提取”

類比注重的是學生在臨近知識區域之間的推理探究能力，是在分類歸納的基礎上，相近知識屬性之間實現遷移，主要體現的是從特殊到特殊的思考路徑。學生形成“類比—提取”的數學探究能力是數學學習從被動轉向主動的重要步驟。

例如，在“分數的約分、通分”教學中，教師可以嘗試引導學生探索分數的基本性質與商不變規律的類比，分數約分、通分與商不變規律應用的類比。如“1/2=2/4”與“2÷1=4÷2”有什么異同，用了什么規律。其主要特點是：學生感受分數基本性質與商不變規律的一致性，主觀提取要素，形成數學概念的類比累積。

認知結構視域下的數學學習應當摒棄唯結果的教學觀念，教師不應以單一的知識向下傳遞作為教學目的。課堂教學中要充分考慮學生數學發現性思維的建構與提升，設計基本環節，并選擇合適的教學模型，充分激活數學學習中主動發現的視角與能力，讓學生在有猜想、有解析、有驗證的邏輯建構中習得有結構的數學知識，在有結構的學習過程中形成數學素養。

參考文獻：

[1]王翠.以結構化教學化數學知識為數學素養[J].江蘇教育，2022（89）：71-72.

[2]趙榮華，曹慧.創設情境任務：營造小學數學連“境”成“脈”的學場[J].江蘇教育研究，2024（12）：99-103.

[3]張定強，馮敏.學會發現：學生數學學習中的重要議題[J].小學數學教育，2023（4）：4-6.

[4]陸立海.深度體驗：開啟兒童數學“發現”的密碼[J].數學教學通訊，2021（19）：3-5.

[5]邱秋華.學習力與生活力的關系[J].基礎教育研究，2020（24）：6-7.

[6]戴艷玲.行為數學：培養兒童數學“三力”的教學轉向[J].江蘇教育，2020（1）：42-46.

責任編輯：殷偉