從導數零點看函數的秘密

導數零點是解開函數奧秘的關鍵。在高考中，涉及導數零點的函數題往往難度較大，想要拿滿分并非易事。只有深入理解導數零點與函數極值、單調性的內在聯系，才能逐步破解難題，穩步提高成績。

一、導數零點——打開函數極值之門

（一）導數零點與極值的關系

導數零點在函數極值的探索中扮演著關鍵角色。人教版教材指出，函數在某點的導數為零，即意味著該點可能是函數的極值點。具體而言，若函數在某點處的導數由正變負，則該點為極大值點；反之，若函數在某點處的導數由負變正，則該點為極小值點。

（二）利用導數零點尋找函數極值的方法

利用導數零點尋找函數極值的方法主要包括以下幾個步驟：首先，通過求導找到函數的導數零點；其次，分析導數在這些零點附近的符號變化，確定極值點的性質；最后，結合函數值的計算，確定極值的具體數值。

二、導數零點——攻克高考函數難題的法寶

高考真題中關于導數零點的題目往往難度較大，2021年新高考Ⅱ卷數學第22題“壓軸題”就是一道基于導數零點與函數的典型例題。該題要求我們對一個復雜函數的單調性及其零點進行討論。正常來說，通過導數的運用，即可以有效分析該函數在不同區間的單調性，并由此判斷零點的存在。下面我們整體分析一下該題全貌。

已知函數。

（1）討論f（x）的單調性；

（2）從下面兩個條件中選一個，證明：f（x）有一個零點。

①；②。

詳細解析：

（1）由函數的解析式可得：，當時，若，則單調遞減，

若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，

若，則單調遞減，若，則單調遞增；

當時，在R上單調遞增；當時，若，則單調遞增，

若，則單調遞減，若，則單調遞增；

（2）若選擇條件①：

由于，故，則，而，

而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點.

，

由于，，故。

結合函數的單調性可知，函數在區間（0，+∞）上沒有零點。綜上可得，題中的結論成立。

若選擇條件②：

由于，故，則，

當時，，，

而函數在區間（0，+∞）上單調遞增，故函數在區間（0，+∞）上有一個零點。

當時，構造函數，則，

當時，單調遞減，當時，單調遞增，

注意到，故恒成立，從而有，此時：

，

當時，，取，

則，即，

而函數在區間上單調遞增，故函數在區間上有一個零點。

，

由于，，故，

結合函數的單調性可知，函數在區間上沒有零點。綜上可得，題中的結論成立。

縱觀本題，針對函數的單調性問題，我們通過計算導函數得到解析式，并根據導數符號確定函數在不同區間的單調性。當導數為正時，函數單調遞增；當導數為負時，函數單調遞減。細分多個區間后，可以準確繪制函數圖像的變化趨勢。關于零點存在性問題，可結合單調性和零點定理加以證明。

掌握導數零點的特征，是深入理解函數行為的關鍵。通過剖析導數零點與函數極值、單調性的關系，我們能將復雜的題目化繁為簡，在解答此類函數題型中取得高分。