從猜想到驗證，提升學生解決問題能力

［摘 要］為了讓學生經歷從猜想到驗證的過程，提升他們解決問題的能力，以蘇教版數學教材六年級主題活動“怎樣圍面積最大”為例設計教學：首先，思考不靠墻，周長一定時什么圖形面積最大；接著，思考一面靠墻，周長一定時什么圖形面積最大；然后，對比辨析，發現關系；最后，思考兩面靠墻時，圓的面積大小的計算方法。

［關鍵詞］猜想；驗證；解決問題能力；周長；面積

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）09-0047-03

“主題活動”是綜合與實踐的主要內容，包括融入數學知識學習的主題活動、運用數學知識及其他學科知識的主題活動。在六年級的數學主題活動中，教師通過“當一個平面圖形的周長相等時，怎樣圍面積最大”這一問題，引導學生辯證思考、綜合運用長方形、正方形、圓形的周長和面積知識解決問題，發現不同平面圖形之間周長與面積的關系，獲得了不錯的教學效果。

【教學內容】六年級數學主題活動“怎樣圍面積最大”（蘇教版數學教材）

【教學目標】利用周長相等的條件，能計算出不同平面圖形的面積，發現圓的面積最大；利用周長相等的條件，能計算出一面靠墻時不同平面圖形的面積，發現圓的面積最大；能合理解釋周長相等時，一面靠墻圍成平面圖形（長方形、正方形、圓形等）的面積是不靠墻圍成平面圖形的面積的2倍。

【教學重點】利用周長相等的條件，能計算出不靠墻和一面靠墻時不同平面圖形的面積，并發現圓的面積最大。

【教學難點】能合理解釋周長相等時，一面靠墻圍成平面圖形（長方形、正方形、圓形等）的面積是不靠墻圍成平面圖形的面積的2倍。

【教學過程】

一、不靠墻，周長一定時什么圖形面積最大

1.猜想

出示問題：用24米長的木籬笆圍一塊菜地，怎樣圍面積最大？

師：當周長一定時，圍什么圖形的面積會大一些？（學生根據已有的知識經驗，猜想可能圍成圓形或正方形的面積會大一些）

2.探究

師：當周長為24米時，圍成的正方形和圓形的面積是多少？為了方便計算，π取值為3。

生1：如果圍成的圖形是正方形，由于正方形的邊長是24÷4=6（米），所以面積是6×6=36（平方米）。

生2：如果圍成的圖形是圓形，由于圓形的直徑是24÷3=8（米），半徑是8÷2=4（米），所以面積是4×4×3=48（平方米）。

師：也就是說，周長一定時，圍成圓形的面積會大一些。

[設計意圖]課始，通過問題激發學生的好奇心和求知欲，并鼓勵學生基于自己的直覺和已有的知識經驗進行猜想。大部分學生猜想周長一定時，可能是正方形或圓形的面積最大，但也意識到僅憑猜想是不夠的，需要通過科學的方法來驗證自己的猜想。這樣教學意在讓學生體會到數學探索的樂趣，深刻理解周長與面積之間的關系，以及圓形在幾何學中的特殊性。

二、一面靠墻，周長一定時什么圖形面積最大

1.猜想

師：接下去，我們可以研究什么？

生3：如果一面靠墻，周長一定時什么圖形的面積最大？

2.探究

師：用周長24米的木籬笆靠教學樓墻壁圍一塊菜地，圍成哪種圖形的面積最大？

生4：如果圓形一面靠墻就是半圓。可以先將其看成一個完整的圓，再計算半圓的面積。由于圓的半徑是24×2÷3÷2=8（米），所以半圓的面積是3×8×8÷2=96（平方米）。

生5：如果正方形一面靠墻，正方形的邊長是24÷3=8（米），正方形的面積是8×8=64（平方米）。

生6：如果長方形一面靠墻，最大長方形的長是12米，寬是6米，故面積是12×6=72（平方米）。

師：通過計算，我們發現周長一定時，如果一面靠墻，半圓的面積大一些。

[設計意圖]繼續引導學生思考周長一定時，如果一面靠墻，圍成什么圖形的面積最大。起初，學生自然而然地想到了長方形、正方形和圓形，并嘗試將這些圖形與題目中的特殊條件“一面靠墻”相結合。在計算面積時嘗試建構新的圖形模型，尤其是半圓靠墻的模型，學生發現靠墻的一側是完整的直徑，只需要用固定的周長去圍成半圓的圓弧部分就可以了。通過計算和比較，學生發現周長一定時，如果一面靠墻，半圓的面積大一些。這一發現不僅驗證了學生的猜想，還深化了他們對幾何形狀與面積之間關系的理解。

三、對比辨析，發現關系

1.發現圖形面積之間的2倍關系

師：比較周長一定時，不靠墻與一面靠墻，圓形（或半圓）、長方形、正方形之間的面積關系。同時，說一說自己發現了什么或有什么問題。

生7：我發現周長一定時，如果不靠墻，圍成圓形的面積最大。

生8：我發現周長一定時，如果一面靠墻，半圓的面積是最大的。

生9：我發現周長一定時，不靠墻的圓形面積是48平方米，一面靠墻的半圓面積是96平方米，即一面靠墻的半圓面積是不靠墻的圓形面積的2倍。

生10：我發現周長一定時，不靠墻的正方形面積是36平方米，一面靠墻的長方形面積是72平方米，即一面靠墻的長方形面積是不靠墻的正方形面積的2倍。

生11：是不是靠墻的邊長越長，圍成圖形的面積就越大？

2.解釋圓形和半圓面積的2倍關系

師：能否運用不同的方法解釋“一面靠墻的半圓面積是不靠墻的圓形面積的2倍”的原因？

生12：（通過計算來說理）不靠墻時，圓形的周長是24米，圓形面積是48平方米；一面靠墻時，半圓的周長是24米，半圓的面積是96平方米。所以，一面靠墻的半圓面積是不靠墻的圓形面積的2倍。

生13：（通過圖形之間的數量關系來說理）一面靠墻時，圓形周長是不靠墻的圓形周長的2倍，故一面靠墻的圓形半徑是不靠墻的圓形半徑的2倍，一面靠墻的圓形面積是不靠墻的圓形面積的4倍；又因為一面靠墻的圓形其實只能圍成一半，即一面靠墻是半圓，計算時還要把原來一面靠墻的圓形面積除以2。所以，一面靠墻的半圓面積是不靠墻的圓形面積的2倍。

3.解釋正方形和長方形面積的2倍關系

師：能否運用不同的方法解釋“一面靠墻的長方形面積是不靠墻的正方形面積的2倍”的原因？

生14：（通過計算來說理）不靠墻時，正方形的周長是24米，正方形面積是36平方米；一面靠墻時，長方形三條邊的長是24米，即長方形的長是12米，寬是6米，長方形的面積是72平方米。所以，一面靠墻的長方形面積是不靠墻的正方形面積的2倍。

生15：（通過圖形之間的數量關系來說理）一面靠墻時，完整的大方形就是一個大正方形，一面靠墻完整的大方形周長是不靠墻的正方形周長的2倍，故一面靠墻完整的大方形面積是不靠墻的正方形面積的4倍；又因為一面靠墻完整的大方形其實只能圍成一半，即一面靠墻是長方形，計算時還要把原來一面靠墻完整的大方形的面積除以2。所以，一面靠墻的長方形面積是不靠墻的正方形面積的2倍。

生16：（通過圖形邊線平移來說理）不靠墻時，正方形邊長（6米）通過邊線平移，可以轉化為一面靠墻的長是12米、寬是6米的長方形，故轉化后的長方形是原來的2個正方形。所以，一面靠墻的長方形面積是不靠墻的正方形面積的2倍。

[設計意圖]在探索平面圖形面積與周長關系的學習過程中，通過一系列活動，幫助學生理解并驗證在周長一定且存在一面靠墻的特定條件下，圓形、半圓、長方形、正方形之間面積的特殊關系。這樣不僅能加深學生對幾何概念的理解，使他們學會運用多種方法解釋和驗證幾何定理，還可以促進他們的邏輯推理，培養他們的數學思維和問題解決能力。

四、兩面靠墻，探究圓的面積大小

1.猜想

師：如果圓形兩面靠墻會是什么形狀？（在學生通過空間想象判斷出是四分之一的圓形后，教師讓學生在白紙上畫出圓形兩面靠墻的形狀）

2.計算

師：周長一定，兩面靠墻時，四分之一圓形的面積是多少？

生17：因為四分之一圓形的周長是24米，整個圓形的周長是24×4=96（米），圓形的半徑是96÷2÷3=16（米），所以這個四分之一圓形的面積是3×16×16÷4=192（平方米）。

3.發現

多媒體出示：周長都是24米的情況下，不靠墻時圓形的面積是48平方米，一面靠墻時半圓的面積是96平方米，兩面靠墻時四分之一圓的面積是192平方米。

師：大家觀察思考一下，看看有沒有什么發現。（學生發現兩面靠墻時四分之一圓的面積是一面靠墻時半圓面積的2倍）

師：如果兩條半徑的夾角是45°，這個扇形的面積會如何變化？（同時借助課件的動態演示，讓學生直觀看到扇形的半徑變長、面積變大了）

……

[設計意圖]隨著探索的深入，將學生關注的焦點引向更為復雜的情況，進一步發展他們的邏輯思維和數學運算能力。

【教學反思】

蘇教版數學教材六年級的主題活動“怎樣圍面積最大”是一個極富啟發性和實踐性的教學內容。它不僅考查學生的空間想象能力和數學運算能力，更重要的是通過猜想和驗證，培養學生的問題解決能力。

1.經歷猜想，激發興趣

上述教學，教師在每一個環節都鼓勵學生根據已有的知識和經驗進行大膽猜想。比如，當學生知道一面靠墻時半圓的面積最大后，教師引導學生猜想當兩面靠墻時面積最大的可能是什么圖形，并讓他們說明猜想的依據。這種開放性的提問，能有效培養學生的直覺思維和創造力，幫助他們建立更牢固的知識之間的邏輯聯系。

2.經歷驗證，解決問題

在驗證過程中，學生嘗試運用面積公式、圖形之間的數量關系等建立數學模型，驗證猜想的正確性。這樣不僅能將抽象的數學問題具體化，加深學生對知識的理解，還能促使學生提出不同的驗證思路和方法，培養學生的邏輯思維和數學建模能力。

3.經歷反思，促進理解

通過反思總結，學生回顧自己的猜想、驗證過程以及遇到的困難和挑戰，發現了不同條件下面積最大化的規律，如“兩面靠墻時四分之一圓的面積最大”等。這種發現有助于學生將所學知識運用于實際生活中，提出更多新的問題和解決方法。

總之，“怎樣圍面積最大”這一主題活動不僅是一次數學知識的探索之旅，更是一次提升學生問題解決能力的深度學習之旅。通過猜想、驗證、總結與反思等環節的設計和實施，學生不僅掌握了所學的數學知識與技能，更學會了如何運用數學思維和方法解決生活中的實際問題。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 張屹，王玨，謝玲，等.小學數學PBL+CT教學促進學生計算思維培養的研究：以“怎樣圍面積最大”為例[J].華東師范大學學報（教育科學版），2021，39（8）：70-82.

[2] 朱嬌潔.怎樣圍面積最大：《用列舉的策略解決問題》教學與反思[J].小學教學設計，2020（35）：57-58.

[3] 楊道吉.積累課題研究活動經驗發展探索解決問題的能力：以“怎樣圍面積最大”一課教學為例[J].小學教學（數學版），2021（12）：14-16.

（責編 杜 華）