基于“一題一課”漸進式培養數學核心素養的教學實踐

“一題一課”指通過對一道題（或一則學習材料）進行深入研究，對其所涉及的知識內容進行拓展延伸，挖掘其內在的學習資源與線索，由淺入深，由表及里，科學、合理、有序地組織和激勵學生進行相關的數學探究活動，發展學生數學核心素養的一種教學模式。其有效實施的標準是教師對教學內容的有效整合、對學情的準確把握以及學生解決此類問題能力的提升。“一題一課”能夠促進知識的即學即用，活學活用，減少基礎薄弱學生的課堂學習負擔，提升學生學習的自信心，從而為學生挑戰其他高難度題型提供有效學習經驗。下面，筆者以2024年江蘇省蘇州市中考數學的一道求線段最值試題為例，談談如何通過“一題一課”教學實踐，培養學生的數學核心素養。

一、試題呈現

如圖1，矩形ABCD中，AB=[√^-3] ，BC=1，動點E、F分別從點A、C同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB、CD向終點B、D運動，過點E、F作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（ ）。

二、教學實踐

根據最近發展區理論，教師在選擇題目時，要基于學生的現有水平，挑選那些略高于學生當前能力，但在教師引導和學生合作下能夠解決的題目，因為這樣的題目處于學生的最近發展區。動點最值問題是初中階段最難、知識綜合性最強、學生較畏懼的題型。關于此類問題，學生學過的知識有基本事實“兩點之間線段最短”（點與點的距離）、“垂線段最短”（點與線的距離），遇到的題型有“將軍飲馬”“瓜豆原理”“胡不歸”“一箭穿心”等。對于上述試題，教師可以引導學生從簡單入手，從特殊入手，循序漸進，層層分析，逐步深入，以熟悉的題引向陌生的題，以易題引難題，通過“一題一課”，將“垂線段”在解決幾何動點最值問題中的運用進行系統復習，幫助學生跨越最近發展區，發散思維，豐富思維涵養，實現數學能力的提升。

1.從基礎入手，設計題型

在教學伊始，教師不妨先設計這樣的問題：

如圖2，AC=10，點B為平面內一動點，AB⊥BC，在點B運動的過程中，AB和BC的最大值是多少？

此題設計的目的是作為引子讓學生回憶“兩點之間線段最短”“垂線段最短”等基本事實。學生很容易知道，根據垂線段最短，在直角三角形中，直角邊長度永遠小于斜邊長度。在點A到直線BC上任意一點的距離中，AB是最短的；在點C到直線AB上任意一點的距離中，BC是最短的。因此在點B運動的過程中，AB或BC的最大值為10，也就是點B與點C或點A重合時。

2.適當增加條件，繼續設問，層層遞進

在環節1的基礎上，增加條件：

如圖3，點C是線段AB的中點，直線l經過點C，點D、E是直線l上的點，AB=10，AD⊥DE，BE⊥DE，在直線l繞點C運動過程中，AD的最大值是多少？此時點E在什么位置？

學生根據環節1中問題的解決，會有意識地想到垂線段最短，可以很快判斷，當點D運動到點C時，AD最大。此時點E也運動到了點C，直線l⊥AB。筆者教學時，一切從學情出發，以學生為主，通過對這兩題的研究，勾起了學生對運用“垂線段最短”求最值問題的回憶，也加深了學生對其運用的意識以及對這類問題直觀感知的敏銳度。

3.化繁為簡，解決問題，增強信心

學生有了前面的探究，遇到一開始的中考試題，便有了直觀經驗，認為應該將AG放在一個斜邊是定長的直角三角形中去考慮，自然就把AC連接起來，與EF相交于O點，如圖4。因為DF=BE，所以CF=AE，易證△FOC[?]△EOA，即AO=OC，當點G與點O重合時，AG最大，最大值就是AO的長。

通過這三道題目，學生既復習了垂線段最短，又增強了利用垂線段求最值的直觀意識；既有能力提升，又有信心提振。探究到這里，教師不妨繼續讓學生提問題。學生在探究中繼續發現，如圖5，如果作CH⊥EF，那么當CH=CO時，CH最大，此時CH=AG，CH+AG的最大值也可以求出。

教育家夸美紐斯強調，教育要遵循自然秩序。他認為教學應該從易到難，從簡單到復雜，從具體到抽象。就像大自然的萬物生長都有其順序一樣，學生的學習過程也應該是循序漸進的。教師在教學中提供的簡單任務應該處于學生的現有水平之上，但又不能超出他們的最近發展區。“一題一課”教學模式就是知識回憶與知識生成之間的橋梁，要讓學生跳一跳，夠得著。在教學過程中，學生通過對題目的不斷思考、探索和交流，在已有知識經驗的基礎上，不斷構建新的知識體系和解題思維模式。學生想跳想夠著，“彈跳能力”自然就會提升。

4.試題訓練，積累模型經驗，強化直觀素養

教師再給出一道題目，以強化學生的直觀素養：

如圖6，在△ABC中，∠C=60°，AC=5，BC=4，點D為CB延長線上一點。當點D在CB延長線上運動時，AD-[1/2]BD的最小值為_________________。

數學直觀的前提是有必備的數學知識、模型和方法的儲備，有生活與數學活動經驗的積累，以及對研究對象的結構特征與關系的辨別能力。該問題是求線段之間的和差最值，題目中出現了[1/2]BD，運用轉化思想，題目中有60[°]角，自然想到30[°]角所對直角邊是斜邊一半（使用三角函數），作∠C的平分線，構造30[°]角，再過點D作角平分線的垂線，如圖7。學生通過構造“垂線段”模型，由陌生到熟悉，題目自然迎刃而解。

三、教學反思

《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調，有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體；教學活動應注重啟發式，激發學生學習興趣，引發學生積極思考，鼓勵學生質疑問難；促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能，體會和運用數學的思想和方法，獲得數學的基本活動經驗。在實際教學過程中，許多教師喜歡設計題型多、容量大的課堂，滿足于答案的呈現、任務的完成，不考慮學生的學情和學力，收效甚微。實踐證明，講多題不如深挖一題。本節課，筆者根據學情和學力，將一道題進行拓展延伸，巧妙設計，巧用變式，講深講透，促進了學生的推理能力、幾何直觀和模型觀念的養成。對于“一題一課”課堂教學的實施，筆者認為應著重關注以下幾點：

聚焦性。高度聚焦于一道題，所有教學活動圍繞這一道題目展開，使教學目標明確且集中，避免教學內容的分散，讓學生能夠專注于核心問題的解決與思考。選材時，從學生熟悉的經歷入手，嘗試通過化特殊題型為一般路徑去解決問題。在操作過程中，重視對思想方法的滲透，高階思維的培養，思維品質的提升，引導學生積累數學活動經驗，提高解決數學問題的遷移能力，拓寬視野，體會數學的價值，樹立自信心，增強解題的決心和韌勁。

拓展性。從題目的條件、結論、解法等多個方面進行拓展延伸，深入淺出，有一定的知識容量，涉及多種數學思想方法，讓學生思維得到真正的鍛煉；問題具有層次性，改變題目中的條件，探究結論的變化，可以讓不同學生在學力上得到不同的發展；問題具有開放性，即探究過程和結果是開放的，需要從不同的角度出發，尋求多種解題方法，以拓展學生的思維廣度，讓不同層次的學生都能參與其中；問題具有廣延性，易于學生發現問題，進而做進一步的探究。

生成性。在課堂教學過程中，教師應鼓勵學生積極參與討論、探索，這樣學生的觀點和想法才會不斷涌現，也會使得教學內容具有動態生成性。教師還要根據學生的反饋及時調整教學策略，以促進學生對知識的深入理解。

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）