基于深度學習的初中數學有效教學

在初中數學教學中，隨著知識難度的增加，教師對學生思維能力、建模意識、數學抽象、邏輯推理能力等提出了更高的要求。提升課堂教學效率，促進學生進行深度學習，教師需要關注學生感受，促使他們進行自主思考、合作探究與深度學習。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：“在積極落實‘立德樹人’根本任務中，教學工作應面向全體學生，使他們獲得適應終身發展所必需的學科核心素養。”教師要重視高效課堂的構建，在優化教學內容中，探索有效教學策略；促進學生深度學習，使他們成為課堂學習的主體；在獨立思考中進行實踐探索、合作學習與問題提出，培養學生的數學思維；讓他們沉浸在課堂學習氛圍中，保持探究熱情，感受數學與現實的聯系，通過深度學習形成數學核心素養。

一、基于深度學習價值，制訂課堂教學目標

所謂“深度學習”是指學生在對知識的全面、深度理解上，能夠進行批判性的觀察、分析與提問，使學生更好地汲取新知，形成學科理解，將過往經驗與新知融合，實現學習的升級、知識的遷移。本堂課“用樹狀圖或表格求概率”的教學目標（見圖1）。

本次課堂教學主要是回顧過往所學，密切知識聯系，促使學生掌握概率相關知識，實現數學思維的進階：

1.認識概率定義，結合不同情況靈活選用樹狀圖或表格列舉所有可能存在的結果方法（核心素養發展目標見表1）。

2.自行繪制樹狀圖，不重不漏地使用圖、表做出對某一事件的數學解釋。

3.進行深度學習，能夠使用概率知識解決實際問題，完成相應的習題。

教師應具有課堂教學智慧，以學生感興趣的話題、文藝新聞進行教學導入，吸引學生的課堂注意力，使他們了解概率中的必然事件、不可能事件、隨機事件分別指什么，感受數學與現實生活之間的密切聯系，跟隨教師的引導進行數學分析、自主思考、深度學習、合作探究。

為了提升課堂教學效率，促進理論與應用的融合，教師還需幫助學生分組，使他們通過探討、合作、分析形成數學觀點，并能夠進行數學表達。這樣才能助力學生數學思維的進階發展，讓他們形成邏輯思維，在數形結合中增強教學的趣味性。

二、設計課堂學習活動，促進數學知識內化

（一）趣味導學，激發興趣

在教學中，教師展示一家四口的照片。隨后提出問題：“老師身邊的同事、朋友都開始要二孩、三孩。我來問一下大家，一對夫妻生一個孩子性別的可能性有哪幾種，生男孩概率有多大？”“如果是一對夫妻要生兩個小孩，生男孩、女孩的可能性有哪幾種？如果生‘一兒一女’，這種可能性又是多少？”學生紛紛積極作答，以這樣的方式帶領學生快速回顧曾經的概率知識，以便形成知識遷移。

（二）動手操作，形成理解

為了使學生對課本中的例題形成更為深入的理解，教師讓大家拿出提前準備好的硬幣，并出具“有三名同學和一張電影票，如果大家都想去看，用拋硬幣決定。兩面為正小明可以去，兩面為反讓小穎去，一正一反小凡去。這樣的方法是否公平”問題。有的學生認為拋硬幣概率一半一半，這樣的決定方式比較公平；還有的學生對前面同學的回答持疑，認為不太公平，但又說不上來為什么。

教師這時可以說：“那我們不如來實踐一下，看看通過拋擲硬幣的方法，誰獲得電影票的可能性最大。”這樣做的目的是使學生進行簡單的實驗，并記錄所產生的數據，繼而形成初步認識。

教師提示“大家要清晰地記錄每次拋擲硬幣的結果，每人拋擲兩次，每組中有一人負責記錄，其他三人依次拋擲”。其間，教師可進行巡視，觀察記錄情況，當活動結束后，再以“現在大家能說一說這樣的方式是否公平”進行提問，使學生展開探討。

學生1：不公平，因為無論第一次結果如何，都不影響第二次結果，但是卻關系著三人中有一人被淘汰。但是第一次肯定不會是小凡，他勝面更大。

學生2：對啊！這個方式看起來公平，實際根本不公平。如果第一次就是反面，小明直接淘汰了；如果第一次是正面，小穎淘汰了，第二次才決定是小凡還是其他兩人中的誰。

教師：很好，這其中的數學奧秘，讓我們來總結一下吧！誰能試著用數學推理的方法說一說為什么不公平？

學生3：每一次正反的概率是相同的，第一次結果與第二次結果出現的可能性也是相同的，所以這其中可能會出現四種結果，兩種都對小凡有利。

學生4：兩次拋擲出現四種可能性。小穎、小明之所以吃虧是第一次就會造成他們中的一個出局，無論第一次是哪種情況，小凡都可以寄希望于第二次的拋擲結果，這才是決定他是否勝出的關鍵。

教師：真棒！接下來我們認識如何用樹狀圖和表格表示本次實驗的結果，并做出相關的解釋。

教師可以通過希沃數字白板展示提前準備好的教學課件，讓學生認識樹狀圖（見圖2）和表格（見表2）。

教師結合學生剛才的回答進行總結。

學生5結合圖、表總結：（正，正）（正，反）（反，正）（反，反），每種可能性為1/4，也就是小明、小穎都是其中一種可能。（正，反）（反，正）都是小凡，他的概率是1/2，所以不公平。

通過這樣的實驗操作、合作探析，學生能夠形成數學建模意識，掌握樹狀圖和表格繪制、填寫要點，理解數學問題，提高數學表達能力。

為了降低概率知識的理解難度，教師可以提醒大家，要抓住主要要素，做好不重不漏地羅列出所有的可能性，以便進行運算，計算概率。

（三）鞏固訓練，深度學習

教師可結合導入環節的內容，構建情境：“我的鄰居王老師一胎生了女孩，現在王老師愛人懷孕了，他們二胎可能會生男孩、女孩哪種概率大，生男孩概率有多少。”學生自主繪制樹狀圖、表格，并做出解答。

學生根據曾經學過的概率公式P（A）=m/n，對復雜問題進行分析。

學校聯歡會中特別設有與數學有關的游戲環節。有A、B兩個轉盤，每個轉盤被分成面積相同的扇形。A盤由紅、白兩種顏色組成，B盤則由黃、藍、綠三種顏色構成。根據配色原則，如果轉盤參與者同時轉動兩個轉盤，恰好將A盤指針轉到紅色，B盤指針對準藍色，配色成功，便獲得游戲的勝利。

1.你能用樹狀圖或列表法表示出游戲所有可能產生的結果嗎？

2.獲勝者的獲勝概率是多少？

學生循序漸進地進行數學學習探索，在自主分析中合作探究，提升問題的復雜性與難度。并且，教師注意培養學生的問題意識，先讓他們在組內探討，解決一部分問題，如果生生交流仍然解答不了存在的困惑，可以師生共同探討，解決問題。

學生6提出：“為何要提到各種顏色面積相同？”教師可將其作為教學素材，出示如果在A盤紅白色扇形分配中，白色占2/3，紅色占1/3，那結果會發生怎樣的變化，使大家隨之調整樹狀圖或列表法可能出現的結果，分析這是否會影響游戲的獲勝概率。

學生7則在思考后回答：“強調每個轉盤被分成面積相同的扇形等塊，是為了保證每個區域被指針指向的可能性是相等的，也就是等可能性事件。只有在等可能性事件的前提下，我們才能運用常規的樹狀圖或列表法準確計算各種結果出現的概率。扇形面積不同，紅色占比降低了，那么指針落在不同區域的概率就不一樣了，但還是能知道對應的概率。”

教師對該同學的回答表示贊許并提問：“那如果是應對更為復雜一點的問題，大家知道應該怎么做嗎？”教師還可以運用廢舊包裝紙盒，制作簡易的轉盤教具，涂色后使學生邊進行轉動實驗，邊記錄可能形成的結果，幫助他們進行概率知識的理解，密切數學知識與現實生活的聯系，幫助學生形成數學高階思維，進行深度學習。

三、創新教學引導方式，發揮學生主體作用

（一）合作探索，小組對決

為了發揮學生在數學課堂中的主體地位，促進他們數學推理、邏輯思維、表達能力等協調發展，教師可繼續提升問題的難度，引入小組之間的對決。當學生能夠運用樹狀圖和列表法求概率、判斷問題后，教師可以繼續以小組合作的方式，促進學生學習。教師可給出如下問題：

當一個不透明的盒子中裝有三個A（紅色）、B（黃色）、C（綠色）小球，教師隨機拿出一個小球記錄顏色后，又把它投進盒子，再隨機拿出一個小球，記錄第二次獲取小球的顏色，請大家合作分析兩次拿到同樣顏色小球的概率。

學生在合作中優化思路，糾正錯誤。同時，教師讓學生結合這一問題，歸納總結樹狀圖、列表法各自的優勢，說一說哪些情況不適合應用列表法。

以小組合作的方式，學生借助云平臺進行簡易思維導圖的繪制，分析用樹狀圖求概率的步驟與注意事項。以計時的方式隨機抽查不同小組的思維導圖，師生一同評定。或者經過組間合作探討后，出具相應的趣味題目，隨機每組某一成員到講臺上解答，展開小組間的對決。

（二）精選例題，思維擴展

為了幫助學生對這部分知識的深入理解，教師還可以優選經典例子，拓展學生的思維。

如果有三個人，甲口袋中有2個相同的小球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中裝有3個相同的小球，它們分別寫有字母C、D、E；丙口袋中裝有2個相同小球，分別寫有H、I。如果我們從三個口袋中各隨機取出1個小球，會有多少種結果。

教師引導學生進行分析：分步畫圖和分類排列，得出正確的結論是解題的關鍵。弄清題意后，先讓學生思考，從3個口袋中每次各隨機地取出1個球，共取出3個球，恰好取得小球為2個元音的概率是多少，總共有多少種取法？

有學生很快畫出了樹狀圖（見圖3）：

并隨之推導出可能出現的結果是12種，分別為ACH、ACI、ADH、ADI、AEH、AEI、BCH、BCI、BDH、BDI、BEH、BEI，其中A、E、I是元音，剩余的四個為輔音。

P（一個元音）= ；P（兩個元音）= =

P（三個元音）= ；P（三個輔音）= =

通過對經典例題的變式，學生理解了多元素問題中為何列表法不如樹狀圖方便，知道了哪些情況適用于樹狀圖，哪些情況適用于列表法。

隨后，教師可以布置課后作業：

1.三位女同學和一位男同學并行，從中隨意選出兩人，其性別不同的概率（" ）。

A." " " " "B." " " " C." " " "D.

2.莉莉和柳芳兩人做游戲，如圖4，兩個轉盤都是3等份，每一份中標注了具體的數字。游戲開始轉盤轉動，兩個轉盤停止轉動后，數字之和為7時，莉莉勝；數字之和為8時柳芳勝，根據你的判斷，兩人誰獲勝的概率更大_________。

3.彤彤和薇薇兩人做游戲，規則是在不透明的口袋中取球，其中放置型號相同的3個紅球和2個黑球，兩人先后從袋子中取球（取出不放回），若兩人所取球顏色相同，彤彤勝；不同，薇薇勝。

（1）請用樹狀圖或列表法求出所有可能出現的摸球結果。

（2）這個游戲規則的制定是否公平，請你來說一說理由。

總之，本節新課講授進一步學習了概率，讓學生在以往知識的基礎上進行遷移性學習，認識到舊知識無法解決新問題。有時候看似公平的事情，用數學推理發現其存在不公平現象。本次授課我主要以促進學生自主合作的方式，使他們擁有使用數學知識解決實際問題的能力，鼓勵學生提問、注意捕捉學生問題中的教學素材，設計不同的習題，以便使學生自主探索、深度學習，使他們在實際問題中進行數學建模，形成優秀的邏輯思維能力。通過教學反思，我發現本節課自制教具稍有不足，當時主要考慮到怕分散學生的注意力。在后續教學中，我將繼續秉持學生為本的教育理念，在幫助學生構建數學知識架構中進行創新探索，使他們喜歡數學課，能夠進行深度學習、合作探究。

（作者單位：福建省漳州市第七中學）

編輯：溫雪蓮