遷移拓展：大單元背景下“中程”章起始課的價值追求

“整合是發生深度學習的重要機制.”[1]隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）的頒布，以單元教學為抓手落實深度學習成為熱點與焦點.文章以人教版教材“軸對稱”單元設計為例，談如何在教學實踐中實施單元教學，用教師的“深度教”引領學生的“深度學”.

1 本章教學內容分析

軸對稱現象廣泛存在于我們的現實生活中，是體現數學與現實生活密切聯系的好載體.從整個初中數學教學的角度看，本章內容是七年級下冊第五章中“平移”一節內容的延續與發展，也是學習九年級上冊第二十三章“旋轉”內容的基礎，基于以上分析，本章變成了“中程”章，有著承前啟后的價值.同時，本章與“平移”“旋轉”共同組成了初中數學全等變換的所有內容.因此，本章既有可類比的對象，又有可延伸的方向.作為“中程”章，本章原教材共四節內容，即研究軸對稱及其性質、畫軸對稱圖形、等腰三角形及最短路徑.借力山東省重點課題“基于初中數學課程整合的單元教學案例研究”的成果，依據數學的邏輯思維，對本章內容進行了整合與調整，按照從簡單到復雜的邏輯順序，分別研究“軸對稱（起始課）—線段—角—等腰三角形—小結復習—評價”.

基于以上分析，確定本單元的核心大概念為“對稱”，教學重點為對“軸對稱”的性質及“特殊軸對稱圖形”性質的理解與應用.結合初二學生的學情特點確定本節課教學難點為軸對稱性質的探究，以及靈活運用軸對稱的性質解決問題.

2 本章整體規劃

按照《課標（2022年版）》中對“單元教學”的要求，以邢成云教授提出的“整體統攝·快慢相諧的整體化教學”[2]為理論引領，立足“圖形變換”的課程內容，統合“軸對稱”的教學資源（章前語、章前圖、教材正文），用“1＋7＋2”的教學結構完成對本單元的教學設計（如圖1）.

3 章起始課教學目標

通過分析教材內容，結合章頭圖與章引言，依據《課標（2022年版）》對本單元的要求[3]，確定本起始課教學目標如下：

（1）通過觀察生活中的具體實例，抽象出軸對稱、軸對稱圖形的特征，獲得軸對稱、軸對稱圖形、線段垂直平分線的概念，厘清軸對稱與軸對稱圖形的區別和聯系；

（2）探索成軸對稱的兩個圖形的性質和軸對稱圖形的性質，體會由具體到抽象認識問題的過程；

（3）類比平移得出本章的研究路徑，形成本章內容的知識結構，感悟類比方法在研究數學問題中的作用.

4 章起始課教學過程設計

環節一創境引悱，孕育問題

問題1請同學們觀察圖片（如圖2），你想到了什么？

預設：圖形的平移、旋轉、軸對稱……有些圖形全等，有些圖形形狀相同而大小不等.

追問1：在初中階段已經完成了哪部分的學習？

追問2：你能類比學過的平移知識，猜想一下，對于軸對稱、旋轉，會學習哪些知識嗎？

設計意圖：由生活中常見的圖片導入，滲透數學與生活的密切聯系，讓學生體會數學來源于生活.類比平移，猜想軸對稱、旋轉的大致學習內容，滲透類比思想，為本節課的學習指明方向.把“平移、軸對稱、旋轉”的圖片放一塊，讓學生在對比中思考，不僅為學習九年級“旋轉”內容作鋪墊，還滲透了圖形全等變換的整體性，提高學生的幾何認知能力.

環節二對比聯系，發現問題

問題2請大家觀察圖2中的圖（2）（4）（5），這三幅圖形有區別和聯系嗎？

預設：這些圖形都是對稱的，但又有不同.圖（2）是對稱圖形，只有一個圖形；圖（4）（5）中分別出現了兩個圖形，但整體上來看圖形也是對稱的.

追問1：大家還能舉出生活中類似的例子嗎？

學生舉例，教師根據學生的舉例再補充（如圖3）.

追問2：這些圖形的共同點是什么？這些對稱現象可以分為幾類？

預設：它們都可以找到一條線，這條線兩側的圖形完全一樣，也就是它們都是關于某條直線對稱.這些圖形可以分兩類，一類是兩個圖形的對稱，另一類是一個圖形中的對稱.

設計意圖：承接上一環節，整體認知圖形的“全等變換”后，再結合給出的對稱圖片，確定異同點.學生的思維在辨析中向深度發展，為后續得出軸對稱圖形與軸對稱兩個概念作鋪墊.

環節三合作探究，沉淀問題

問題3請結合看到的對稱圖形，思考：什么樣的兩個圖形關于某條直線成軸對稱？什么樣的圖形才是軸對稱圖形？

問題4明白了軸對稱與軸對稱圖形的定義，接下來探究什么？如何探究？

預設：軸對稱與軸對稱圖形的性質，可以類比“平移”進行探究.

教師：有了可以類比的對象，請大家結合學案中成軸對稱的兩個圖形，探究其性質可以從哪幾個角度思考？

學生先獨立思考，然后小組合作探究，最后共享得到的結論.

小組分享（預設）：既然這樣的圖形能夠完全重合，那么說明這兩個圖形是全等形.重合的圖形中出現了無數對重合的點，我們把這樣的點稱之為對應點（對稱點），這些對應點的連線是互相平行的，它們與對稱軸有特殊的關系，對稱軸經過每一對對應點連線的中點且垂直于這條直線.

追問1：請大家結合圖4，若已知△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，請用符號語言寫出圖形中蘊含的結論.

追問2：對稱軸MN的特殊性在哪里？如何用語言直接描述？

預設：直線MN經過對應點所連線段的中點且垂直于對應點所連線段.

追問3：從對稱的角度，直線MN叫做對稱軸，從它與對應點所連線段關系的角度思考，直線MN又可以叫做什么？

預設：線段的垂直平分線.

追問4：你能描述什么叫線段的垂直平分線嗎？如何用符號語言表達這個概念？

預設：經過線段中點且垂直于這條線段的直線叫做線段的垂直平分線.如圖4，以直線MN是AA′的垂直平分線為例，線段的垂直平分線可以用如下符號語言來表示.因為MH⊥AA′，AH＝A′H，所以MN是線段AA′的垂直平分線.

問題5兩個圖形關于某條直線成軸對稱，會出現以上結論，對于一個軸對稱圖形，是否有同樣的結論或者不同的結論？

預設：軸對稱圖形的性質與軸對稱的性質“一脈相承”，對稱軸兩側的圖形是完全重合的，而且對稱軸是任意一對對應點所連線段的垂直平分線.

追問：你能想到學過的軸對稱圖形有哪些嗎？

預設：學生可能會說出長方形、正方形、圓等，此時教師引導學生按照一定規律來概括，比如，可以按照從簡單到復雜的順序（線段—角—等腰三角形—長方形—正方形—圓）來確定.

設計意圖：類比平移探究軸對稱的性質是本節課的難點，為突破難點，設置了合作探究的環節，學生結合圖形探究結論，師生交流總結結論.借助軸對稱的性質得出線段垂直平分線的定義，并引導學生分別用文字語言與符號語言來表達，提高學生的數學表達水平.由軸對稱的性質猜想得出軸對稱圖形的性質，聯想學過的軸對稱圖形，滲透研究數學問題“簡單—復雜”的研究思路.

環節四開放思維，變化問題

問題6研究完軸對稱的定義、性質后，你想到了什么？

預設：軸對稱的應用，運用軸對稱的性質作圖.

追問1：如果已知△ABC與直線l，你能作出△ABC關于直線l對稱的△A′B′C′嗎？如果讓大家自己畫圖，△ABC與直線l有哪幾種位置關系？

預設：四種位置關系（如圖5）.

追問2：作出△ABC關于直線l對稱的△A′B′C′，最關鍵的是確定什么？

預設：△ABC關于直線l對稱的各對應頂點.

學生活動：各小組根據得出的不同圖形，從小組成員中選擇一位快速完成作圖（每個小組要把四種情況都涵蓋到），最后小組交流共享.

問題7類比平移的學習經驗，軸對稱的性質除用于作圖外，還有什么用場？

預設：與平面直角坐標系的綜合應用.

追問1：若把以上四種情況的圖形分別放在平面直角坐標系中，已知△ABC的三點頂坐標，可以求出什么？

預設：要看對稱軸的位置.

追問2：對稱軸在哪里最簡單？又如何求得對應頂點的坐標？

預設：對稱軸如果是x軸或y軸最簡單.比如，△ABC與△A′B′C′關于x軸（y軸）對稱時，根據軸對稱的性質，其對應頂點到x軸（y軸）的距離相等，故此時對應頂點的橫（縱）坐標不變，縱（橫）坐標互為相反數.而如果對稱軸是其他的直線，求對稱點的坐標就會有點困難.

追問3：除了x軸、y軸，平面直角坐標系中還有其他的特殊直線嗎？如果這些特殊直線作為對稱軸，我們能否求得相應對稱點的坐標呢？

預設：與x軸、y軸分別平行的直線，比如平行于x軸且到x軸的距離是3的直線（這樣的直線標記為x＝3或x＝-3）.如果△ABC與△A′B′C′關于直線x＝3對稱，可以確定△A′B′C′的頂點坐標.同樣，如果△ABC與△A′B′C′關于直線y＝3對稱，也可以確定△A′B′C′的頂點坐標.而如果對稱軸是這些特殊直線以外的任意一條直線，求對稱點時真有些困難.

設計意圖：該環節是軸對稱性質的應用，問題6是開放性的問題，發散學生思維，實現深度思考；問題7讓學生感受軸對稱在平面直角坐標系中的應用，并從不同對稱軸的角度進行思考討論，“數”與“形”緊密結合，將坐標思想和圖形變換的思想聯系起來，在這種思考與辨析中得出學習全等變換的學習路徑.

環節五反思總結，拓展問題

問題8請結合本節課的學習，思考下列問題：

（1）研究軸對稱的思路是什么？

（2）在學習軸對稱的過程中，用到了哪些數學思想方法？可以總結出哪些學習經驗？還有哪些感悟與思考？

師生共同完成本章知識結構圖（如圖6）：

設計意圖：引導學生回顧梳理，初步構建本章的知識結構圖，提煉出本章的研究思路、研究方法，提高學生的總結概括能力；結合所學的平移、軸對稱知識構想出九年級要學習的旋轉的內容與方法，幫助學生學會學習.

環節六作業布置，問題評價

（1）必做題：教材習題13.1第2，4題；

（2）選做題：以學過的圖形為基本圖形，結合學過的平移、軸對稱知識設計一幅圖案.

設計意圖：必做題考查學生對基礎知識的掌握程度，選做題提高學生的審美與創造能力.

5 章起始課教學立意及闡釋

5.1 生活創境，感受聯系

入課之初，借助生活中常見的圖片導入所學圖形變換的知識，引導學生對圖片進行分類;引出課題“軸對稱”之后，對生活中的對稱現象進行分類，以此打開學生思維;課后作業又以設計方案為選做題，以提高學生的創新能力.總之，整節課中所出現的圖片，都是以生活中常見的例子進行說明，讓學生感受數學與生活密切聯系的同時培養學生學以致用的能力.這樣的設計吻合了《課標（2022年版）》提出的育人總目標之一——用數學的眼光觀察現實世界.

5.2 類比發力，彰顯素養

整節課中，以“平移”為出發點，引導學生類比得出“軸對稱”的內容，再類比“平移、軸對稱”得到旋轉的相關知識，這是知識內容的類比；從平移的概念—性質—作圖獲得軸對稱的概念—軸對稱的性質—作圖，這是學習經驗（觀念）的類比；由“平移”的作圖方法總結得出“軸對稱”的作圖方法，這是學習方法的類比遷移.可以說，整節課類比發力，遷移運用，學生的核心素養無形中得以發展.

5.3 開放為主，發散思維

整節課中的問題鏈以開放題為主，都是啟發學生自己主動去思考，包括后面的探究環節，讓學生結合給出的條件自己畫圖，體會不同情況下的對稱現象.問題鏈遵循數學的邏輯順序，“一以貫之”，將整節課有效地串聯起來，讓學生在思考中感受數學的整體性，最終形成數學“全等變換”的知識體系.

參考文獻：

[1]李松林.走向整合的深度學習[N].中國教師報，20200122（4）.

[2]邢成云.“整體統攝·快慢相諧”的整體化教學［J］.中國教師，2021（10）：3941.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：86.