基于“推理能力”發(fā)展的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)探索

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，數(shù)學(xué)推理能力屬于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的范疇，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必須具備的能力，且貫穿于學(xué)生學(xué)習(xí)的整個(gè)過程.在課堂教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的推理能力顯得尤為關(guān)鍵.而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)作為一種新穎的教學(xué)方式，具備工具性、操作性、情境性、探究性等特點(diǎn)，能夠更好地助力學(xué)生推理能力的發(fā)展.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；推理能力；圓

1 問題提出

2014年，我國教育部在《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》里首次提出“中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”，其中涵蓋了邏輯推理素養(yǎng).推理能力作為關(guān)鍵能力的一種，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)過程中發(fā)揮著一定的作用[1].由于數(shù)學(xué)具有獨(dú)特的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，當(dāng)前部分學(xué)生的推理能力較為薄弱，合情推理能力與演繹推理能力相較更為薄弱，二者能力的發(fā)展并不平衡[2].數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是指在明確的問題情境之中，學(xué)生借助實(shí)物或者計(jì)算機(jī)所提供的教學(xué)技術(shù)來進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).在實(shí)驗(yàn)工具的輔助下，學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)問題、探究問題以及解決問題，經(jīng)由研究性學(xué)習(xí)的方式，從而獲得數(shù)學(xué)知識(shí)[3].與傳統(tǒng)教學(xué)相比，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)具有工具性、操作性、情境性、探究性的特點(diǎn)[4]，如何結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)來發(fā)展推理能力是值得思考的問題.因此，本文中以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)為載體，研究如何通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.

2 基于推理能力的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 實(shí)驗(yàn)情境

硬幣是日常生活中的常見物件，當(dāng)它在桌子上沿著直線滾動(dòng)時(shí)，用數(shù)學(xué)的眼光來看，可將其看成圓沿直線滾動(dòng).若將兩枚相同的硬幣放在桌面上，固定硬幣1不動(dòng)，硬幣2繞著硬幣1滾動(dòng)一周，那么在這個(gè)過程中硬幣2自轉(zhuǎn)了幾周？這個(gè)問題容易產(chǎn)生誤解，以為硬幣2在滾動(dòng)過程中也會(huì)自轉(zhuǎn)一周.然而，經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分析可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題并非如此簡單.硬幣滾動(dòng)過程中所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)及結(jié)論，值得深入思考與探討.

問題1硬幣繞硬幣滾動(dòng)的過程，用數(shù)學(xué)的眼光來看，是什么幾何圖形進(jìn)行怎么樣的運(yùn)動(dòng)？

問題2數(shù)學(xué)問題的探究過程通常由易到難，圓繞圓的運(yùn)動(dòng)路徑比較難，那么圓在什么圖形上的運(yùn)動(dòng)更簡單？如何設(shè)計(jì)研究思路？

思路設(shè)想：為了解決上述問題，本文中先設(shè)置了實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)二作鋪墊，然后進(jìn)行圓在圓外滾動(dòng)實(shí)驗(yàn)三的探究.這樣由日常生活中的現(xiàn)象引入，通過問題串的引領(lǐng)將其梯度“數(shù)學(xué)化”，轉(zhuǎn)化為圓的運(yùn)動(dòng)軌跡問題，將圓沿圖形無滑動(dòng)的滾動(dòng)分為三種情形——直線、正多邊形、圓，分析探究滾動(dòng)過程中不同情形的滾動(dòng)路徑、路程問題.其中，圓在直線上滾動(dòng)是較為簡單的一種情形，對(duì)此類情形的探究為后面兩種情況的探究作好了鋪墊，降低了探究圓沿正多邊形外部滾動(dòng)時(shí)的難度.同時(shí)，由探究圓沿正多邊形外部滾動(dòng)的情況聯(lián)想到圓沿圓外部滾動(dòng)的情況，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象與合情推理能力.

2.2 兩個(gè)輔助實(shí)驗(yàn)探究

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一：圓在直線上滾動(dòng).

（1）實(shí)驗(yàn)工具：圓在直線上滾動(dòng)的GeoGebra課件、萬花尺套裝.

（2）實(shí)驗(yàn)任務(wù)：

①將萬花尺套裝中的圓形尺沿直尺運(yùn)動(dòng)，觀察圓心運(yùn)動(dòng)路徑.

②用GeoGebra軟件進(jìn)行驗(yàn)證，將圓的半徑設(shè)置為r=1 cm，觀察圓的運(yùn)動(dòng)路徑，并記錄圓滾動(dòng)1周、2周時(shí)圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡長度.

③用GeoGebra軟件進(jìn)行驗(yàn)證，將圓的半徑設(shè)置為r=2 cm，重復(fù)上述步驟②.

④請(qǐng)你猜想圓繞直線運(yùn)動(dòng)時(shí)圓心運(yùn)動(dòng)路徑長度的計(jì)算公式.

⑤將圓的半徑設(shè)置為任意數(shù)值，觀察圓心的運(yùn)動(dòng)路徑并記錄圓滾動(dòng)任意周時(shí)圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡長度.

（3）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析：

①當(dāng)r=1 cm或r=2 cm時(shí)，圓的運(yùn)動(dòng)路徑和圓心的運(yùn)動(dòng)路徑均為一條直線，則可用圓心的運(yùn)動(dòng)路徑來代表圓的運(yùn)動(dòng)路徑.

②當(dāng)r=1 cm時(shí)，圓滾動(dòng)1周時(shí)圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長度大約為6.28 cm，滾動(dòng)2周時(shí)圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長度大約為12.4 cm.當(dāng)r=2 cm時(shí)，圓滾動(dòng)1周的路徑長度大約為12.5 cm，滾動(dòng)2周的路徑長度大約為24.12 cm.由此可猜想，圓在直線上滾動(dòng)的路徑即為圓的周長乘圓滾動(dòng)時(shí)自轉(zhuǎn)的圈數(shù)，若等式成立，則可以由圓心運(yùn)動(dòng)路徑長度來推得圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù).

實(shí)驗(yàn)分析：（i）硬幣實(shí)物操作，學(xué)生分組合作完成（操作中無滑動(dòng)的滾動(dòng)較難做到，數(shù)據(jù)記錄誤差較大）.（ii）通過GeoGebra軟件引導(dǎo)學(xué)生直觀地探究圓沿直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.其中通過任務(wù)①②發(fā)現(xiàn)圓的運(yùn)動(dòng)路徑的形狀與圓心運(yùn)動(dòng)路徑形狀一致，通過任務(wù)③④，探究圓半徑與圓心運(yùn)動(dòng)路徑長度之間的關(guān)系，并猜想圓心運(yùn)動(dòng)路徑長度的計(jì)算公式；任務(wù)⑤讓學(xué)生自己嘗試設(shè)置不同的圓半徑長與滾動(dòng)圈數(shù)（了解軟件應(yīng)用過程及原理、會(huì)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并作出合情推理，似乎少了物理實(shí)驗(yàn)實(shí)物操作的味道）.

（4）實(shí)驗(yàn)成果：

結(jié)論：如圖1，設(shè)圓的半徑為r，圓在直線上滾動(dòng)時(shí)，直線與圓相切，則圓心到直線的距離為定長r，圓心滾動(dòng)的路徑CC1等于線段AB的長度，即CC1=AB，故圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)a=CC12πr.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二：圓在正多邊形外部滾動(dòng).

（1）實(shí)驗(yàn)工具：圓在正多邊形外部滾動(dòng)的GeoGebra課件、萬花尺套裝.

（2）實(shí)驗(yàn)任務(wù)：

①將萬花尺套裝中的圓形尺沿三角形尺子、正方形尺子外部運(yùn)動(dòng)，觀察圓心運(yùn)動(dòng)路徑.

②用GeoGebra軟件進(jìn)行驗(yàn)證，將正三邊形的邊長設(shè)置為3 cm，圓的半徑設(shè)置為r=1 cm，觀察圓繞正三角形外部滾動(dòng)一周圓心的運(yùn)動(dòng)路徑，并觀察其路徑形狀的特點(diǎn)，計(jì)算出圓繞正三角形外部滾動(dòng)一周圓心運(yùn)動(dòng)路徑長度和圓自轉(zhuǎn)圈數(shù).

③用GeoGebra軟件進(jìn)行驗(yàn)證，將圓的半徑設(shè)置為r=2 cm、正三邊形的邊長設(shè)置為4 cm、正方形的邊長設(shè)置為4 cm，重復(fù)上述步驟②.

④用GeoGebra軟件進(jìn)行驗(yàn)證，將正多邊形的邊數(shù)、邊長和圓半徑設(shè)置為任意數(shù)值，重復(fù)上述步驟.

（3）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析：

①通過分析實(shí)驗(yàn)過程的圖示（如圖2、圖3）可知，圓在正多邊形上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其圓心軌跡為正多邊形的形狀加上圓弧，圓弧部分加起來正好能拼成一個(gè)圓形.

②通過對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的分析，可知圓在正多邊形頂點(diǎn)處滾動(dòng)自轉(zhuǎn)合起來的部分為一周，根據(jù)實(shí)驗(yàn)一的結(jié)論再計(jì)算出直線部分的自轉(zhuǎn)圈數(shù)，相加即可得出圓在正多邊形外滾動(dòng)的自轉(zhuǎn)圈數(shù).

實(shí)驗(yàn)分析：在實(shí)驗(yàn)中運(yùn)用的GeoGebra軟件能夠更好地幫助學(xué)生直觀感受運(yùn)動(dòng)路徑，分析路徑構(gòu)成部分，測量圓心路徑長度，并以此發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（4）實(shí)驗(yàn)成果：

結(jié)論：圓在正多邊形外部滾動(dòng)，設(shè)正n邊形的周長為m，當(dāng)圓沿正多邊形邊滾動(dòng)時(shí)，圓與邊相切，圓心路徑即為線段和，路徑長即為周長m.

如圖4，單獨(dú)分析圓在頂點(diǎn)處的滾動(dòng)情況.設(shè)∠NOP=α°（0lt;αlt;180），O為圓與邊的切點(diǎn)，∠CON=∠C1ON=90°，易得∠COC1=（180-α）°，圓心滾動(dòng)的路徑長度等于以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓弧CC1的弧長，即CC1=（180-α）180π×OC.

設(shè)圓的半徑為r，則圓繞正n邊形公轉(zhuǎn)一周圓心所經(jīng)過的路徑l=m+2πr，圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)a=m2πr+1.

更一般地，設(shè)凸n邊形的周長為m，圓的半徑為r，則圓繞凸n邊形公轉(zhuǎn)一周圓心所經(jīng)過的路徑長為l=m+2πr，圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)a=m2πr+1.

2.3 問題實(shí)驗(yàn)探究

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)三：圓在圓外部滾動(dòng).

（1）實(shí)驗(yàn)工具：圓在圓外部滾動(dòng)的GeoGebra課件、萬花尺套裝.

（2）實(shí)驗(yàn)任務(wù)：

①將萬花尺套裝中的圓形尺沿圓形尺子外部運(yùn)動(dòng)，觀察圓心運(yùn)動(dòng)路徑.

②用GeoGebra軟件進(jìn)行驗(yàn)證，將滾動(dòng)圓的半徑分別設(shè)置為r=1 cm和r=2 cm，定圓的半徑設(shè)為R=1 cm，觀察滾動(dòng)圓繞定圓公轉(zhuǎn)一周的圓心運(yùn)動(dòng)路徑并觀察其路徑形狀的特點(diǎn)，計(jì)算出滾動(dòng)圓繞定圓公轉(zhuǎn)一周圓心路徑長度.當(dāng)r=1 cm時(shí)，觀察滾動(dòng)圓繞定圓公轉(zhuǎn)一周時(shí)，自轉(zhuǎn)了幾周.

③用GeoGebra軟件進(jìn)行驗(yàn)證，將滾動(dòng)圓的半徑分別設(shè)置為r=1 cm和r=2 cm，定圓的半徑設(shè)為R=1.5 cm，重復(fù)上述步驟②.

④用GeoGebra軟件進(jìn)行驗(yàn)證，將滾動(dòng)圓的半徑分別設(shè)置為r=1 cm和r=2 cm，定圓的半徑設(shè)為任意數(shù)值，重復(fù)上述步驟②.

（3）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象分析：

①通過對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的觀察可知，圓心在圓外運(yùn)動(dòng)的軌跡仍為圓.

②通過對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的分析，可以看出圓繞圓一周自轉(zhuǎn)的圈數(shù)與滾動(dòng)圓、定圓的半徑相關(guān)，即自轉(zhuǎn)圈數(shù)=定圓半徑滾動(dòng)圓半徑.如圖5、圖6.

圓在圓外滾動(dòng)情形一：

圓在圓外滾動(dòng)情形二：

實(shí)驗(yàn)分析：實(shí)驗(yàn)三是在實(shí)驗(yàn)二的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)趨向無窮時(shí)，正多邊形趨近于圓，則圓繞定圓滾動(dòng)的路徑可看作線段部分趨近于無，只剩下圓.通過GeoGebra軟件幫助學(xué)生進(jìn)行抽象與直觀之間的順利轉(zhuǎn)化，加深印象.

（4）實(shí)驗(yàn)成果：

結(jié)論：設(shè)滾動(dòng)圓圓心為點(diǎn)O1，半徑為r，定圓圓心為O，半徑為R.

方法一：根據(jù)實(shí)驗(yàn)二的推論，當(dāng)正n邊形邊數(shù)趨向于無窮大時(shí)，這個(gè)正凸n邊形就無限趨向于一個(gè)圓，則圓繞圓形公轉(zhuǎn)一周圓心所經(jīng)過的路徑l=m+2πr，其中m=2πR，則圓心的路徑l=2π（r+R），圓自轉(zhuǎn)的圈數(shù)a=2π（r+R）2πr=r+Rr.

方法二：當(dāng)滾動(dòng)圓繞定圓公轉(zhuǎn)一周時(shí)，兩圓之間保持相切的位置關(guān)系，則兩圓心之間的距離保持r+R不變，滾動(dòng)圓圓心運(yùn)動(dòng)路徑即為一個(gè)以定圓圓心O為圓心，r+R為半徑的圓，故滾動(dòng)圓圓心路徑長為l=2π（r+R），圓自轉(zhuǎn)圈數(shù)為a=2π（r+R）2πr=r+Rr.

因此，從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，有兩枚相同的硬幣，即它們的半徑相同，此時(shí)固定硬幣1不動(dòng)，硬幣2繞著硬幣1轉(zhuǎn)動(dòng)一周，那么在這個(gè)過程中硬幣2自轉(zhuǎn)的周數(shù)a=2π（R+R）2πR=R+RR=2.

3 實(shí)驗(yàn)延伸

任務(wù)：利用GeoGebra軟件探究圓在圓的內(nèi)部滾動(dòng)時(shí)圓心路徑形狀及長度、自轉(zhuǎn)圈數(shù).

開放性問題：在圓繞定圓滾動(dòng)過程中，滾動(dòng)圓上的一點(diǎn)到定圓圓心之間的距離變化有何規(guī)律？

提示：利用GeoGebra軟件，以滾動(dòng)圓上一點(diǎn)與定圓圓心構(gòu)造線段，以時(shí)間為x軸、線段長度為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，繪制圖象.

實(shí)驗(yàn)分析：在上述實(shí)驗(yàn)探究中，運(yùn)用了特殊到一般的方法.經(jīng)過一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)步驟和深入的分析思考，最終得出了圓在正多邊形外滾動(dòng)圈數(shù)與路徑長度的普遍結(jié)論.學(xué)生完完全全地親歷了一個(gè)完整的探究過程，從問題的提出，到實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，再到數(shù)據(jù)的收集與分析，以及最后的結(jié)論得出，每一個(gè)環(huán)節(jié)都讓學(xué)生深度參與其中.通過再一次對(duì)實(shí)驗(yàn)延伸的問題的探究，促使學(xué)生獨(dú)立完成整個(gè)體驗(yàn)過程.這樣的方式能夠極大地促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的發(fā)展，使他們?cè)诿鎸?duì)各種復(fù)雜問題時(shí)，能夠更加從容地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法去分析、去解決.

4 實(shí)驗(yàn)反思

4.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芙档蛯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)復(fù)雜知識(shí)的難度

初中階段的學(xué)生雖然已經(jīng)具備了一定的抽象能力，但是對(duì)數(shù)學(xué)上一些更為抽象的概念、定義、性質(zhì)等的認(rèn)識(shí)還是需要借助一定的實(shí)物.相比于傳統(tǒng)教學(xué)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)更大的優(yōu)勢體現(xiàn)在可以使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)借助直觀的數(shù)學(xué)工具體現(xiàn)出來.通過操作直觀工具，不斷嘗試，將抽象的數(shù)學(xué)具體化，降低學(xué)習(xí)難度.對(duì)探究過程而言，每一次嘗試都是為得出最終的結(jié)論作鋪墊.通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將推理任務(wù)中的對(duì)象直觀展現(xiàn)出來，能更好地辨析各個(gè)對(duì)象之間的相互關(guān)系，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)任務(wù)轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)任務(wù)，于是可以認(rèn)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)能有效降低邏輯推理過程中的難度和復(fù)雜性.由此，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)探究過程并沒有想象中的那么難，增加推理的信心，繼而在未來的學(xué)習(xí)中積極主動(dòng)地去進(jìn)行推理.

4.2 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軒椭鷮W(xué)生積累數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)過程中，在教學(xué)活動(dòng)中逐步形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)至關(guān)重要.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)獨(dú)具感知性與體驗(yàn)性特征，與理性范疇的數(shù)學(xué)推理能力緊密相連.基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)生長和發(fā)展的基石，其來源除了教師的間接經(jīng)驗(yàn)傳授，更多的是學(xué)生通過親身實(shí)驗(yàn)所積累的直接經(jīng)驗(yàn).學(xué)生需運(yùn)用多種感官參與數(shù)學(xué)探究過程，不光動(dòng)腦，更要?jiǎng)邮郑凇白鰯?shù)學(xué)”的過程中主動(dòng)體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部存在的邏輯性和數(shù)學(xué)知識(shí)的生長過程，并在不斷實(shí)踐中積累數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，為推理能力的提升提供經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).

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