巧構相似妙建方程

摘要：以蘇州市2022年中考第26題為例，利用目標角直接構造或轉化角等方式構造三角形相似，建立參數方程，產生多種解法.通過分析解法的自然生成過程，形成一類問題的解題路徑，凸顯試題價值導向功能.

關鍵詞：構造相似；含參方程；解題研究

含參問題通常是“數與代數”領域中的一個難點，也是中考壓軸題中的一類熱點問題，往往通過構建含參的代數式、方程、不等式、函數等數學模型解決問題.若一個角的三角函數可以用含參代數式來表示，則不妨定義此類角為含參角.面對這類幾何問題，學生往往覺得看似簡單，但又無從下手.蘇州市2022年中考第26題就是這樣一道典型的構造相似處理含參角的綜合問題，具有一定的試題導向價值.

1 試題呈現

（2022年蘇州中考第26題）如圖1，二次函數y=-x2+2mx+2m+1（m是常數，且m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D.其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F.連接AC，BD.

（1）求A，B，C三點的坐標（用數字或含m的式子表示），并求∠OBC的度數；

（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；

（3）若在第四象限內二次函數y=-x2+2mx+2m+1（m是常數，且m＞0）的圖象上，始終存在一點Q，使得∠ACQ＝75°，請結合函數的圖象，直接寫出m的取值范圍.

2 解法賞析

“含參”是本試題設計的一條明線.第（1）小題，對于y=-x2+2mx+2m+1，可以分別令y=0，x=0，即可解得A（-1，0），B（2m+1，0），C（0，2m+1）.再由點B和點C的坐標可知OB=OC，所以∠OBC=45°.第（3）小題，由∠ACQ＝75°得到∠ACB大于75°，將其轉化為∠ACO大于30°，再將角度取值轉化為對應三角函數值的取值，從而求得參數取值范圍.本文中重點對第（2）小題中含參角的處理進行探究.

2.1 利用角直接構造相似

思路一：鎖定∠ACO所在的△ACO為模塊，利用“一線三等角”圖形結構直接構造含∠CBD的三角形與其相似.

解法1：如圖2，過點D作DP⊥BC于點P，過點P作MN⊥x軸于點M，過點D作DN⊥MN于點N，易得△DNP∽△PMB.設點M的坐標為（n，0），則DN＝NP＝m-n，BM＝PM＝2m＋1-n.由tan∠DBC=12m+1，可得DPBP=NDPM=12m+1，由PN+MP＝DF，可得（m-n）+（2m+1-n）=（m+1）2，所以可以列出方程組m-n2m+1-n=12m+1，

（m-n）+（2m+1-n）=（m+1）2，解得m=1.

解法2：如圖3所示，過點C作CP⊥BC交直線BD于點P，過點P分別作PN⊥y軸、PM⊥x軸于點N，M，容易得到△PNC∽△COB.由tan∠DBC=12m+1，得CPBC=NPCO=CNBO=12m+1，得到點P的坐標為（1，2m＋2）.由點B，D，P三點共線，圖4得DFPM=FBMB，列出方程m2+2m+12m+2=m+12m，解得m=1.

解法3：如圖4，過點E作EP⊥BC交BD于點P，過點P分別作PN⊥DF，PM⊥x軸于點N，M，易得△PNE∽△EFB.由tan∠DBC=12m+1得PEBE=NPEF=12m+1，可得點P的坐標為m+m+12m+1，m+1+m+12m+1.根據B，P，D三點共線，可得到PMDF=MBFB，列出方程m+1+m+12m+1（m+1）2=2m+1-m+m+12m+1m+1，解得m=1.

思路二：鎖定∠CBD所在的△EDB為模塊，直接構造含∠ACO的三角形與其相似.

解法4：如圖5，在y軸取一點P，使得OP＝OA，則∠CPA=∠DEB＝135°，易得到△ACP∽△DBE，則CPBE=APDE，列出方程2m2（m+1）=2（m+1）2-（m+1），解得m=1.

思路三：依托x軸（一線）及∠CBD，利用“一線三等角”圖形結構，直接構造兩個三角形相似.

解法5：如圖6，在x軸正、負半軸各取一點M，N，使得∠CNO＝∠DMF＝∠ACO.

由tan∠ACO=12m+1，易得N（-（2m+1）2，0），M（m+（m+1）2（2m+1），0），于是根據△NCB∽△MBD，可得NBCB=DMDB，列出方程（2m+1）2+（2m+1）2（2m+1）=（m+1）2（2m+1）2+1（m+1）（m+1）2+1，解得m=1.

評析：此題在求解過程中，先拋開“函數”的外衣，借助各種圖形結構，直接利用含參角構造三角形相似，結合相似的性質構建含參方程，但所列方程的繁易程度大相徑庭.譬如，思路一中的3種解法，看似都是利用含參角直接構造“一線三等角”圖形結構，列出含參方程，從繁易程度看，顯然解法2較為簡單.巧在哪？原來在構造“一線三等角”圖形結構時最好以已知坐標的點（點C）為直角頂點作垂線.思路二則巧妙利用圖形中隱藏的135°特殊角（∠DEB），直接構造一個含∠ACO及135°角（∠APC）的三角形與△DEB相似，這也是處理角構造相似三角形的常見解法.思路三中，利用更一般的“一線三等角”圖形結構，直接構造三角形相似，思路清晰，但計算量較大，對學生的運算能力提出了較高要求.

2.2 轉化角構造相似

思路四：錨定與∠DBE相鄰的45°角（∠EBF），得到∠DBF所在的△DBF，以C為頂點，∠ACO的一邊向外構造一個45°的角，產生以下兩種方法.

解法6：如圖7，連接AE，由拋物線的對稱性易得∠AEC＝90°，易證得∠ACE=∠DBF.根據tan∠DBF=m+1及tan∠ACE=AECE=BECE=BFOF=m+1m，列出方程m+1m=m+1，解得m=1.

解法7：如圖8所示，以C為頂點，AC為邊作∠PCA＝45°，過點A作AP⊥CA交CP于點P，過點P分別作PN⊥y軸、PM⊥x軸于點N，M，易得△PMA≌△AOC，得到點P的坐標（-2m-2，1）.由tan∠DBF=m+1及tan∠PCN=PNCN=m+1m，列出方程m+1m=m+1，解得m=1.

評析：這一思路是通過原題中隱含一個45°角（∠EBF），通過角度相加把∠DBC轉化為∠DBF，鎖定Rt△DBF，構造一個與其相似的三角形.解法6借助圖中45°角（∠OCB），結合拋物線的對稱性構造Rt△ACE∽Rt△DBF，利用相似的性質構建的含參方程相對簡便，但這主要依賴于題目數據的特殊性.解法7恰好彌補了這一缺陷，先利用“一線三等角”圖形結構（Rt△ACO≌Rt△PAM），直接構造出Rt△PCN∽Rt△DBF，構建含參方程，思路清晰，運算簡便.由此看來，在轉化角的過程中，要充分借助水平或豎直的線為邊，結合“一線三等角”圖形結構，以便于用含參代數式表示相關線段，這是處理此類含參角問題的一種通性通法.

思路五：通過作平行線轉化含參角，構造“母子型”相似圖形結構，產生以下兩種方法.

解法8：如圖9，過C作CM∥BD交x軸于點M，由tan∠CMO=COOM=m+1得M2m+1m+1，0，易證△CAM∽△BAC，得AC2=AM·AB，列出方程12+（2m+1）2=2m+1m+1+1·（2m+2），解之得m=1.

解法9：如圖10，過B作BN∥AC交DF延長線于點N，則有∠FBN＝∠CAO，所以tan∠FBN=FNFB=2m+1，可得點N的坐標為（m，-（2m+1）·（m+1））.易證△BDE∽△NDB，可得BD2=DE·DN，可列出方程（m+1）2+（m+1）4=［（m+1）2-m-1］·［（m+1）2+（2m+1）·（m+1）］，解得m=1.

思路六：通過作平行線轉化含參角，利用“一線三等角”圖形結構，構建含參方程.

解法10：如圖11，過B作BP∥AC，過點D作DP⊥BD交BP于點P，過點P分別作PN⊥DF，PM⊥x軸于點N，M，易證△PND≌△DFB，得到點P的坐標為（m+（m+1）2，（m+1）2+m+1），易證△CAO∽△PBM，則COOA=PMBM，即2m+11=（m+1）2+m+1m+（m+1）2-（2m+1），解得m=1.

評析：這一思路主要借助作平行線轉化角，聯想常見的基本圖形，構造相似三角形.解法8借助圖中45°角（∠CBA），通過作BD∥CM，對∠CBD進行轉化，結合圖形的特殊性產生了一個45°角（∠ACM），利用“母子型”相似圖形結構，構建含參方程.這種構造方式主要依賴于題目中45°特殊角，而解法9就彌補了這一缺陷，通過作BN∥AC，對∠ACO進行轉化，仍舊巧秒利用“母子型”相似圖形結構，構建含參方程.解法10是通過作BP∥AC，對∠ACB進行轉化產生一個新的45°特殊角（∠DBP），借助“一線三等角”全等圖形結構得到點P的坐標，再根據相似（△CAO∽△PBM）構建含參方程.在利用平行線轉化角這一視角下，以上幾種解法所列方程看似較為復雜，但若在運算過程中會用整體的眼光觀察代數式結構特征，巧妙運用因式分解、約分等技巧，則能大大簡化運算.總之，解法9與解法10也是解決含參角問題的一種通性通法.

3 變式拓展

變式如圖12，二次函數y=-34（x+1）（x-4m）（m是常數，且m＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D.其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F.連接AC，BD.

（1）求A，B，C三點的坐標（用數字或含m的式子表示），并求tan∠OBC的值；

（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值.

設計意圖：《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在實際情境中，能夠把握研究對象的數學特征，感悟通性通法的數學原理和其中蘊含的數學思想，能夠在解決相似問題中感悟數學的通性通法［1］.通性通法是解決一類問題的基本方法，往往具有很強的通用性、普適性.在處理含參角問題的過程中，可以通過直接構造或轉化角等方式構造相似三角形，構建含參方程.原題中隱藏了45°特殊角（∠CBO，∠OCB），前文中解法6與解法9正是借助45°特殊角構造基本相似形，而此變式問題中，將∠CBO=∠OCB=45°改變為tan∠OBC=34，

特殊角消失了，這樣以上兩種解法中的輔助線顯然無法構造三角形相似，但其他解法仍舊適用，尤其解法7的構造最為簡便通用，如圖13所示.通過這種圖形一般化變式下的解法分析，可以得到處理此類含參角問題的通性通法.

4 結束語

波利亞的數學教育思想中包含這樣一個基本觀點：數學具有雙重性——數學既是演繹科學，又是歸納科學.數學解題過程中，常常以“基礎知識（概念、定理等）、基本圖形（特殊幾何模型）、基本思想方法、基本活動經驗”為立足點，自然生成解題策略.本文在處理角的過程中，從角的存在性條件出發，借助于基本活動經驗直接利用角或轉化角等方式構造“一線三等角”“母子型”相似等圖形結構，通過演繹推理自然生成多種解題思路，形成處理含參角問題的一般路徑（如圖14），歸納出解決此類問題的通性通法.

總之，在解題過程中，盡可能從基礎條件出發，借助基本圖形直觀想象，探尋解題思路，關注數學知識本質，運用演繹推理進行驗證，歸納通性通法，形成一般規律，積累和豐富數學活動經驗，提升解題能力，以達到做一題，會一類，通一片.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.