圖形變換之軸對稱中的面積、角度策略探究

摘要：軸對稱問題是初中數學中非常重要的知識點，內容非常重要，也是最近幾年的中考熱點.題目具有一定的綜合性，難度一般較大.通過對最近幾年各地區中考的研究發現，高頻考點主要是軸對稱圖形中的有關面積和角度問題，一般在幾何圖形的折疊方面出題較多.由于該類題一般為壓軸題且考查的數學基礎知識較多，因此在有關圖形變換的對稱軸題目綜合訓練中，要求學生能夠深入理解對稱軸概念、幾何圖形的特點和性質，以及有關折疊前后的變化問題等，確保學生能夠自己發現問題、分析問題，并解決問題，不斷提高學生的數學綜合能力，不斷培養學生的幾何思維能力和數學自信心.

關鍵詞：圖形變換；軸對稱；面積;角度

1 軸對稱中的面積問題

軸對稱中的面積問題，主要考查學生對軸對稱性質的理解及如何利用這一性質來求解圖形的面積.解決這類問題的基本策略為：（1）理解軸對稱圖形的性質；（2）利用軸對稱性質求面積；（3）在解題過程中，要仔細分析題目中給出的條件，確定是否可以利用軸對稱性質，同時要熟練掌握三角形、矩形、平行四邊形等基本圖形的面積計算公式，對于復雜的圖形，要善于將其分解為簡單的圖形或利用補形法來求解；（4）進行一定的強化訓練，這樣可以加深對軸對稱圖形面積求解方法的理解和掌握.

例1折紙是我國傳統的民間藝術，幸運星、紙飛機、千紙鶴、密信等折紙活動在生活中都廣為流傳，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程中還蘊含著豐富的數學知識，下面就讓我們帶著數學的眼光來探究一下有關紙片的折疊問題.

（1）折紙1：如圖1，在一張矩形紙片上任意畫一條線段AB，將紙片沿線段AB折疊（如圖2）.如果AB=4 cm，BC=5 cm，求重疊部分△ABC的面積.

（2）折線2：如圖3，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5 cm，BC=6 cm.動點M，N分別在兩腰AB，AC上（點M不與A，B重合，點N不與A，C重合），且MN∥BC.將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P.設MN的長為x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y.

①求y與x之間的函數關系式；

②試求△MNP與等腰三角形ABC重疊部分的面積的最大值，并求出此時MN的長.

解析：（1）如圖4，設點M是紙片下邊上的點，過點C作CH⊥AB于點H.

因為紙片為矩形，所以BC∥AM，故∠CBA=∠BAM.

由折疊的性質，知∠MAB=∠CAB，則∠CBA=∠CAB，所以CB=CA=5.又因為CH⊥AB，則AH=BH=12AB=2，所以CH=CA2－AH2=52－22=21，所以S△ABC=12×AB×CH=12×4×21=221（ cm2）.

（2）①如圖5，過點A作AD⊥BC于點D，交MN于點O.

由MN∥BC，知AO⊥MN，則△AMN∽△ABC，故MNBC=AOAD.由AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，得∠ADB=90°，BD=12BC=3，則AD=AB2－BD2=4，所以x6=AO4，解得AO=23x.所以S△AMN=12MN·AO=12x·23x=13x2.

當AO≤12AD，即0lt;23x≤2，亦即0lt;x≤3時，如圖5所示，△MNP與等腰三角形ABC重疊部分的面積為S△MNP=S△AMN，故y=13x2.

當3lt;xlt;6時，如圖6，有△AMN∽△ABC，△PEF∽△PMN∽△AMN，故AOAD=MNBC，EFMN=PDPO，即AO4=x6，EFx=PDAO，故AO=23x，EFx=2AO－ADAO，故EF=2x－6，OD=AD－AO=4－23x.

所以y=S四邊形MNFE=12OD5（EF+MN）=12×（2x－6+x）×4－23x=－（x－4）2+4.

故y關于x的函數關系式為

y=13x2（0lt;x≤3），

－（x－4）2+4（3lt;xlt;6）.

②當y=13x2（0lt;x≤3）時，y隨x的增大而增大，故當MN=x=3時，y最大，最大值為13×32=3；當y=－（x－4）2+4（3lt;xlt;6）時，當x=4時，y有最大值，最大值為4.

綜上所述，當x=4時，y的值最大，最大值是4，即△MNP與等腰三角形ABC重疊部分的面積的最大值為4，此時MN=4.

2 軸對稱中的角度問題

軸對稱中的角度問題，主要涉及對稱軸兩側對應角的關系及如何利用這些關系來求解角度.在解題過程中，要仔細分析題目給出的條件，確定是否可以利用軸對稱性質來求解角度，熟練掌握三角形內角和、平行線的性質等基本知識點，對于復雜的圖形，要善于將其分解為簡單的圖形或利用補形法來求解，因此在日常訓練中要不斷自我反思與總結，逐漸提高數學解題能力.

例2（2024·江蘇南通初三檢測）如圖7，直線l1：y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線l2：y=－12x+b與x軸交于點C，與直線l1交于點D，AC=7.

（1）求直線l2的解析式.

（2）點P為直線AB上的一動點，若S△PCD=67S△ACD，請求出點P的坐標.

（3）如圖8，在x軸負半軸有一點E，OE=3，將直線l2平移過點E得直線l3，連接BE，若點M為直線l3上一動點，是否存在點M，使得∠MBE=60°？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

解析：（1）易得直線l2的解析式為y=－12x+2.

（2）易得點P43，133或－83，13.

（3）存在.理由如下：

由OB=OA，得∠ABO=45°.又AC=7，則OC=4.由題知，點E（－3，0）.

在Rt△BEO中，可得BE=OE2+OB2=（3）2+32=23，則OE=12BE，所以∠EBO=30°.有設直線l3的解析式為y=－12x+m.將點E（－3，0）代入，得0=－12×（－3）+m，解得m=－32，所以直線l3的解析式為y=－12x－32.

當點M在y軸右側時，如圖9所示，作點E關于y軸的對稱點F，連接BF并延長交l3于點M，則可得點F（3，0），∠MBO=∠EBO=30°，所以∠MBE=2∠EBO=60°，符合題意.

設直線BM的函數解析式為y=kx+d，將點B，F坐標代入，可得0=3k+d，

d=3，解得k=－3，

d=3，所以直線BM的函數解析式為y=－3x+3.聯立y=－3x+3和y=－12x－32，可解得x=12+13311，y=－123+611.所以點M12+13311，－123+611.

當點M在y軸左側時，如圖10，過點B作BM∥x軸交l3于點M.

因為∠EBO=30°，所以∠BEO=60°，所以∠MBE=∠BEO=60°.

因為點B（0，3），直線l3的解析式為y=－12x－32，令3=－12x－32，解得x=－6－3，所以點M（－6－3，3）.

綜上可得，點M12+13311，－123+611或M（－6－3，3）.