例析常見的二次函數與圓綜合考查題型

【摘要】初中階段，二次函數與圓的綜合考查題型多變且重要.為提高學生應對能力，本文結合教學實際，主要介紹交點問題、圓的圓心、綜合題三種題型.

【關鍵詞】二次函數；圓；初中數學

初中階段，二次函數與圓的結合考查問題越來越多，相關問題的難點差異也較大.如較為簡單的交點、位置問題，以及較為復雜的壓軸問題.為了提高學生對相關考查題型的了解，本文結合實際問題，對常見題型進行分析，以期提高學生的解題能力.

1"交點問題

例1"已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（－2，0）、B（4，0），若以AB為直徑的圓與x軸下方拋物線有交點，則a的取值范圍是（""）

（A）a≥1/3."""""（B）agt;1/3.

（C）0lt;alt;1/3.""""（D）0lt;a≤1/3.

解析"由拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（－2，0）、B（4，0），

得4a－2b+c=016a+4b+c=0，

解得b=－2a，c=－8a，

所以y=ax2－2ax－8a=a（x－1）2－9a，

所以拋物線頂點坐標為（1，－9a），圓的直徑為AB，AB=4－（－2）=6，

所以圓的半徑為3，

以AB為直徑的圓與x軸下方拋物線有交點時，可知拋物線開口向上，

且|9a|≥3，

解得a≥1/3，其中當a=1/3時，以AB為直徑的圓與x軸下方拋物線交點有一個，

當agt;1/3時，以AB為直徑的圓與x軸下方拋物線交點有兩個，如圖1.

在求解二次方程與圓的交點問題時，首先需要分別確定二次方程和圓的方程.接著，將這兩個方程進行聯立，通過求解這個方程組，可以找到交點的坐標.最后，將求得的解代入原方程進行驗證，確保所得坐標的正確性.

2"圓的圓心

例2"平面直角坐標系中，拋物線y=－x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（B在右側），與y軸交于點C，頂點D坐標為（1，4），圓M是△ABC的外接圓，如圖2，求圓M的半徑和圓心坐標.

解析"根據題意得，拋物線解析式為y=-x2+2x+3，點A（-1，0），B（3，0），C（0，3）.

連接BC、MB，作MH⊥AB于點H，如圖3，

則AB=3－（－1）=4，OC=3，AC=√10，

BC=3√2，

所以S△ABC=1/2AB·OC=6，

設AB=c，BC=a，AC=b，圓M半徑為R，

則S△ABC=abc/4R，

所以R=abc/4S△ABC=√5，

所以MB=R=√5，

因為MH⊥AB，

所以BH=AH=1/2AB=2，

所以MH=√MB2－BH2=1，

所以M（1，1）.

在這類問題中，應當抓住題目中給出的一些特殊信息，同時往往需要結合二次函數的特殊點，添加相應的輔助線，構造出關于半徑、圓心坐標的直角三角形進行解題.

3"綜合題

例3"如圖4，過定點A（2，1）的直線y=k（x－2）+1（klt;0）交拋物線y=－x2+4x于B、C兩點（C在右側），D為拋物線頂點，如圖5，以AC為直徑作圓E，若圓E與直線y=t所截的弦長為定值，求t的值.

解析"如圖5，設圓E與直線y=t交于點G、H，設點C坐標為（a，－a2+4a），

因為E是AC中點，

所以xE－xA=xC－xE，yE－yA=yC－yE，

所以xE=1/2（xA+xC），yE=1/2（yA+yC），

所以E（1+a/2，－a2+4a+1/2），

過點E、A作x、y軸的平行線交于點F，

在Rt△AEF中，由勾股定理可得：

EA2=（1+a/2－2）2+（－a2+4a+1/2－1）2=（a/2－1）2+（－a2+4a+1/2－1）2，

過點E作PE⊥GH，垂足為P，連接EH，

所以GH=2PH，EP2=（－a2+4a+1/2－t）2，

又因為AE=EH，

所以GH2=4PH2=4（EH2－EP2）=4（EA2－EP2）

=4［（a/2－1）2+（－a2+4a+1/2－1）2

－（－a2+4a+1/2－t）2］

=4［a2/4－a+1+（－a2+4a+1/2）2－（－a2+4a+1）+1－（－a2+4a+1/2）2+t（－a2+4a+1）－t2］

=4［（5/4－t）a2+（4t－5）a+1+t－t2］，

因為GH的長為定值，

所以5/4－t=0，且4t－5=0，

所以t=5/4.

這類問題較為復雜，本題考查了定值問題，解題需要運用坐標公式、添加輔助線、勾股定理，并且包含了大量的計算，解題中需要學生靈活思考.

4"結語

綜上所述，本文總結了初中常見的二次函數與圓綜合考查題型，鼓勵學生積極總結，以提升相關知識掌握，從而靈活應對復雜問題.

參考文獻：

[1]于殿義.與圓相關的相切問題探究[J].數理天地（初中版），2023（13）：10-11.

[2]劉家良.二次函數與兩類圖形的綜合[J].數理化學習（初中版），2023（08）：39-40.