讓兒童在“一個經驗”中構建高質量的數學學習

［摘 要］“一個經驗”指學習者在與新知識相遇的過程中，形成對客觀事物的現象和外部聯系的能動認識，以及其具身接觸、認識客觀事物的完整過程。在小學數學教學中，可借鑒“一個經驗”的形成過程及機理構建高質量的數學學習，突出價值性、完整性、具身性和審美性這四個特征。

［關鍵詞］“一個經驗”；價值性；完整性；具身性；審美性

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）11-0014-04

何謂“一個經驗”？相關研究并不多見，這為我們的研究和探索提供了“創造”的空間和可能。杜威曾經打過一個類似的比方：“如果我們想象一塊向山下滾動的石頭擁有了一個經驗，就可以得到一個‘一般化’的描述。石頭從山上開始持續向山下滾，直到停止。想象是美好的：其一，整個過程是有價值的；其二，獲得了到山下的最終結果；其三，它對途中所遇到的事物，以及推動和阻礙其運動、影響其結果的因素充滿興趣；其四，它會根據運行過程中阻滯和促進其滾動的功能與感受去做事；其五，最后是終止并與之前的連續運動的積累聯系在一起……此時這塊石頭就擁有一個經驗、一個帶有審美性質的經驗。”從石頭下山的隱喻來看，“一個經驗”的學習中，“一個”不僅指知識學習的一個完整時間單位，還指知識學習的一個完整經歷。“一個經驗”是指作為學習者的人在遭遇新知識的過程中，通過感覺器官獲得有關客觀事物的現象和外部聯系的能動認識，以及其具身接觸、認識客觀事物的完整過程。“一個經驗”的形成具有多個特征，其中四個特征尤為主要，即經驗的價值性、經驗的完整性、經驗主體的具身性和過程的審美性。下面將論述如何利用“一個經驗”建構高質量的兒童數學學習。

一、“一個經驗”帶來的數學教學應具備價值性

關于價值性，學界有諸多研究。馬克斯·韋伯將理性作為研究對象，把主體行為劃分為工具的合理性與價值的合理性兩個范疇，即工具理性與價值理性。其中，“工具理性是指通過控制主體行為來使其效用最大化，其核心是行為達成的結果，而對行為本身是否有價值，則無須過多關注；價值理性強調行為本身的價值，而非所采取的手段與結果呈現”。由此觀之，數學知識也有工具理性與價值理性之分。數學學習固然要重視工具理性，但價值理性更為重要。在“一個經驗”中，價值理性應置于首位。北京教育學院季蘋教授在《教什么知識：對教學的知識論基礎的認識》一書中指出：“每一個知識都兼具事實性、概念性、方法性、價值性四個側面。沒有概念概括，客觀的事實或現象只能是經驗；沒有方法運用，概念或原理只能是詞語符號；沒有價值取向的揭示，方法只是機械的步驟。從事實到價值，理解逐層遞進，知識也就愈發有‘意義’。”若論數學的價值性，可以更多聚焦于“這個”數學知識為何誕生？沒有“這個”知識是否可行？“這個”知識對生活應用及數學自身發展有著怎樣不可替代的作用？若數學教學能在這些方面著力，學生便能體會到數學知識在“來龍去脈”和“來之不易”方面的價值意蘊。

比如，教學“負數的認識”時，可以從生活和數學兩個維度引導學生感悟負數產生的必要性。圍繞“-2、0、+2”這組數，讓學生列舉生活中對應的例子，并將這些例子呈現在數軸上（如圖1）。接著引發學生思考：“假如生活中沒有負數，你覺得可以嗎？”鼓勵學生充分感悟、大膽表達，最終形成共識：生活中不能沒有負數，若沒有負數，就無法表示與正數意義相反的量。

進而，出示題目“數學課上正在進行搶答比賽，規定答對一題加1分，答錯一題扣1分。小剛答對6題、答錯4題，小林答對3題、答錯5題，小剛和小林各得了多少分？”學生很快算出結果：小剛為6-4=2（分），小林為3-5=-2（分）。教師再利用問題“假設在數學上沒有負數，你覺得可以嗎？負數起到了什么作用？”引發學生思考。學生在計算結果面前真切感受到：不能沒有負數，沒有了負數，較小的數減較大的數就難以得出結果。此時，負數的本質逐漸清晰：在生活維度，負數可表示與正數意義相反的量；在數學維度，負數可使減法運算封閉。這樣的本質，恰恰體現了知識的價值性。教學若能著力于此，讓知識真正融入學生的知識“視界”，就能使學生產生強烈的共情心理，進而催生強大的學習力。

二、“一個經驗”帶來的數學教學應具備完整性

數學的整體性毋庸置疑。希爾伯特在1900年就指出：“數學學科是一個不可分割的有機整體，它的生命力依賴于各個部分的聯系。”數學家阿蒂亞也表明：“數學的統一性與簡單性都極其重要，因為數學的目的就是用簡單而基本的詞匯去盡可能多地解釋世界。”一個重大的數學問題通常是在實踐中提出，通過建立數學模型尋求解題方法，直至最終解決，這一過程需要不同數學分支相互聯系、滲透。

當下，小學數學教學具有嚴重的碎片化傾向，以“例題+課時”的方式應對日常教學，呈現“只見樹木，不見森林”的狀況——只關注當前教學內容，不關注知識點在單元中的位置；“砍頭去尾燒中段”——對知識的來龍去脈不聞不問。數學教學需突破“例題+課時”的模式，努力向“核心概念+單元”轉變，讓教學具有整體性。

例如，教學“分數的基本性質”時，不能拘囿于教材內容，要在合適時間內，幫助學生回溯、展望與“分數的基本性質”相關的知識，構建完整的知識結構。比如，呈現三年級下冊學生學習“分數的初步認識”時出現的典型錯誤（如圖2），明確只能填1/2而不能填2/4的根本原因是“數值相等，意義不同”；再現“商不變的規律”、展望六年級的“比的意義”，讓學生明白它們與“分數的基本性質”形式不同、原理相通；重溫“小數的意義與性質”，使學生知曉其與“分數的基本性質”特殊與一般，本質相同。以“分數的基本性質”為線索，串聯起前后關聯知識，讓學生在“同與不同”中構建系統的知識結構。

再如，新修訂的數學教材將過去的“認識假分數”內容改為“分數的意義和加減法”中的例2，把假分數教學納入“分數的意義”這一大概念之下，從“度量”角度揭示假分數概念。教師可圍繞“如圖3，如果以第1根粉彩帶為標準，第2根、第3根、第4根分別是多少根粉彩帶的長？”這一研究主線，引導學生操作、想象和思考。學生基于“第2根紫彩帶是第1根粉彩帶的長的2倍”這一已有知識，對“第3根黃彩帶、第4根綠彩帶分別是多少根粉彩帶的長”這一核心問題深度思考。學生意識到，過去“以1根粉彩帶為標準”的經驗無法解決新問題，從而對新標準進行想象與嘗試，進而感悟到“1根粉彩帶的幾分之一也可以當作標準”，由此得出：第3根黃彩帶是3/4根粉彩帶的長，第4根綠彩帶是4/3根粉彩帶的長。這樣，學生自然感受到：分數除了像以前一樣“分”出來，還可以“量”出來。課末再展現“分數與除法的關系”“分數與比的關系”，學生就會進一步感知“分數還可以算出來”“分數還可以比出來”。如此教學，分數的意義便“飽滿”且“完整”了。

三、“一個經驗”帶來的數學教學應具備具身性

有研究指出：“穿黑衣會讓球員更容易犯規，握著咖啡能讓人更加熱情……心理學前沿研究結果顯示，知識存在于行動之中，表現在身體上，蘊藏在體驗里。”偉大的觀念始終與身心體驗緊密相連，其不僅要在生活中有所運用，還應具備防止知識蛻變為惰性的特質，這或許正是教育的核心問題所在。

《義務教育課程方案（2022版）》指出，要加強課程內容與學生經驗、社會生活的聯系，強化學科內的知識整合，突出學科思想方法和探究方式的學習，加強知行合一、學思結合，在“做中學”“用中學”“創中學”與“合作中學”的真實情境中培養學生綜合運用知識解決問題的能力。然而，在實際教學中，教對學的遮蔽、知與識的割裂等現象依然存在。在這種教學模式下，學習者未能經歷知識的建構過程，更像是旁觀者，僅看到作為結果的知識。荷蘭著名教育家弗賴登塔爾認為，數學學習最正確的方法是“再創造”。“再創造”意味著學生具身經歷知識的探究、發現與遷移過程，并通過這一路徑生成、豐富數學學科學習的主體性經驗。

以教學五年級“圓的認識”一課為例，教師先讓學生用圓規在紙上畫圓，接著引導學生用剪刀將圓剪下，最后讓學生摸一摸、折一折圓形紙片，并說一說有哪些感受。這一系列“行為學”操作極具教育價值：學生經歷了圓的形成過程，感受到圓是平面上的曲線圖形，明確了定點表示圓心、定長表示半徑，體悟到半徑有無數條且都相等，以及直徑也有無數條且都相等。在練習階段，教師給學生提供一個殘缺且看不到圓心的圓片，讓學生想辦法找出圓心位置。此時，學生思維活躍，在充分動手操作與思考后，想出多種方案：把紙片對折再對折，折痕相交處即圓心；在圓上任意找兩點，將其連接成線段，作出該線段的垂直平分線，延長平分線與圓相交會得到兩個交點，交點間的線段就是直徑；用直尺在圓中量長度，找到最長線段，即直徑，取直徑中間點就是圓心。

在真實、復雜的問題情境中，讓學生親身經歷、具身探索，他們才有可能獲得主體學習經驗。因此，學生只有以主體角色參與知識的發生、生成與延展過程，他們的學習經驗才能蓬勃生長。

四、“一個經驗”帶來的數學教學應該具備審美性

“一個經驗”具有情感性與內隱性，審美的經驗只是一種情感強化且集中的“一個經驗”。知識與情感“雙輪驅動”理論表明，情感宛如串起珍珠的絲線，將學習過程中諸多如“珍珠般”的經驗連接起來。正是由于情感的存在，教學才具備審美性，并與知識統一為“一個經驗”。情感對于經驗而言，是一種具有聚合力量的“黏合劑”，對“一個經驗”的形成起著不可替代的作用，能使散亂無序的經驗逐漸趨于完滿。在“一個經驗”形成過程中，與情感相伴而生的感受便是審美。

在數學教學中，“一個經驗”的教學既蘊含知識本身完整的結構之美，也包含伴隨或催生知識所產生的學習興趣、學習意志及學習情感所帶來的意義之美。“量角器誕生記”一課的教學，堪稱“經驗與審美相伴而生”的典范。首先，教師展示兩個角∠1和∠2（如圖4-1），讓學生猜猜，哪個角大？大多少？在解決大多少的問題時，教師出示若干個10°的木制小角學具，讓學生用這些小角比較兩個角的大小，從而得出“∠2用了4個小角，∠1用了3個小角”（如圖4-2），初步顯現角的度量屬性。在“能不能想個辦法，既保留它的準確性，又改變它操作麻煩的缺點呢？”這一問題的驅動下，學生提出“把小角拼起來”“用膠帶把小角粘起來”等樸素想法，教師順勢呈現18個小角動態拼成一個半圓的過程（量角器的初始形態）。隨后，讓學生用18等分的量角器雛形量出圖中（如圖4-3）各角的大小。在學生得出“∠3有4個小角，∠4有12個小角，∠5有5個小角多一點”后，教師追問：“多出的這一點到底是多少？如果我們一定要知道到底是多少，有什么辦法？”引導學生改造原先量角器的雛形，得到“把每個小角再分成10個小小角”的方法。如此，一個半圓等分為180個小角的量角器便形成了。最后，讓學生用現有的“量角器”度量某個角的度數。學生感覺從右邊數很麻煩，產生“要是能從圖中直接讀出來就好了”的心理需求。教師乘機呈現外圈刻度線，并依次順向標上刻度，一個完整的量角器就此誕生。

數學，若將其裝扮起來，就是一位光芒四射的“科學女王”。然而，如果在數學學習中只關注邏輯、公式、定律、公理，那么這位“科學女王”就會變成光學儀器下的骨架。在上述教學中，出現了“量角器為什么會有若干個角？”“為什么分那么細的角？”“為什么要做成半圓形的？”“為什么要有內圈和外圈兩圈的刻度？”這些“本原性”問題的追問，讓學生深刻感受到數學探索過程中的執著與堅持、論證過程中的務實與嚴謹、創造過程中的開拓與超越等情感要素。這些感受即為審美經驗，或者說是“一個經驗”審美性的重要組成部分。由此可見，“一個經驗”是“行”與“愛”的完美統一。正是這種“行”與“愛”的完美統一，使教學不再將功利性、碎片化的知識結果作為學習的唯一追求。教學既要給予學生整體性結構化的知識，或者說基于知識內容的完整經驗，又要關注學習本體在學習過程中所獲得的積極心理傾向。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 楊九俊，王彥明，劉瑋.新課堂“怎么辦”［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2024：213-219.

[2] 占夢君，謝莉花.超越工具理性：職普融通的價值維度、目標向度與推進策略［J］.教育與職業，2024（10）：15-22.

（責編" " 金" " 鈴）