聚焦尺規作圖 發展核心素養

［摘 要］尺規作圖是學生“做中學”的重要體現，它能夠使抽象概念可視化，邏輯思維外顯化。文章在引導學生了解周長本質、尺規作圖的價值以及注意事項的基礎上，通過多元操作，初步感知周長；尺規作圖，深入理解周長；化曲為直，感悟數學思想這三個方面，幫助學生理解概念本質，發展幾何直觀和推理意識。

［關鍵詞］尺規作圖；幾何直觀；推理意識

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）11-0088-03

圖形與幾何是義務教育階段學生數學學習的重要領域，“圖形的認識與測量”是該領域的主題之一。“認識周長”一課旨在幫助學生直觀理解周長的本質，提升自主探究的能力，發展核心素養。

一、課前慎思

（一）周長的本質

周長是指圍繞有限面積的區域邊緣一周的長度，其中一周是前提，長度是本質，是對一維空間的度量。為強化學生對周長的理解，教師應引導學生經歷“感知—抽象—概括—鞏固”的概念學習過程。學生通過對感性材料的觀察、觸摸、操作等活動，建立清晰的表象。比如，利用直尺和圓規將三角形的三邊畫到一條直線，直觀感受三角形的周長，再通過測量和計算三邊的長度之和，感悟周長的本質。可見，周長是一個數形結合的數量概念，因此，“認識周長”的大概念可以提取為：周長是封閉圖形特有的，是圖形邊緣線的長度，具有可加性。

（二）尺規作圖的理論與實踐要點

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）關于“圖形的認識與測量”的教學提示指出，圖形的周長教學可以借助用直尺和圓規作圖的方法，引導學生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性，理解三角形的周長，歸納出長方形和正方形周長的計算公式。對此，在實際教學中，應明確以下概念。

1.尺規作圖的內涵

“尺”是沒有刻度的直尺，主要用來畫直線、射線、線段；“規”指圓規，可以用來截取相同的長度或畫弧。因此，尺規作圖是指用無刻度直尺和圓規進行作圖。

2.尺規作圖的教育價值

（1）體現數學的嚴謹性

將三角形的三條邊“搬”到同一條直線上時，有學生想到了張開手指比畫，但在這過程中，手指會不由自主地動，結果就不準確了。而用圓規進行操作，學生會感悟到只要圓規張開的角不變，移動過程中線段的長度就不變。

（2）促進學生感悟知識本質

周長是封閉圖形一周邊線的長，其本質是長度，長度是一維的線的屬性，而幾何圖形是二維的面。雖然在教學中，教師都會讓學生在物體的表面或平面圖形上指一指、描一描其一周的邊線，但這時的動作表象仍未脫離二維的面。讓學生用圓規將三角形三條邊依次首尾相接，畫到一條直線上。學生會發現：線段是可以累加的，雖然三角形邊的位置變了，但對應的長度沒有變。由此，學生體會了運動的不變性，從而通過測量線段的長度得到周長，感悟周長的本質。

（3）發展學生的核心素養

尺規作圖對發展學生的核心素養的作用主要表現在幾何直觀和推理意識。利用尺規把幾何圖形的一周邊線從二維的面上剝離，得到一條線段，讓學生直觀感受周長就是幾條線段構成的長度總和，將抽象問題具象化，將思維結果圖示化。緊接著，教師應抓住契機，及時追問：為什么這條線段的長就是三角形的周長？引導學生結合作圖軌跡分析、思考和說理，培養學生有條理、有根據地表達，初步感悟邏輯推理的內涵，幫助學生從具體操作向抽象推理的進階。

3.尺規作圖教學注意事項

尺規作圖在小學階段是一個全新的內容，學生在操作時很容易遇到困難，此時不能讓學生跟著教師的示范亦步亦趨地模仿，這樣就失去了尺規作圖的育人價值。教師可以在教材編排的教學內容基礎上新增“和尺規做朋友”教學內容，幫助學生認識圓規的組成、使用方法，學會運用尺規畫指定長度的線段，設計自己喜歡的圖形等。在教學過程中，教師要大膽放手，讓學生多一點探索與嘗試，多一點想象與體驗，多一點反思與感悟，這樣才能多一點創造與驚喜。

尺規作圖為學生提供了“做中學、悟中創”的實踐機會。在學生第一次利用尺規作圖時，教師要引導他們構思作圖想法，明確作圖過程，留下作圖痕跡，在直觀操作與抽象想法間建立聯系，以便學生借助直觀圖示進行表達、交流與說理。

二、課堂實踐

（一）多元操作，感悟概念本質

（教師用多媒體出示“周”字甲骨文）

師：同學們認識這個字嗎？想象一下，它像什么？

生1：我覺得這個字是“周”，因為它像幾塊農田一周的邊線。

師：“一周的邊線”這個描述很好。我們的祖先通過觀察生活發明這個甲骨文，經歷演變，就成了現在的“周”字。

師：數學書封面一周的邊線在哪里呢？你能指一指嗎？

（學生上臺指，邊指邊說）

師：幾位同學的指法有什么相同和不同的地方？

生2：我發現他們指的起點不同，方向也不同。

生3：我發現他們都是從一點開始沿著數學書封面的邊線繞了一周又回到了起點。

師：你能再指一指課桌面一周的邊線嗎？

（同桌互指）

師：今天老師給同學們帶來了兩張書簽，你們能描出他們的一周邊線嗎？

（出示兩張書簽：一張是長方形，一張是心形）

師：比較這兩張書簽一周的邊線，有什么不同？

生4：第一張書簽的邊線是直的，第二張書簽的邊線是彎的。

師：真有數學眼光?，F在褪去他們生活的外衣，這些都是什么圖形？

生5：平面圖形。

師：像這樣，圖形一周邊線的長叫作它的周長，例如書簽一周邊線的長是書簽的周長。你能像這樣再來說一說其他圖形的周長嗎？

生6：長方形一周邊線的長是長方形的周長。

生7：課本封面一周邊線的長是課本封面的周長。

生8：圓形一周邊線的長是圓的周長。

師：雖然這些物體不同，但它們的一周邊線的長度就是它們的周長。

【設計意圖】“一周邊線”是認識周長的前提，它依附于面，而面的二維屬性增加了學生理解周長概念的難度。如何突破難點？《課程標準》要求結合實例認識周長。本環節，教師借助數學書、課桌、書簽等學生熟悉的物體，引導學生通過指一指、描一描、比一比、說一說等一系列活動，深切體會一周邊線，繼而揭示周長概念，從具體到抽象再回到具體，幫助學生逐步直觀認識周長。

（二）課程導入，引入尺規作圖

（課件出示圖形：角）

師：這是我們以前認識的圖形朋友，它有周長嗎？

生1：它沒有周長。

師：為什么？

生2：它的邊線沒有連在一起，不是封閉圖形。

師：那我們把它變成封閉圖形。

（多媒體展示）

師：現在成了我們熟悉的什么圖形？

生3：三角形。

師：我們把三角形的三個頂點分別記作A、B、C。三角形ABC的周長到底是多少呢？你打算怎么量出它的周長？

生4：我用直尺分別量出三角形三條邊的長度，再加在一起，就是三角形的周長了。

師：也就是量三次再相加。如果只量一次，你有什么好辦法嗎？先思考再動手試一試。

生5：我是這樣用手比畫，分別將三角形的三條邊移到一條直線上，然后再測量。

師：大家覺得這個辦法怎么樣？

生6：用手比畫的過程中，手很容易抖動，這樣就不準了。

師：你還有什么辦法把三角形三條邊也搬到一條直線上嗎？

生7：用圓規。

師：我們課前已經和圓規交了朋友，現在就請它來幫幫忙吧。

【設計意圖：本環節包含兩個主要活動。首先，通過將角變成三角形，強化學生對周長是封閉圖形才具有的屬性的認識。其次，讓學生探究測量三角形周長的方法，以此引出尺規作圖的需求?！?/p>

（三）實際操作，探究周長本質

生1：我先用直尺畫一條直線，在直線上選一點作為起點A，然后用圓規分別把三角形的AB，BC，CA邊“搬”到直線上。

生2：要注意的是，將這三條線段畫在同一條直線上時，這三條線段不能重疊，要順次連接。

師：好的，根據同學們的描述，我們用圓規畫出了這樣的線段。

（出示同一條直線上的三條線段AB、BC、CA1）

師：三角形ABC的周長指的就是這條直線上哪條線段的長度呢？

生3：線段AA1的長度。

師：為什么？請說說你們的理由？

生4：線段AB是三角形AB邊的長度，線段BC是三角形BC邊的長度，線段CA1是三角形CA邊的長度，把它們連接在一起是線段AA1，正好是三角形ABC一周邊線的長度。

【設計意圖：在本環節借助直尺和圓規進行作圖，引導學生自主探索三角形的周長，感知線段長度的可加性。】

（四）化曲為直，感悟數學思想

師：剛才通過我們的好朋友直尺和圓規的幫助，將三角形的一周邊線轉化成了一條線段，從而測得三角形的周長。現在你能測量這個心形書簽的周長嗎？

生1：心形書簽的一周邊線是彎曲的，圓規沒有辦法直接截取它邊的長度。

師：那可怎么辦呢？

（學生思考）

生2：根據剛才用直尺和圓規作圖的經驗，我們可以想辦法把心形書簽的一周邊線放到一條直線上。

師：這個想法很好，怎么做呢？請同學們利用手中的工具動手試一試吧。

（學生動手操作）

生3：我用軟尺圍繞心形書簽一圈，然后拉直。

生4：我先在一根線上做一個標記作為起點，然后繞著書簽圍一周，再做個標記，拉直，再用直尺測量這根線兩個標記間的長度。

生5：我發現這個書簽有一圈邊框，我將邊框慢慢撕下來，然后展開鋪平，再測量這個邊框的長度。

師：大家想一想這些方法有什么相同的地方？

生6：都將心形書簽一周彎曲的邊線變成了一條直的線段。

師：你觀察得真仔細，這在數學上我們把這種方法叫作“化曲為直”。

【設計意圖】在生活中，物體或圖形的輪廓并非總是直線，也有彎曲的，而曲線相較于直線而言，其復雜性更高，處理起來也更為困難。教師引導學生借助工具，結合對周長本質的理解，通過巧妙的轉化，將一周彎曲的線轉化為一條直的線段，從而解決問題。這一過程不僅展現了數學的靈活性，同時也揭示了思維的深刻性。

三、課后反思

（一）概念可視化，凸顯幾何直觀

概念可視化是指將抽象的概念轉化為易于理解的、直觀的圖形、圖像或其他的表現形式。周長是指封閉圖形一周邊線的長度，一周邊線是依附于面而存在的，觀察物體時直接映入眼簾的是面，因此，借助尺規作圖，將三角形的一周邊線從面上分離是教學的重點。通過探究，學生理解將三角形的各邊依次首尾相接，形成一條線段，線段的長度就是三角形的周長。由此，抽象的周長概念得到直觀具體的呈現。

（二）思維外顯化，發展推理意識

尺規作圖的過程本質上是一個嚴謹的推理過程，學生需要根據定義、公設和公理進行作圖，每一步都需要有明確的依據，這種嚴謹推理的過程有助于培養學生的邏輯推理能力。

總之，通過尺規作圖不僅能夠幫助學生直觀地理解和掌握周長的概念，還能促進學生思維能力和幾何素養的提升。

［ 參 考 文 獻 ］

[1]" " 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]" " 沈重予，王林.小學數學內容分析與教學指導[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.

【本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃2023年度立項課題“數學大概念下小學數學單元整體教學案例研究”（項目編號：C/2023/03/17）的階段性研究成果?！?/p>

（責編" " 梁桂廣）