發展學生幾何推理能力的策略探究

［摘 要］文章以“平行四邊形的面積”一課為例，通過“探”“驗”“展”“思”四個策略進行教學重構與實踐，使學生探索平行四邊形的轉化過程，從直觀感知到抽象理解，深刻把握平行四邊形與長方形的聯系，關注平行四邊形的底和高的對應關系，自主構建平面圖形的知識體系。

［關鍵詞］平行四邊形的面積；幾何推理能力；策略

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）11-0079-03

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾說：“數學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經過親身體驗是學不會的。”在“平行四邊形的面積”教學中，教師應確保學生有充分的時間去經歷過程，在操作活動中建立面積公式模型，為學習其他平面圖形的面積公式積累數學活動經驗。

一、“探”基礎圖形：實現推理過程的進階性

（一）“探”幾何框架

小學階段的幾何知識非常多，這些知識分布在各年級教材中，因此要對幾何知識進行梳理，建立幾何知識框架。在學習某一圖形時，學生必須熟悉該圖形的知識前沿和延展，這樣才能使學習過程具有系統性、連貫性。例如，在本節課有以下環節。

師：課前，我讓同學們嘗試求一個平行四邊形的面積，同學們用了不同的方法（如圖1），讓我們來看一看。

生1：第一種方法是先將平行四邊沿一條線剪開，再將得到的三角形移到左邊，拼成一個長方形。

師：這條線是任意的嗎？

生2：不是，要沿著高剪開，因為長方形的四個角都是直角，只有沿著高剪開，才會有直角。

生3：第二種方法是沿著平行四邊形的高剪開，分成2個直角梯形，再拼成一個長方形。

師：兩種方法都把平行四邊形轉化成長方形來求解，轉化成的長方形和原來的平行四邊形有什么聯系？

生4：它們的面積相等，長方形的長相當于平行四邊形的底，長方形的寬相當于平行四邊形的高。因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

在求解平行四邊形面積的過程中，學生初步建立平行四邊形和長方形之間的聯系，構建幾何知識框架。

（二）“探”幾何語言

幾何語言是描述圖形的位置、大小及作圖過程所使用的術語和符號，幾何語言使用的關鍵是建立圖形語言與其他語言之間的關系，將抽象轉化為具象，讓圖形“說話”，化難為易。

例如，在教學“平行與垂直”時，如果僅用文字語言描述往往顯得煩瑣，因此將文字語言轉化為幾何語言，用符號“⊥”表示垂直，用符號“∥”表示平行更簡潔易懂。

（三）“探”幾何方法

直觀理解數學的有效途徑之一是借助幾何圖形。因為幾何圖形能夠將復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于學生尋找解題思路。例如以下教學環節。

師：怎么運用平行四邊形面積公式呢？我們一起來看看下面這道題（如圖2）吧。

生1：平行四邊形的底是4 cm，高是2 cm，它的面積=4×2=8（cm2）。

師：為什么不是“4×3”呢？

生2：3 cm不是4 cm（底邊）對應的高，而是它的鄰邊。

確定平行四邊形的底及其對應的高是計算平行四邊形面積的關鍵。題目通過出示圖形，讓學生直觀認識平行四邊形的底和高，從而加深對平行四邊形特征的理解。

二、“驗”幾何思維：實現推理思維可視化

幾何思維是一種從直覺和形象出發思考和解決問題的方式，是幾何學中非常重要的思維。然而，幾何思維通常具有抽象性，不易直觀展現。因此，探索一種能夠將幾何思維具象化的方法顯得尤為重要。

（一）“驗”圖形轉化，拓寬思維空間

圖形轉化的過程要求具備一定的思維能力，而培養思維能力恰是數學學習的核心目標之一。作為思維訓練的一種方式，圖形轉化可以幫助學生培養自主思考、觀察問題、解決問題的能力，提高他們的邏輯思維和創造力。以教材編排的例題（如圖3）為例。

看似簡單的問題，實則能夠激發學生的思維。學生不僅要從形狀上去思考，還要觀察圖形某部分的位置變化，更要去尋找圖形變化前后的聯系，整個過程都是對思維的挑戰。

（二）“驗”條件轉化，打破思維定式

本節課的教學實踐中，教師出示如圖4所示的題目，讓學生建立已有知識與新知識的聯系，掌握條件轉化的方法。

條件轉化的過程旨在引導學生將已掌握的條件轉變為新知識所必需的條件，以便在探索過程中提高學習效率。在這一過程中，學生需要充分調動自己的知識儲備，靈活運用所學知識，將看似無關的條件巧妙地串聯起來，形成解決問題的關鍵線索。學生掌握條件轉化的技巧，學會從不同角度、不同層面去審視問題，從而打破思維定式，培養靈活多變的思維方式。

（三）“驗”方法深化，滲透數學思想

通過圖形轉化的探究，學生初步建立了平行四邊形的面積公式模型，然而，這種理解尚屬表層，學生還需要通過求有多組數據的平行四邊形的面積來深化理解。比如，選擇對應的數據進行計算，并帶著驗證任務去操作，明確活動目的和方向，讓學生由“感”到“悟”，再到”會”，進入到思考、探究、交流中，體驗到學習成功的喜悅。

通過這樣有目的、有方向的驗證操作，學生提升了對結論的理解，這對他們未來的學習具有重要作用。在后續學習中，學生能夠運用這種經驗進行實際操作，帶著目的探究。

三、“展”思維可視化：實現推理歷程的深度感

思維可視化是指運用一系列方法把本來不可視的思維過程具體化、形象化。在本節課的教學中，教師通過不同方法，將學生的數學思維可視化。

（一）“展”學情，激發探究欲望

對于平行四邊形的面積，學生了解多少？學生如何基于長方形的面積計算方法進行思考？針對這些問題，教師設計了關于平行四邊形面積的學情前測卷，并對本校四個班的學生反饋的前測卷進行了整理、分析（見表1）。

從表1來看，大部分學生對平行四邊形的面積公式有所了解，然而對其計算原理缺乏深入的認識。因此，課堂伊始，教師設計了這樣的引導環節：“通過前測，同學們已經知道了平行四邊形的面積公式，由你們來講為什么可以這么算。”

看似簡單的導入，其實是將傳統教學的“怎么樣”變成了“為什么”，以此激發學生的探究欲望。

（二）“展”活動流程，內容直觀有序

有些問題要讓學生動手操作，使思考過程具象化，直觀地體驗操作的優勢，才能理解問題的關鍵。例如，在本節課教學中，教師設計如下環節。

師（出示圖5）：這些平行四邊形的面積分別是多少？

生1：都是30 cm2。

師：你是怎么想的？

生1：它們的底都是6 cm，高都是5 cm。

師：教師拿出三個對應的平行四邊形，讓學生直觀操作比較，得到它們的底相等，高也相等。

此環節圖文結合，不僅可以明確數據的特點，還能讓學生直觀感知“同底等高的平行四邊形，其面積相等”這一特征。

（三）“展”觀察記錄，凸顯難點細節

了解學生對課堂知識點記憶情況的重要方式之一是課堂活動記錄。那么，如何進行小學數學課堂觀察記錄呢？

教師在明確所要觀察的內容和重點后便可以動手制作觀察記錄表。例如，在拉動長方形框而形成的多個平行四邊形中，引導學生利用觀察記錄表記錄拉動前后圖形的面積大小，記錄學生經歷解決問題的過程。學生在拉動長方形框的過程中，不僅明白面積變小是因為高變小了，還會通過數據直接展現面積變小的原因。

四、“思”評價方式：實現推理到經驗的蛻變

評價是指在判斷的過程中對某種事物下結論。對學生學習效果的評價講究客觀、科學，需要從評價維度、評價主體等多方面考慮，設計不同的評價表。

（一）“思”評價維度是否多元

學生在不同領域的表現、對不同技能的掌握程度存在差異。在課堂學習評價中，展開多維度的評價，能幫助學生找到學習的價值，能在不同維度的評價中看到自己的優勢和不足。教師可從“知識與技能”“過程與方法”“情感態度與價值觀”三個評價維度設計評價表（見表2）。

（二）“思”評價主體是否多樣

評價的主體可以是學生自己，也可以是教師或家長。教師評價較為客觀公正，并且具備一定的權威性，可促進學生提高學習能力；學生互評，可在比較中看到學生自己和他人的優缺點，在評價中實現反思能力的增長。評價主體的多樣化能讓學生在活動中實現有效參與，主人翁的學習意識進一步增強。教師可從多種評價主體設計評價表（見表3）。

在課堂學習中，多元的評價維度、評價主體，既能實現多樣性評價，全面掌握學生的課堂學習情況，又能深入分析學生對于學習目標的達成程度，使得教師可以在后續教學活動中進行針對性的調整和優化，進而促進學生在學習實踐中提升數學素養。

綜上所述，基于教學重構的實踐過程，學生將經歷多層次的具身操作；通過認知沖突與思考碰撞，經歷“探”基礎圖形、“驗”幾何思維、“展”思維可視化、“思”評價方式四個過程，學生將積累豐富的數學活動經驗，從而發展自身的幾何推理能力。

［ 參 考 文 獻 ］

[1]" " 曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]" " 羅永軍.長方形面積計算教學研究[M].上海：上海教育出版社，2013.

[3]" " 郜舒竹.“平行四邊形面積”之難[J].教學月刊小學版（數學），2020（Z1）：4-7.

[4]" " 宋煜陽.“面積公式推導”教學序列思考與實踐[J].教學月刊小學版（數學），2019（4）：8-11.

[5]" " 方巧娟.應用推廣與關系梳理：平行四邊形面積公式探索[J].教學月刊小學版（數學），2019（4）：18-20.

（責編" " 黃" " 露）