“多元”聚合 重構運算模型

［摘 要］模型意識的構建與發展對小學生的數學學習和思維發展具有重要意義。同分母分數加、減法上承整數加、減法和小數加、減法，下啟異分母分數加、減法，就內容而言并不復雜。教學目標不能簡單定義為理解算理、掌握算法，而應在此基礎上將整數、小數、分數的加、減法進行深入勾連，在整體化、結構化教學前提下重構運算模型，體現加減運算的一致性，發展學生的模型意識，培養學生的核心素養。

［關鍵詞］整體化；結構化；一致性；重構運算模型

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）11-0052-04

《義務教育數學課程標準（2022版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，為實現核心素養導向的教學目標，要整體把握教學內容之間的關聯，注重教學內容的結構化，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。同時，《課程標準》還指出，對小學階段“數與運算”主題，要幫助學生理解整數、小數、分數基于計數單位表達的一致性。整數、小數、分數都是對有多少個計數單位的表達，而數的運算本質是計數單位的分與合。基于此，筆者以人教版教材五年級下冊第六單元“分數的加法和減法”中“同分母分數加、減法”一課為例，談如何從整體化、結構化、一致性等多元視角培養學生的模型意識，重構統一的運算模型。

一、運用多元化視角，溝通模型的意義，落實“四能”培養

【教學片段一】

出示教材例1情境圖（如圖1），并給出描述：

【教學策略】

《課程標準》指出，課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調使學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱“四基”），發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態度和價值觀。

由此可以看到，在培養學生的模型意識、發展學生核心素養的過程中，需要讓學生獲得“四基”、發展“四能”。那么，教師關注學生從生活情境中發現問題、提出問題和解決的能力就顯得尤為重要。

因此，筆者在呈現教材情境時沒有直接完整出示條件和問題，而是讓學生在具體情境中以多元化的視角經歷尋找信息、分析信息、提出問題、列式計算的過程，從而讓學生理解分數加減法的意義和整數加減法的意義相同，為進一步建構整數與分數加減運算的模型提供意義支撐。整個教學環節包括自主探究、交流匯報，使學生豐富了體驗、積累了經驗，同時凸顯了整數與分數計算教學之間的聯系，初步構建整數加減法和分數加減法在意義上的一致性，構建在意義支撐下的運算模型。

二、運用多元化表征，詮釋模型的本質，落實素養發展

（一）運用數、形、義多元結合，理解算理，豐富模型內涵

借助問題清單，運用多元化表征，讓學生在具體的活動中借助圓、正方形、線段等直觀圖揭示同分母分數加、減法的算理，借助數形結合的直觀表達擺脫對形的依賴，用分數單位來解釋算理，深入理解分數加減運算模型的本質。

對于簡單的同分母分數加法，教師可以大膽地讓學生展示他們已經掌握的方法，將目光聚焦到“為什么這樣算”的算理探究上，給予學生足夠的時間和空間去表達，并借助圓、正方形、線段等直觀圖和說一說、寫一寫等方式，讓學生在多元表征的支撐下理解同分母分數加、減法的算理，理解運算模型的本質。

教學時要緊扣關鍵問題“變與不變”，即“分母為什么不變”“分子相加代表著什么”“同分母分數相加，相同的是什么”等問題，抽象出“分數單位相同，只要把分數單位的個數相加”這一加法運算的本質，讓學生在數與形的雙重驗證下理解“變與不變”的本質含義，實現由形到義，再由義到形的多元互證，從而理解分數加法的算理，豐富模型的內涵。

（二）由模型變式到內涵統一，發展學生的推理意識

從分數加法到分數減法，計算模型發生了一定的形變，但模型的本質內涵依然是統一的，并沒有發生根本性的變化。正是基于這一點，筆者在教學同分母分數減法時并沒有重走教學同分母分數加法的老路子，而是基于學生已有的認知基礎，讓學生擺脫對形的依賴，借用分數的意義展開推理，做到“知其然更知其所以然”，有效發展推理意識。

三、運用多元化表達，解 “形”立“義”，重構運算模型

【教學片段三】

（一）整合模型，聯系整數、小數和分數的加減運算

在以往的教學中，教師建立模型后就讓學生應用模型解決問題，忽視了重要的一步——將同類模型進行整合，從整體化、結構化、一致性等多元視角對模型進行再認識，再建構。對比教材中呈現的整數、小數和分數加減法的探究過程，可以發現整數、小數以及分數加減法的算理都是基于計數單位和個數建立的，不同的是它們在計算模型上有著很大的差別。教師需要從運算的一致性角度對運算模型進行結構化整合，促使學生通過多元化視角對多個不同模型進行全面理解，從而構建一個統一的加減運算模型，解決學生認知上的難點。

在所有的加減運算中，分數加減法尤為特殊，因為它不像整數、小數那樣有統一的豎式模型。除了分數的特殊表現形式，造成這一情況的原因還在于分數的計數單位不像整數與小數那樣有統一的“十進制”體系，使得分數不容易建立與整數、小數相同的豎式計算方式。但這并不妨礙學生通過自己的理解在一定的范圍內建立分數加減法的豎式計算模型，并構建分數加減法與整數、小數加減法之間的聯系。

（二）構建分數加減法豎式，達成“形”的一致性

從整數到小數，加減法運算都有統一的豎式，分數加減法卻沒有豎式，這是為什么？筆者猜想學生的心中也會有同樣的困惑。本著從學情出發的原則，筆者在教學中讓學生嘗試著列一列分數加減法豎式，沒想到學生還真列出來了，他們將原有的分數進行轉動、調整、補充，形成了與整數、小數加減法相統一的豎式計算模型（如圖6）。

這樣一個小小的形狀改變就能將分數豎式清晰地表達出來。此時教師只需將分數豎式與整數、小數豎式進行對比整合，借助多元化視角明確分數加減法與整數、小數加減法的相同點與不同點，從而直觀地從“形”上統一分數、整數、小數的加減法，構建加減運算在形上的一致性。

（三）借助豎式對比關聯，構建“義”的一致性

有了分數豎式的加持，學生就有了具體直觀的對比參照物。通過對比不難發現，“3+1”就是分數單位個數的相加，而[18]是計數單位，就像整數與小數中的個、十、百、千、十分之一、百分之一等計數單位一樣。因為計數單位不變，所以分母中的“8”不需要改變，如此便完成了整數、分數、小數加減法在意義上的統一，即相同計數單位個數的累加或相減。從本質意義上理解并構建加減運算的一致性，為學生后續學習異分母分數加減法等知識積累了學習經驗，構建了基本模型支撐，真正實現教學內容的整體化、結構化，在多元化視角的融合下幫助學生建立體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化、多元化數學知識體系。

總之，從最初的建立整數加減運算模型到小數加減運算的模型拓展變式，再到同分母分數加減運算時的模型突變，在整個加減運算的過程中完成了建模、變模、破模的一系列模型構建過程。特別是本課通過溝通整數、小數、同分母分數加減運算之間的關系，將整數、小數、同分母分數加減運算模型從“形”與“義”兩個方面進行了整體化、結構化的統一構建，幫助學生深入理解了加減運算模型的意義，體現了計算教學的系統化、結構化和一致性。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 查云全.“雙減”背景下小學數學落實核心素養有效性作業設計[J].云南教育（小學教師），2023（9）：39-40.

[2] 劉青燕.“雙減”背景下小學數學體驗式“小作業”設計[J].新課程研究，2023（22）：85-87，91.

[3] 趙莉.小學數學數的概念一致性與運算一致性研究[D].長春：東北師范大學，2023.

[4] 潘曉杰，姜麗麗.計算教學引導學生理解算理的必要性[J].內蒙古教育，2023（6）：57-63.

（責編 楊偲培）