固體力學工程導向型“三步走”教學探索

摘要 傳統力學課程的教學主要依賴課堂講授和習題練習，存在學生參與度有限、理論與實際應用聯系不夠緊密等問題，落后于新時代教育的發展。為了提高固體力學導論課程的教學效果，更好地幫助學生理解固體力學的基本概念、基本研究思想和基本理論，夯實基礎知識，文章提出了以工程導向型教學為理念，強化工程思維的固體力學導論課程改革方案。以接觸力學部分的講授內容為例，首先通過理論教學建立知識體系；其次通過典型例題講解，培養學生分析問題、解決問題的能力；最后拓展工程案例，在工程應用中檢驗學生的學習效果。希望通過這種“三步走”的教學方法可以促進學生全面發展，提高人才培養質量。

關鍵詞 固體力學導論；工程導向；教學方法；接觸力學

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2025.07.019

固體力學主要研究運動、力與固體變形行為，是諸多學科和應用領域的核心研究內容。固體力學導論課程主要面向工科專業的碩士和博士研究生，內容包含固體力學的基本概念、基本理論和分析方法，可為航天航空、化工、土木工程、機械工程、力學、應用數學與物理學等專業的學生在結構設計、材料選擇、安全評估方面提供科研所需的基本知識和信息來源，為后續更深入的研究奠定基礎[1]。

傳統力學課程的教學方法以課堂講授和習題練習為主[2]，這種教學方法雖然有助于學生系統地學習理論知識，但也存在一些不足：①學生參與度有限。固體力學導論課程內容眾多、知識點繁雜，教師單向講授的模式不利于激發學生的學習興趣，學生容易出現注意力不集中、學習積極性不高的情況。②理論與應用聯系不夠緊密。傳統固體力學研究的問題較為抽象，課堂講授的內容與實際工程應用差異較大，學生對學習內容體會不深。為了克服上述不足并優化教學效果，可以對傳統教學方法進行適當調整，以提升學習效率為目標，在教學過程中確立學生的主體地位，在保證學生掌握學習內容的同時，全方位提高學生的思考能力與應用能力。

工程導向型教學是一種基于問題和實際應用的教學理念[3-4]，與固體力學導論課程“將理論應用于工程”的教學目標相符合。本文基于工程導向型教學理念，以固體力學導論課程中接觸力學部分的教學探索為例，圍繞基本概念介紹、典型例題講解和工程案例應用“三步走”的方法展開，旨在提高學生的學習參與度，激發學生的學習興趣，從而有效提高學生的學習效率，培養學生的創新思維和應用能力。

圖1 展示了工程導向型“三步走”教學的基本流程。首先，課程教學按照教學計劃講解接觸力學的基本概念和理論，授課教師可以通過幻燈片圖片或視頻的方式簡要介紹大國重器、大國工程及科技前沿中的接觸力學問題，凸顯接觸力學在工程應用中的重要意義，激發學生的學習興趣。如探討飛機起落架在著陸時承受的接觸力對于飛機平穩著陸和使用壽命的影響；導彈彈頭與打擊目標間的接觸力分布對于破壞效果的影響；太空飛船與空間站對接過程中的接觸力對于對接強度和穩定性的影響；跨海大橋中橋墩與海底地基間的接觸力對于橋梁抗震性和抗沖擊性的影響等。其次，授課教師對接觸力學中的典型例題進行講解，包括建立力學模型的方法，分析思路和求解過程。最后，授課教師根據課時安排可以選用一些工程實際案例，讓學生通過理論推導、數值模擬等方式進行工程應用，加深學生對接觸力學相關理論的理解，為后續的課題研究奠定基礎。

1 接觸力學基礎概念介紹

接觸力學主要研究接觸物體之間力的傳遞和分布規律以及由此產生的變形和運動行為[5]。為了方便學生掌握接觸力學的基本概念、基本理論和分析方法，教學過程從工程實際應用的簡化模型角度出發，圍繞半無限大空間和具有高度對稱性的彈性接觸問題展開，討論接觸問題的理論解釋及變形場特征。

首先介紹彈性接觸理論的理想化模型。對于接觸區域尺寸遠小于接觸物體表面輪廓尺寸的情況，將接觸物體近似為以平表面為界的半無限彈性體，通過疊加半無限彈性體在法向和切向載荷作用下產生的應力和位移，可以計算兩接觸物體因發生接觸而產生的變形行為。

其次根據接觸物體的特征，將接觸問題分為平面應變問題和軸對稱問題，其中重點介紹Hertz 彈性接觸模型[6]，并分析模型中各個假設對于簡化問題的作用，幫助學生更好地理解接觸過程及相關概念。進一步引出考慮彈性體間粘連效應的JKR 模型[7-8]，并分析JKR 模型與Hertz 模型的區別，加深學生對于粘連效應的理解。

再次介紹考慮切向載荷的滑動接觸問題，其中重點介紹滑動模型和滑動條件，推導軸對稱球體發生局部滑動時接觸面上的應力及位移分布形式，并與單一法向載荷作用的情況進行對比，加深學生對于滑動接觸過程的理解。

最后介紹剛性平表面與可變形隨機粗糙表面間的接觸問題，其中重點介紹Greenwood 和Williamson 提出的GW 模型[9]。通過假設粗糙表面上微凸體的形狀和分布形式并結合Hertz 接觸理論，可以預測出粗糙表面上的真實接觸面積和平均接觸載荷情況，有助于加深學生對工程實際應用中接觸摩擦和接觸磨損等現象的理解。

2 接觸力學典型例題講解

為了幫助學生更好地理解和掌握課程內容，授課教師可以適當選取一些與知識點對應的典型例題進行講解。例如在講解平面應變接觸問題時，可以由平面Hertz 彈性接觸問題展開，下面進行簡要介紹。如圖2 所示，兩個軸向相互平行的曲率半徑分別為1和2的圓柱體在載荷作用下在豎直方向上發生無摩擦接觸，接觸面寬度為2 。以接觸面中心為原點、圓柱體軸向為方向、下壓方向為方向建立空間直角坐標系。由于圓柱體在y 方向上的尺寸遠大于方向上的尺寸，在后續分析過程中可以采用平面應變假設。

假設剛發生接觸時兩個圓柱體表面上對應點之間的距離為（隨坐標變化而變化），在接觸過程中兩圓柱體內遠處的點1和2平行于軸發生的相對位移為，則在接觸面內兩圓柱體表面對應點由于載荷作用而發生平行于方向的相對位移為

講授完典型例題后，授課教師可進一步提出一些可以促進學生思考的問題。比如在沖壓加工過程中，如何通過沖頭表面形狀設計使得接觸面上的法向分布載荷更為均勻，以延長沖頭使用壽命？另外，能否通過設計使得接觸面上的法向分布載荷更為集中，讓安全錘破窗過程更為省力？通過這種問題驅動的方式，引發學生對工程應用的思考，加深其對理論知識的理解。

3 接觸力學工程案例應用

有許多工程案例與接觸力學知識直接相關，授課教師可以尋找教學與工程案例之間的聯系，將其引入課堂，進一步確立學生在教學過程中的主體地位，鍛煉學生分析問題、解決問題的能力。根據課時安排，授課教師可以將學生分為多個小組，依照學生自己的興趣選取研究內容和研究方向，并定期組織研討匯報，從而激發學生的探索欲和主觀能動性，使得學生在應用過程中鞏固知識體系、深化力學分析思想、提升綜合素質。工程案例的內容可以從以下幾個方面選取：①輪胎與路面間的接觸問題與優化策略；②滾動軸承中滾動體與滾道之間的接觸問題與優化策略；③硬度測試中壓頭與被測材料間的接觸問題與優化策略。下面對各部分內容進行具體介紹。

3.1 輪胎與路面間的接觸問題與優化策略

輪胎與路面間的接觸問題在汽車工程中具有重要意義，直接關系到車輛的燃油效率、耐久性和舒適性等指標。學生可以應用接觸力學和摩擦學等理論，建立描述輪胎與路面間接觸的力學理論模型或有限元模型，并分析不同的輪胎結構、地面狀態、胎壓、負載和速度等因素對于輪胎接觸面形狀、接觸應力分布、磨損效率的影響，從而優化輪胎結構參數、明確服役工況，提升車輛性能（圖3a，p61）。

首先，使用CAD 軟件建立輪胎和路面的幾何模型，輪胎模型應包括輪胎胎體、輪轂等結構。之后為輪胎的各個部分賦予合適的材料模型，如橡膠材料可以采用彈性或超彈性材料本構模型（如Mooney-Rivlin、Neo-Hookean 模型），鋼材料使用彈性模型，并根據其他文獻資料或工程經驗設定相應的彈性模量、泊松比等材料參數。其次，設定輪胎的邊界條件，如輪轂部分的固定約束；定義輪胎和路面之間的接觸關系、接觸面屬性（如摩擦系數、接觸剛度）和接觸求解算法（如罰函數法、拉格朗日乘子法）；施加服役工況下的載荷，包括壓力、剪切力和彎扭矩等。最后，對幾何模型進行網格劃分，確保網格質量，特別是在輪胎接觸區域要有足夠精細的網格。經求解計算后，導出輪胎在不同載荷和工況下的接觸面形狀、接觸面積、接觸應力分布等結果，并給出相應的優化策略：①考慮優化胎面花紋形狀和深度，以改善接觸應力分布，增加接觸面積，減少局部高應力區域；②選擇耐磨、耐疲勞的橡膠材料，提高輪胎的使用壽命；③保持合適的胎壓，確保輪胎接觸面形狀合理，接觸應力分布均勻，減少過高或過低胎壓引起的異常磨損。

3.2 滾動軸承中滾動體與滾道之間的接觸問題與優化策略

軸承是在機械傳動過程中用于支撐機械旋轉體以降低轉動過程中摩擦系數的部件。滾動軸承的性能和使用壽命依賴于內部滾動體與滾道之間的接觸行為。學生可以應用接觸力學和摩擦學等理論，建立描述滾動體與滾道間接觸的理論模型或有限元模型，分析滾動體力學參數、負載、運轉速度和潤滑程度等因素對滾道接觸面上接觸應力分布、疲勞壽命和傳動損耗的影響，從而提出合理的軸承結構設計和潤滑方案以提高軸承運行效率、延長使用壽命（圖3b）。

首先，使用CAD 軟件建立滾動軸承的幾何模型，包括內圈、外圈和滾動體。之后為滾動軸承的各個部分賦予合適的材料模型，如內圈和外圈通常采用高強度鋼，滾動體材料選擇高硬度鋼。其次，設定軸承的邊界條件，如固定軸承內圈或外圈的一部分以模擬實際工作中的固定支撐；定義滾動體與滾道之間的接觸關系、接觸面屬性和接觸求解算法；施加服役工況下的載荷，包括軸向載荷、徑向載荷和可能的彎扭力矩。最后，對幾何模型進行網格劃分。經計算求解后導出滾動軸承在不同載荷、運轉速度和潤滑條件下的接觸應力分布、摩擦力分布等結果，并給出相應的優化策略：①優化滾動體的形狀（如球形、圓柱形）和尺寸，以改善接觸應力分布，減少局部高應力區域；②優化滾道的曲率半徑和表面粗糙度，以提高接觸面的負載能力和耐磨性；③采用合適的潤滑方式（如滴油潤滑），確保潤滑劑能夠充分覆蓋接觸面，降低接觸摩擦系數，提高軸承效率。

3.3 硬度測試中壓頭與被測材料間的接觸問題與優化策略

硬度是一種描述材料抵抗變形、壓痕或劃痕能力的指標，已被廣泛應用于評估不同金屬、陶瓷、塑料等材料的機械性能。學生可以通過硬度測試實驗，分析不同類型壓頭在測量相同材料時的壓痕尺寸和形狀，建立不同壓痕實驗測量硬度值之間的轉換關系，提出硬度測試改進方法以提升測試結果的可靠性（圖3c）。

首先，使用CAD 軟件建立壓頭和被測材料的幾何模型，其中常見的壓頭包括維氏四棱錐壓頭、布氏球形壓頭和洛氏圓錐壓頭。之后為壓頭和被測材料設置合適的材料模型，如壓頭使用線彈性模型，被測材料使用彈塑性模型。其次，設定壓頭和被測材料的邊界條件，定義壓頭和被測材料之間的接觸關系、接觸面屬性和接觸求解算法；施加接觸過程中壓頭上的壓入力。最后，對幾何模型進行網格劃分。經求解計算后導出不同類型壓頭接觸區域內的壓痕尺寸、壓痕深度和接觸壓力分布等結果，并進行對比分析，通過數值擬合和回歸的方法建立各硬度值之間的轉換關系。還可以進一步考慮新型壓頭的設計方案，并優化其幾何形狀和材料，以減少壓痕尺寸誤差，提高測試精度。

4 結語

在固體力學導論課程教學中，教師需要深入淺出，從基本研究思想出發，系統而翔實地描述固體力學問題的物理背景和物理過程，同時結合工程案例，為學生介紹固體力學知識的應用方法。本文以固體力學課程中接觸力學部分的教學為例，介紹了工程導向型教學方法的具體應用，通過基本概念介紹、典型例題講解和工程案例應用“三步走”的方法提高學生的課堂參與度，培養他們發現問題、分析問題和解決問題的能力，為未來更加深入的研究奠定基礎。希望本文提出的工程導向型教學方法可為其他工科專業課程的教學起到參考作用，幫助學生更好地理解知識、掌握知識和應用知識。

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