從定性到定量，關注知識的生長

小學生主要是在情境中認識平面圖形，在探索中建構特征，在建構中提升思考，在活動中發展觀念。這是一個從顯性認識到隱性認識的過程，能促進學生在抽象中學會用圖形和語言表征平面圖形。筆者在教學“長方形和正方形的認識”一課時，設計了豐富的動手和動腦活動，先讓學生整體感知長方形和正方形的模樣，再在定性描述和定量刻畫中認識長方形和正方形的本質特征。

一、舊知引入，直觀認識長方形和正方形

學生在一年級時就認識了長方形和正方形等平面圖形，到三年級時通過邊和角等元素進一步刻畫長方形和正方形等平面圖形，逐步從感性認識上升到理性認識，從直觀感知上升到抽象認識，從整體認識過渡到局部細化。在教學導人時，教師要從學生的舊知引人，引導學生觀察長方形和正方形的特征，為理性驗證這些平面圖形做好準備。

師：同學們，誰來說一說四邊形有什么特點？

生1：四邊形有四條邊和四個角。

師：大家想一想，在生活中有哪些常見的四邊形？

生2：正方形、長方形、平行四邊形、梯形、菱形。

師：我們在一年級時已經認識了長方形和正方形，回憶一下它們是什么樣子的？請用學具袋中的材料表示長方形和正方形。

師：（出示學生的長方形作品）這些圖形的顏色和大小都不相同，為什么它們都是長方形？

生3：因為長方形對邊相等，就是左邊和右邊相等，上面和下面相等。還有長方形的四個角都是直角。

師：（出示學生的正方形作品）這些圖形的顏色和大小也不相同，為什么它們都是正方形？

生4：因為正方形四條邊都相等，四個角都是直角。

在這個教學片段中，教師引導學生整體感知長方形和正方形，概括出長方形和正方形的特點，發現長方形和正方形都是由四條直邊和四個直角組成的，喚醒了學生對四邊形的已有經驗。

二、理性驗證，定性描述和定量刻畫圖形

定性描述和定量刻畫都是學生認識圖形過程中的必經之路。定性描述是指從宏觀角度認識事物的總體屬性和趨勢，定量刻畫是指從微觀角度用精確的數據來描述事物。當學生了解長方形和正方形的基本特征后，教師通過折紙等活動引導學生驗證長方形和正方形的特征。學生使用不同的長方形和正方形紙進行量一量、折一折和比一比，以驗證長方形和正方形的邊和角的特征，最后在溝通中明確：長方形有四條邊，對邊相等；有四個角，都是直角；正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。

1.理性驗證長方形的特征

師：剛才我們是用眼睛看到的，接下來要驗證你們的發現是否正確？

請拿出一個長方形驗證其四條邊和四個角的特征。

生1：我是用左右對折和上下對折的方法來驗證長方形的對邊相等，再用三角尺中的直角驗證長方形的四個角都是直角的。

生2：我用尺子量出長方形的左邊和右邊都是13厘米，上邊和下邊都是8厘米；再用三角尺的直角來驗證四個角都是直角。

師：我們通過量一量、折一折和比一比等方法驗證了長方形邊和角的特點，發現長方形要同時滿足對邊相等和四個角都是直角的特點。在課前，每個同學都制作了一個長方形，請動手驗證一下你們親手制作的到底是不是長方形。

生3：我發現我這個圖形不是長方形，我用三角尺測量了兩個角，發現它們比直角要小一點點。

生4：我用直尺測量了我這個圖形的左邊和右邊都是10厘米，上面和下面都是7厘米3毫米，所以我確定這個圖形就是長方形。

生5：你們組為什么不測量這個圖形的四個角，還要四個角都是直角才能確定它是長方形。上下兩條邊一樣長，左右兩條邊一樣長，平行四邊形也是符合條件的。

師：是的，所以我們在驗證長方形時要同時滿足兩組對邊相等和四個角都是直角這兩個條件。

2.理性驗證正方形的特征

師：剛才同學們用不同的方法驗證了長方形，現在我們來研究正方形，正方形有什么特點？大家用什么方法來驗證自己的發現呢？

生6：我是用直尺量出正方形的四條邊，經過測量這四條邊都是8厘米5毫米，說明正方形的四條邊都是一樣長的；再用三角尺量出正方形的四個角，經過測量這四個角都是直角。所以這個圖形是正方形。

生7：我先確定這個圖形是不是對邊相等，用上下對折和左右對折的方法發現能完全重合，再測量相鄰兩條邊的長度，只要相等就說明四條邊相等；然后，通過上下對折和左右對折這個圖形，讓四個角都重疊在一起，只要用三角尺測量一個角是不是直角就行了。

生8：我們是把正方形沿著對角線對折兩次，讓正方形的四條邊都重疊在一起，只要測量一次就行了。

生9：我們組是用小棒拼搭的，可以拆下一根小棒，與其他三根小棒比一比長度可以驗證邊長是否相同，再用三角尺測量一個角是不是直角。

師：現在我們通過驗證發現正方形要滿足四條邊相等和四個角都是直角這兩個條件。在課前，每個同學都制作了一個正方形，請動手驗證一下自己制作的是不是正方形？

生10：我是在方格紙上畫了一個正方形，每條邊的長度是5厘米，四個角都是直角，所以是正方形。

生11：我用直尺量出每條邊的長度都是相等的，再用三角尺量出四個角都是直角，所以這個圖形是正方形。

在這個教學片段中，學生通過量一量邊的長度和角的度數，左右對折和上下對折，將觀察得到的猜想通過理性的驗證得出正確的結論，最終得到判斷長方形和正方形的理論依據。在理性驗證的過程中，有的學生只驗證了“邊\"而忽視了“角”，在學生的質疑和舉反例中進一步深刻理解長方形和正方形都要同時滿足“邊”和“角\"這兩個條件。

三、拓展提升，借助活動探究圖形的關系

當學生經歷從物的具象到形的抽象過程后，教師設計了三個拓展練習題，引導學生深刻感知四邊形、長方形和正方形之間的圖形關系，發展學生的空間觀念。教師通過讓學生比較長方形和正方形的特征，體會不同四邊形的聯系和區別，并在此基礎上揭示長方形的長、寬及正方形的邊長等概念。

師：同學們，我們把長方形的長邊叫“長”，短邊叫“寬”；正方形的四條邊都是“邊長”。圖1中哪些圖形是長方形？哪些是正方形？哪些是平行四邊形？

生1：長方形是 ①④⑦ ，正方形是 ②⑥ ，平行四邊形是 ⑤ 。

師：都說對了。接下來我們來看看這個長方形的長是多少，寬是多少？

生2：長是14厘米，寬是10厘米。

師：老師讓這個長方形動起來，現在這個長方形的長和寬分別是多少？

生3：長是12厘米，寬是10厘米。

師：你們有辦法讓這個長方形繼續運動，變成正方形嗎？

生4：長減少2厘米，這樣正方形的邊長都是10厘米了。

師：現在這個圖形既是長方形，又是正方形，所以我們說正方形是特殊的長方形。老師這里有三個橢圓，你們能用這三個橢圓表示四邊形、長方形和正方形的關系嗎？

生5：四邊形最大，長方形次之，正方形最小。

師：同學們，我們知道了四邊形、長方形和正方形之間的關系。如圖2所示，信封里裝的是一個四邊形，猜一猜不可能是什么形狀？

生6：不可能是三角形，因為三角形不是四邊形；也不可能是平行四邊形，因為我們看到了兩個直角。

師：猜一猜可能是什么形狀。

生7：長方形、正方形或者直角梯形。（教師出示這個圖形后發現是直角梯形）

在這個教學片段中，教師設計了三個拓展練習題，以促進學生建立長方形和正方形的表象。第一個練習題是讓學生利用邊和角等元素判斷平行四邊形、長方形和正方形，這不僅有利于學生進一步感知長方形和正方形的特點，而且有助于他們通過比較掌握正方形和長方形之間的聯系與區別；第二個練習題是讓學生在動態運動中感受長方形與正方形之間的變化，為用集合圖表示四邊形、長方形與正方形的關系積累了豐富的活動經驗；第三個練習題是讓學生觀察部分圖形，猜測信封里藏著的圖形的形狀，幫助他們形成合理的認知結構。

總之，教師要引導學生經歷觀察、操作、測量和比較等活動過程，讓學生在充分感知的基礎上，利用自主探究和小組合作發現長方形和正方形的基本特征；借助多種感官協調參與動手操作活動，讓學生驗證和應用長方形和正方形的基本特征。整節數學課中既有靜悄悄的思考時間和空間，又有熱熱鬧鬧的動手和討論活動，兩者交織在一起如同一首交響曲。教師引導學生在刨根問底中將眼見為實轉化為理性驗證，讓學生學會用定性描述和定量刻畫相結合的方式認識長方形和正方形。