協變思維在小學數學教學中的應用研究

思維是學生認識并理解數學的原動力與基本工具。教師在教學中將知識的傳授與思維能力的培養有機融合在一起，是發展學生數學核心素養的重要舉措。協變思維屬于數學思維中的一種，對提升學生的認知能力和解題能力具有重要意義。

一、協變思維的概述

協變思維也稱協同變化思維，屬于眾多數學思維的一種，指將情境中兩個有一定關系的量放在一起進行互相轉化的一種思維[1。教師可以從三個方面引導學生認識協變思維：① 協變思維屬于認知活動的一類；② 涉及協變思維的量屬于同一情境中有一定關系的變量； ③ 從本質上來說，協變思維屬于函數思維。

二、學生的協變思維現狀分析

問題1：小明與小慧共有16顆巧克力，小慧吃掉2顆后，兩人擁有的巧克力數量一樣多。求兩人原來各有幾顆巧克力。

問題2：小明與小慧共有16顆巧克力，小慧給了小明2顆巧克力后，兩人擁有的巧克力數量一樣多。求兩人原來各有幾顆巧克力。

為了充分了解學生的協變思維情況，筆者分別讓三年級與四年級的學生來解決這兩個問題。調查發現，關于問題1，三年級、四年級的學生錯誤率分別為 8% 與 2% ；關于問題2，三年級、四年級學生的錯誤率分別為 83% 與 61% 。顯然，問題2的錯誤率遠高于問題1，低年級的學生錯誤率高于高年級學生。出現這種情況的主要原因在于問題2的數量關系比較復雜，具有變化性，學生無法像問題1一樣快速理解；隨著認知的發展，學生的協變思維越來越強。實踐證明，大部分學生習慣用直覺思維分析問題，缺乏良好的協變思維能力。

三、剖析學生協變思維能力不足的原因

1.對于量的認識不足小學階段的數學問題涉及連續與分散兩類量，連續量包含了面積、質量、長度、時間等，分散量有人數、物品數量等。解決實際問題時，學生因為對一些量的理解不充分，出現思維混亂，導致解題錯誤。

比如，從教學樓的一樓跑到五樓，小紅需要花費1分鐘的時間。按照這樣的速度，她從一樓跑到十樓需要花費多少時間？此問中的“一樓到十樓\"并非為具有離散意義的物品的數量，而是具有連續意義的量—長度。簡而言之，一樓到五樓表示四個單位長度，一樓到十樓表示九個單位長度。學生基于協變思維的視角認識到這一點，問題則迎刃而解。

這個問題學生出現的錯誤率很高，主要原因就在于協變思維能力不足，對事物的量沒有形成客觀、科學的認識。想要解決這個問題，教師要在日常教學中注重引導學生對事物的量的分析，讓學生學會從整體視域來觀察事物。

2.缺乏協調轉換能力

有些學生雖然能明確量的性質，但在解決問題過程中缺乏良好的協調轉換能力，導致出現各種錯誤。

如圖1所示，分別用4、7、10根小棒可擺放出1、2、3個正方形。如果想按照同樣的方法擺放出100個正方形，要用多少根小棒呢？此問中正方形的個數與小棒的數量為兩個關聯的變量。正方形數量的3倍加1為所需小棒的數量；反之，小棒數量減1，再乘以 為正方形的個數。

然而，不少學生在解決這個問題時，難以靈活轉化這兩個變量，出現各種錯解。想要改變這一現象，最好的方法就是增強對學生協變思維的訓練，讓學生學會從題干條件中提取有關聯的變量，并明晰變量間的關系，獲得從正反不同維度轉換的能力。

3.不善于利用比例關系

問題中的比例關系反映了特殊的協變思維。然而，部分學生對正反比例關系的理解與認識存在障礙，難以準確應用比例關系解決實際問題。比如工程隊準備修建一條1200米的柏油路，前3天完成了總長度的1/3，（2如果以同樣的進度繼續工作，還要用幾天的時間可以完成整個修建工程？

本題難度系數并不大，擁有一定協變思維的學生都能根據已完工與未完工路程的比例1：2，得出剩下的路還需要花費6天的結論，這種解題方法快捷、方便。然而，缺乏協變思維的學生會分別求出平均每天修建路程長度以及剩下路程的長度，通過除法獲得剩下路程需要花費的天數。這種解法雖然能獲得結論，卻復雜許多。協變思維的介入，可簡化問題難度，讓學生快速得出問題的結論。

四、應對措施

1.教學分析

筆者以“平行四邊形的面積\"教學為例，從學生實際認知水平出發，開展教學實踐與分析，以培育學生的數學協變思維。

問題：已知一個平行四邊形的底邊長為7厘米，底邊上的高為4厘米，另一條邊的長度為5厘米，求該平行四邊形的面積。

本題是在認識平行四邊形之后，初次讓學生自主計算面積的一個問題，從學生的解題結果來看，不少學生直接應用“鄰邊相乘\"的方法進行解題。顯然，學生對平行四邊形中量與量之間關系的理解還不夠準確。

教學時，大部分教師基于轉化思想引導學生開展探索，尤其關注不同剪拼法的應用與分析。實際上，沿著不同的高對平行四邊形進行剪拼，并非本節課教學的難點，原因在于學生在“認識圖形”環節曾多次接觸過這一類操作，大部分學生都能理解。因此，以剪拼法探索面積公式的難度較小。

那么，此環節的教學難點究竟在哪里呢？從封閉圖形來分析，面積與周長為這一類圖形的兩個量，且封閉圖形的面積與周長之間還存在雙量協變的關系，不論面積還是周長均與圖形的長、寬、高有關聯。教師只要引導學生真正理解了這些關聯的規律，就能發展學生的協變思維。

基于以上分析，本節課筆者緊扣問題提供的數據開展研究，通過問題發散學生的思維，讓學生明晰如何計算平行四邊形的面積。當然，本節課教師要引導學生通過探索面積與周長的協變關系，揭示周長相同的圖形，面積并不一定相同；周長越大的圖形，面積不一定越大等。為了深化學生的理解，教師可以從“關聯量的變與不變\"的角度開展教學。

2.教學過程安排

（1）公式推導

教師可以從三次變化著手，引導學生進行平行四邊形的公式推導。

第一次：將不規則圖形轉化為規則的長方形，但面積不發生變化。

如圖2所示，教師可以引導學生應用“割補法\"進行操作，讓學生感知割補過程與要點，從而深刻領悟：將圖形進行割補，面積不會發生變化，但周長與圖形形狀會發生顯著變化。

第二次：如圖3所示，通過對圖中1號圖形的拉動，將長方形轉化為平行四邊形，具體分成兩個步驟。

第一步，通過拉動，使得平行四邊形的高為 4cm 。教師要鼓勵學生自主操作，并說明在此過程中哪些量發生了改變，哪些量沒有發生變化。

有的學生認為圖形經過拉動，各條邊的長度沒有發生變化，因此變化的只是圖形形狀，周長與面積均未發生改變。教師未置可否，而是要求學生繼續操作。

第二步，繼續拉動圖形，使平行四邊形的高逐漸變為 $3＼mathrm{cm}＼ 、2＼mathrm{cm}$ lcm，要求學生說明在拉動過程中哪些量發生了改變，哪些量沒有發生變化。

隨著高的逐漸減小，學生逐漸意識到雖然各邊的長度沒有發生變化，但圖形的面積越來越小，其周長始終沒有改變。由此，學生猜想到平行四邊形的面積與其高有直接關系。值得注意的是，這里存在兩個容易混淆的量，即底邊的高和相鄰的邊。

在教師的引導下，學生自主操作并觀察，通過比較與分析后發現：底邊的鄰邊始終沒有發生改變，但底邊上的高逐漸變小。由此學生初步確定平行四邊形的面積由平行四邊形的底邊與底邊上的高決定，與底邊的鄰邊沒有關系。這一認識，為學生接下來推導面積公式夯實了基礎。

第三次：將平行四邊形轉化為與之面積一樣大的長方形，即將圖4中的2號圖形轉化成3號圖形，鼓勵學生自主分析用哪種方法進行操作。

在問題的驅動下，學生分別從割補法與拉動法兩個維度進行合作交流后發現：應用割補法，圖形的形狀發生了改變，周長與一些邊的長度也變了，但面積不會發生改變；應用拉動法，圖形各條邊的長度沒有發生改變，周長也不會發生變化，但圖形的面積發生了變化。由此確定，割補法可實現等面積轉化，拉動法無法滿足要求。由此，平行四邊形的面積公式浮出水面。

設計意圖：不一樣的轉化過程，讓學生對“等積變化\"與“等長變形”

產生深刻的認識。如此設計，除了為“等積變形推導平行四邊形的面積公式\"作鋪墊，還讓學生通過操作與思考自主規避“底邊 × 鄰邊\"這一錯誤方法，由此形成良好的協變思維。學生自主意識到平行四邊形的面積不可用“底邊 × 鄰邊”，將注意力轉移到“等積變形\"中來，即關注平行四邊形的底邊與高這兩個量之間的聯系，順利完成面積公式的推導。顯然，這三個層次清晰的變化過程，讓學生對邊與邊、邊與高、邊與周長、高與面積之間的關系產生了明確的認識，有效促進了學生的協變思維的發展。

（2）鞏固練習

在鞏固練習環節，教師可以從兩次變化著手開展探索。

第一次：如圖5所示，借助橡皮筋、釘子板等工具，分別圍成與圖4中2號圖形等底等高卻不同形狀的平行四邊形，學生通過對這些圖形面積的計算，分析有哪些量發生了改變，有哪些量恒定不變。

學生通過交流發現：雖然圍成的圖形形狀發生了變化，有些邊長發生了變化，但根據面積公式計算出來的圖形面積恒定不變，并發現底邊的鄰邊邊長越大，該邊與底邊形成的夾角就越小。只要保持底邊與高不變，那么不論圖形形狀怎樣變化，面積均不會發生改變。由此，進一步強化了學生對平行四邊形底邊與高關系的認識。

第二次：教師引導學生自主計算圖6中平行四邊形的面積之后，要求學生思考問題。

問題1：為什么大家都用 12×15 而不是用 18×15 來計算平行四邊形的面積呢？

問題2：如果將長為18的這條邊作為平行四邊形的底，與之相對應的高是多少？

問題3：與圖6中圖形面積一樣的其他平行四邊形的底、高分別是多少？如果明確底邊分別為30或20，高呢？

設計意圖：教師引導學生通過對問題的探索，讓學生進一步夯實對平行四邊形面積公式本質的認識，對平行四邊形底與高的關系有深刻理解，發展學生的數學協變思維。

總之，數學是思維的體操，思維是學生認識數學、掌握數學知識的動力、工具和武器，關注學生數學協變思維的培育是發展學生數學思維的基礎[2]。教師應引導學生厘清問題條件中不同量之間協調變化關系，鼓勵學生學會從不同的維度來觀察與剖析各個量之間的關系，此為發展學生的數學協變思維的關鍵措施。

參考文獻：

[1］尤善培.基于思維發展設計教學路徑：再談著眼于學生思維發展的數學教學設計策略[J].高中數學教與學，2015（23）：1-4.

[2]嚴兵.協變思維能力缺失的原因分析與教學應對：以“平行四邊形的面積\"教學為例[J].小學數學教育，2020（12）：20-22.