數(shù)學(xué)文化在中考數(shù)學(xué)試題中的呈現(xiàn)及思考

引用格式 金楊建，數(shù)學(xué)文化在中考數(shù)學(xué)試題中的呈現(xiàn)及思考.教學(xué)與管理，2025（13）：66-71.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程理念中指出：課程內(nèi)容的選擇應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)文化，繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化；在課程實(shí)施中強(qiáng)調(diào)學(xué)業(yè)水平考試中試題命制應(yīng)創(chuàng)設(shè)合理情境，根據(jù)考查意圖，結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)合理的情境，并關(guān)注情境的真實(shí)性，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值、意義和重要性已獲得廣泛認(rèn)同，各地中考數(shù)學(xué)卷中滲透數(shù)學(xué)文化的試題也大量出現(xiàn)。對(duì)這類試題的研究不僅可以窺探數(shù)學(xué)文化題命制的思路與理念，也可以補(bǔ)充課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)文化滲透的素材與方法。

一、數(shù)學(xué)文化題的意涵

數(shù)學(xué)在人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過(guò)程中發(fā)揮了重要作用，人們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)也在不斷完善和發(fā)展，數(shù)學(xué)是人類文化的一個(gè)重要組成部分。美國(guó)數(shù)學(xué)家懷爾德（R.Wilder）認(rèn)為數(shù)學(xué)文化的發(fā)展已經(jīng)達(dá)到了一個(gè)較高的水平，并最早系統(tǒng)提出了“數(shù)學(xué)——作為一種文化體系”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀。李大潛院士對(duì)\"數(shù)學(xué)是什么\"進(jìn)行了歸納：數(shù)學(xué)不僅是一類知識(shí)、一種科學(xué)的語(yǔ)言、一個(gè)有力的工具；數(shù)學(xué)也是各門科學(xué)的基礎(chǔ)，是一門重要的科學(xué)，是一種關(guān)鍵性的、可實(shí)現(xiàn)的技術(shù)；同時(shí)，數(shù)學(xué)更是一種先進(jìn)的文化，是人類文明的重要基礎(chǔ)[2]。

數(shù)學(xué)文化是國(guó)際數(shù)學(xué)教育研究最為關(guān)注的熱點(diǎn)之一。然而數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵目前尚未形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，概括起來(lái)主要有五個(gè)角度的理解：數(shù)學(xué)學(xué)科的角度；文化的角度；數(shù)學(xué)共同體的角度；數(shù)學(xué)活動(dòng)的角度；系統(tǒng)的角度。南開大學(xué)顧沛教授從文化的角度給出了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，他認(rèn)為，狹義的“數(shù)學(xué)文化”是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義的“數(shù)學(xué)文化\"除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等4，這也是目前主流的觀點(diǎn)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中給出的數(shù)學(xué)文化的含義，包括了上述狹義觀點(diǎn)；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng)。本文對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解，采用顧沛教授認(rèn)為的廣義內(nèi)涵。基于以上分析，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)文化題簡(jiǎn)言之就是顯性或隱性融入數(shù)學(xué)文化的試題。關(guān)于數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，學(xué)者們雖然研究角度不一，但區(qū)別較少。歸納整理發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化的價(jià)值主要體現(xiàn)在：德育價(jià)值；美育價(jià)值；思維訓(xùn)練的價(jià)值間。因此，數(shù)學(xué)文化題也具有上述三個(gè)方面的價(jià)值。

二、數(shù)學(xué)文化在中考數(shù)學(xué)試題中呈現(xiàn)的類型

數(shù)學(xué)文化題的分類目前尚無(wú)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。如根據(jù)試題編擬中數(shù)學(xué)文化元素的取材來(lái)源將數(shù)學(xué)文化題分為“源自數(shù)學(xué)名題”和“源自文化事物\"兩類；根據(jù)試題中數(shù)學(xué)文化元素的背景將數(shù)學(xué)文化題分為“以中國(guó)數(shù)學(xué)典籍史料中優(yōu)秀成果為背景”，“以外國(guó)數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的數(shù)學(xué)名題為背景”和“以數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系為背景”三類；根據(jù)試題中數(shù)學(xué)文化的考察角度將數(shù)學(xué)文化題分為\"滲透中國(guó)古代數(shù)學(xué)史考察”，“滲透數(shù)學(xué)精神”和“滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用”三類；根據(jù)命題素材載體和價(jià)值指向角度將數(shù)學(xué)文化題分為“以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)名題（命題滲透數(shù)學(xué)史、命題滲透數(shù)學(xué)美、命題滲透理性精神）”和\"彰顯數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)應(yīng)用題（關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題、突出數(shù)學(xué)建模意識(shí)）兩大類五小類；根據(jù)試題中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容類型將數(shù)學(xué)文化題分為“數(shù)學(xué)史”“數(shù)學(xué)與生活”“數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)”和“數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)\"四類；根據(jù)試題中數(shù)學(xué)文化的特征和教育價(jià)值將數(shù)學(xué)文化題分為“以古代名著為藍(lán)本、弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化歷史”“以生產(chǎn)生活為載體、滲透數(shù)學(xué)應(yīng)用文化\"\"以數(shù)學(xué)游戲?yàn)楸尘啊⒓ぐl(fā)數(shù)學(xué)探究興趣”\"以經(jīng)典名題為原型、拓展數(shù)學(xué)思維深度”和“以數(shù)學(xué)活動(dòng)為抓手、感悟數(shù)學(xué)理性精神\"五類[2，等等。筆者抽取了2024年82份中考數(shù)學(xué)試卷中涉及的數(shù)學(xué)文化題進(jìn)行分析，根據(jù)數(shù)學(xué)文化元素在試題中所產(chǎn)生的作用和呈現(xiàn)方式對(duì)數(shù)學(xué)文化題進(jìn)行分類。

1.作為引入素材點(diǎn)綴式呈現(xiàn)

2019年11月，教育部發(fā)布的《關(guān)于加強(qiáng)初中學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》中指出，拓寬試題材料選擇范圍，豐富材料類型，增強(qiáng)情境創(chuàng)設(shè)的真實(shí)性、典型性和適切性，提高試題情境設(shè)計(jì)水平[13]。中考試題的命制不僅要體現(xiàn)知識(shí)立意，也要體現(xiàn)能力立意，更要指向素養(yǎng)發(fā)展立意。單純對(duì)知識(shí)考察的試題略顯單薄，同時(shí)對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的提升也略顯欠缺。數(shù)學(xué)文化素材是試題情境呈現(xiàn)的一個(gè)重要載體，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)有效途徑。試題中顯性的介紹有關(guān)數(shù)學(xué)文化的素材，如數(shù)學(xué)成果、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)名人、數(shù)學(xué)圖片等，在傳遞文化價(jià)值的同時(shí)，對(duì)試題的引入起到一定的輔助作用，使試題主體內(nèi)容的出現(xiàn)顯得不突元，有助于豐富試題的情境。

2024年云南卷第1題：中國(guó)是最早使用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量的國(guó)家．若向北運(yùn)動(dòng)100米記作 +100 米，則向南運(yùn)動(dòng)100米可記作_____。

2024年安徽卷第12題：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為 ，祖沖之給出圓周率的一種分?jǐn)?shù)形式的近似值為 。比較大小： "-（填“ gt; ”或“ lt; ”）。

負(fù)數(shù)的引入、圓周率的近似值是古代中國(guó)在數(shù)學(xué)上取得的兩個(gè)顯著成就。用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，是正負(fù)數(shù)知識(shí)的內(nèi)涵。中國(guó)作為最早引人負(fù)數(shù)概念的國(guó)家，在數(shù)學(xué)發(fā)展史中起到舉足輕重的作用。古代中國(guó)數(shù)學(xué)家在計(jì)算圓周率中也取得重要的成就：張衡將圓周率取值為 、祖沖之給出圓周率的分?jǐn)?shù)近似值 都領(lǐng)先于同時(shí)代的西方。這些數(shù)學(xué)文化元素是試題的點(diǎn)綴成分，對(duì)學(xué)生而言沒有任何解題信息價(jià)值（上述兩題中，如果去掉含有數(shù)學(xué)文化的文字，依然是一道完整的試題），但是學(xué)生在閱讀試題的過(guò)程中，能夠了解中國(guó)或中國(guó)數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)中取得的重要成就，無(wú)形中能提升學(xué)生的民族自豪感，增強(qiáng)文化自信，同時(shí)也使得考察內(nèi)容的呈現(xiàn)不顯得過(guò)于突兀。因此，教師平時(shí)在教學(xué)中，也可以在合適的時(shí)機(jī)有意識(shí)的滲透這類數(shù)學(xué)文化信息，這有利于增長(zhǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心。

2.作為試題來(lái)源復(fù)制式呈現(xiàn)

科學(xué)性是試題命制的前提和生命線。就數(shù)學(xué)文化題而言，其文化源頭必須準(zhǔn)確真實(shí)，數(shù)據(jù)信息必須正確科學(xué)。文化性又是數(shù)學(xué)文化題一個(gè)顯著特征，因此數(shù)學(xué)文化題不僅要確保試題的科學(xué)性，又要體現(xiàn)其文化性（展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的歷史、應(yīng)用和發(fā)展過(guò)程），以此傳承數(shù)學(xué)文化、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。古代中國(guó)出現(xiàn)了大量的數(shù)學(xué)名著，如《周算經(jīng)》《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《增刪算法統(tǒng)宗》等，其中有大量的數(shù)學(xué)名題，這些試題的科學(xué)性已經(jīng)歷了歷史的檢驗(yàn)，其文化性母庸置疑。中考試題直接選取這些數(shù)學(xué)典籍中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，一方面素材來(lái)源真實(shí)、傳承有序，另一方面又為古代名題賦予新的使命。這不失為命制數(shù)學(xué)文化題的一個(gè)有效方式。

2024年天津卷第9題：《孫子算經(jīng)》是我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)典籍，其中有一道題：“今有木，不知長(zhǎng)短。引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩度之，不足一尺。木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺，問(wèn)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng) x 尺，繩子長(zhǎng)y尺，則可以列出的方程組為_____。

2024年煙臺(tái)卷第9題：《周算經(jīng)》是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)理天文著作，書中記載這樣一道題：“今有女子不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖，問(wèn)織幾何。”意思是：現(xiàn)有一個(gè)不擅長(zhǎng)織布的女子，織布的速度越來(lái)越慢，并且每天減少的數(shù)量相同，第一天織了五尺布，最后一天僅織了一尺布，30天完工，請(qǐng)問(wèn)她一共織了多少布。

中國(guó)古代經(jīng)典數(shù)學(xué)著作中的問(wèn)題，往往以文言文的形式呈現(xiàn)，命題者需要對(duì)其進(jìn)行翻譯或注解，這樣才能幫助解題人更好地理解題意，減少審題障礙，真正起到對(duì)數(shù)學(xué)能力的考察。學(xué)生在閱讀名題原文時(shí)，能感受到古代語(yǔ)言的魅力，在用所學(xué)知識(shí)解決古代數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，又能親身感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)典，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的傳承與進(jìn)步，仿佛在與古人對(duì)話。值得注意的是，這類試題若僅呈現(xiàn)原文，則生澀難懂、學(xué)生理解可能有障礙；若僅出現(xiàn)譯文，則平鋪直敘、缺少古代名題的韻味；若既呈現(xiàn)原文又給出譯文，則行文略顯繁瑣，但這卻是目前數(shù)學(xué)文化題命題的主流選擇。因此，教師平時(shí)應(yīng)更多的關(guān)注數(shù)學(xué)經(jīng)典著作（中國(guó)的和國(guó)外的）中的問(wèn)題，選取適切的問(wèn)題在教學(xué)中適時(shí)呈現(xiàn)，或作為例題、或作為練習(xí)題、亦或作為教學(xué)情境，這不失為一個(gè)豐富教學(xué)素材、拓寬學(xué)生視野的方法。

3.作為解題信息應(yīng)用式呈現(xiàn)

中考是學(xué)生接受九年制義務(wù)教育中一次重要的考試，勢(shì)必具備一定的選拔功能。因此中考試卷中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化題不僅要關(guān)注對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考察，也要適當(dāng)突出對(duì)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考察，從而承擔(dān)一定的選拔功能。數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中出現(xiàn)過(guò)許多有趣而又深刻的發(fā)現(xiàn)，這些發(fā)現(xiàn)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。中考試題中借助這些成果，作為解題的重要信息，既能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)美和應(yīng)用美，又能增強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的考查，還能提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，未嘗不是一個(gè)很好的選擇。不過(guò)值得提醒的是，數(shù)學(xué)文化試題作為中考考題應(yīng)兼具公平性，數(shù)學(xué)文化元素所提供的解題信息對(duì)于不同的學(xué)生而言應(yīng)該是公平的。

2024年山西卷第12題：黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律。借助正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀（如圖1）。已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分別在習(xí)字格的邊MN，PQ上，且AB/NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點(diǎn)C處，且 若 NP=2cm ，則 BC的長(zhǎng)為 cm （結(jié)果保留根號(hào)）。

2024年棗莊卷第16題：任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2。反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈 ，這就是“冰電猜想”。在平面直角坐標(biāo)系 中，將點(diǎn) 中的 x，y 分別按照“冰電猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，其中 x，y 均為正整數(shù)．例如，點(diǎn)（6，3）經(jīng)過(guò)第1次運(yùn)算得到點(diǎn)（3，10），經(jīng)過(guò)第2次運(yùn)算得到點(diǎn)（10，5），以此類推。則點(diǎn)（1，4）經(jīng)過(guò)2024次運(yùn)算后得到點(diǎn) O

黃金分割是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要知識(shí)，對(duì)所有學(xué)生而言是公平的；同時(shí)，試題中又給出了√5-1這一重要信息，對(duì)考生而言又是友善的。冰猜想（即角谷猜想）在教材中雖未出現(xiàn)，但試題中將其內(nèi)容完整的呈現(xiàn)，能夠考察學(xué)生閱讀理解能力、學(xué)習(xí)能力和思維能力；將冰電猜想運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)對(duì)學(xué)生而言又有一定的創(chuàng)新性，這些對(duì)所有學(xué)生而言也是公平的。另外，這兩道試題又能充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，這是數(shù)學(xué)文化題的另一個(gè)顯著特征。黃金分割中體現(xiàn)的美眾所周知，能直觀感受，特別是試題中出現(xiàn)正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉\"字，能讓人眼前一亮。然而冰猜想這類問(wèn)題中則隱藏著數(shù)學(xué)“冷而嚴(yán)肅的美”，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)中的結(jié)構(gòu)之美、數(shù)學(xué)推理中的思維之美。這正體現(xiàn)了顧沛教授說(shuō)的，“數(shù)學(xué)的美，在于數(shù)學(xué)思想深刻之美”。因此，教學(xué)中可以適當(dāng)增加一些具有熟悉或陌生數(shù)學(xué)文化背景的問(wèn)題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用的之妙，從而提升學(xué)生的思維能力。

4.作為試題背景重構(gòu)式呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)文化題，歸根結(jié)底還是數(shù)學(xué)題。數(shù)學(xué)題中所展現(xiàn)的思維能力和推理能力在數(shù)學(xué)文化題中不可或缺。因此，對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化題進(jìn)行改編，進(jìn)一步挖掘古代名題的價(jià)值，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，必然會(huì)成為數(shù)學(xué)文化題命制的一道新風(fēng)景。然而改編試題并不是憑空的靈機(jī)一動(dòng)，而是務(wù)實(shí)的水到渠成，要基于試題的“形”與“意”，發(fā)掘其中所蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)味”，讓“舊瓶裝新酒”或者讓“新酒入新瓶\"，從而真正賦予傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化題新的生命力。目前常見的數(shù)學(xué)文化題改編方式有調(diào)換題目的條件和目標(biāo)，考察學(xué)生的逆向思維能力；對(duì)數(shù)學(xué)文化元素中的關(guān)系進(jìn)行再探究，考察學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力等。這種重構(gòu)式改編，數(shù)學(xué)文化元素在試題中作為背景素材，讓學(xué)生感覺親切；但仔細(xì)品味試題的內(nèi)涵，又讓學(xué)生感到新鮮。

2024年泰安卷第18題：我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問(wèn)價(jià)”問(wèn)題，其內(nèi)容大致如下：用九百九十九文錢，可買甜果、苦果共一千個(gè)，若……，………，試問(wèn)買甜果、苦果各幾個(gè)？

若設(shè)買甜果 x 個(gè)，買苦果y個(gè)，可列出符合題意的二元一次方程組 "，根據(jù)已有信

息，題中用“……，……，\"表示的缺失的條件應(yīng)為（）

A.甜果七個(gè)用四文錢，苦果九個(gè)用十一文錢

B.甜果十一個(gè)用九文錢，苦果四個(gè)用七文錢

C.甜果四個(gè)用七文錢，苦果十一個(gè)用九文錢

D.甜果九個(gè)用十一文錢，苦果七個(gè)用四文錢

2024年武漢卷第15題：如圖2是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形ABCD.直線MP交正方形ABCD的兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，記正方形ABCD的面積為 ，正方形MNPQ的面積為 若 BE=kAE（kgt;1） ，則用含 k 的式子表示的值是____。

泰安卷第8題相對(duì)于天津卷第9題而言，不是根據(jù)條件用方程解決古代名題這種直線型的呈現(xiàn)，而是由方程反推題目條件，是對(duì)常見問(wèn)題進(jìn)行了逆向考察。這種考察方式不僅僅指向?qū)W生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，也指向?qū)W生的思維能力和思維品質(zhì)，真正體現(xiàn)了素養(yǎng)立意，這種改編模式是命制數(shù)學(xué)文化題的一個(gè)創(chuàng)新方式，也為數(shù)學(xué)文化題的命制提供了一個(gè)新思路。武漢卷第15題是通過(guò)添加一條線、新增一個(gè)量，改變了趙爽弦圖研究的傳統(tǒng)視角，賦予了趙爽弦圖新的研究?jī)?nèi)容，拓寬了趙爽弦圖作為數(shù)學(xué)文化題素材的應(yīng)用范圍，這無(wú)疑給人于熟悉處見驚喜的感覺，無(wú)論是從試題的公平性，還是從試題的區(qū)分度，亦或是試題的創(chuàng)新度而言，都是一個(gè)不錯(cuò)的嘗試。這種對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化題的改編進(jìn)一步挖掘了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化題的價(jià)值，對(duì)學(xué)生推理能力的要求更高，也是數(shù)學(xué)文化題未來(lái)發(fā)展的一個(gè)趨勢(shì)，逐漸得到了許多命題者的青睞。因此，平時(shí)教學(xué)中，教師要有意識(shí)的對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化題進(jìn)行改編或再探究，提升學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

5.作為試題底蘊(yùn)隱藏式呈現(xiàn)

目前，數(shù)學(xué)文化題總體有一個(gè)顯著標(biāo)識(shí)，就是把“數(shù)學(xué)文化當(dāng)作衣服”，命題者往往會(huì)從拓寬“衣服”的來(lái)源、提升“衣服”的辨識(shí)度等方面強(qiáng)調(diào)命制的試題屬于數(shù)學(xué)文化題。然而，數(shù)學(xué)文化不應(yīng)只成為數(shù)學(xué)題的裝飾物，數(shù)學(xué)文化中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)等更值得我們的關(guān)注和重視。數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)等若成為數(shù)學(xué)題的考察指向，無(wú)疑加大了試題的命制難度，但卻提升了試題的品質(zhì)。將數(shù)學(xué)文化的相關(guān)背景、知識(shí)、思想方法作為試題的底蘊(yùn)，把數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵、意蘊(yùn)整合到數(shù)學(xué)試題中，讓數(shù)學(xué)文化的元素與試題融合成一個(gè)有機(jī)體，實(shí)現(xiàn)“隨題潛入意，考察細(xì)無(wú)聲”的效果，這將是數(shù)學(xué)文化題命制的更高維度。統(tǒng)觀各地中考卷，不乏一些隱藏式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的試題，這些試題處處不提文化，但處處有文化，這是命題人的匠心獨(dú)具，也是數(shù)學(xué)文化題命題發(fā)展的必然趨勢(shì)。

2024年德陽(yáng)卷第17題：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲組同學(xué)給乙組同學(xué)出示了一個(gè)探究問(wèn)題：把數(shù)字1至8分別填入如圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于1。經(jīng)過(guò)探究后，乙組的小高同學(xué)填出了圖中兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字ab（如圖3），你認(rèn)為a可以是 _（填上一個(gè)數(shù)字即可）。

2024年上海卷第22題：同學(xué)用兩幅三角板拼出了如圖4所示的平行四邊形，且內(nèi)部留白部分也是平行四邊形（直角三角板互不重疊）。

（1）若直角三角形斜邊上的高都為h，求： 兩個(gè)直角三角形的直角邊（結(jié)果用h表示）； 平行四邊形的底、高和面積（結(jié)果用h表示）；

（2）請(qǐng)畫出同學(xué)拼出的另一種符合題意的圖，要求： 不與給定的圖形狀相同； 畫出三角形的邊。

德陽(yáng)卷第17題是一道數(shù)字游戲題。中國(guó)最著名的數(shù)字游戲題是幻方（也叫縱橫圖），它是我國(guó)傳統(tǒng)智力游戲，其起源與“河圖”“洛書”有密切關(guān)系，是中國(guó)數(shù)學(xué)文化中的一個(gè)經(jīng)典標(biāo)識(shí)。該題雖不是傳統(tǒng)意義上的幻方題，但也是研究數(shù)字之間的關(guān)系，考察學(xué)生的數(shù)感和推理能力，與幻方有類似的內(nèi)涵與神韻，可以理解成幻方的變式題。上海卷第22題是對(duì)趙爽弦圖的改編，應(yīng)用了趙爽弦圖的結(jié)構(gòu)，弱化了趙爽弦圖的條件，這種改編與武漢卷第15題的改編方式又不相同。這類問(wèn)題將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化題的底蘊(yùn)隱藏在試題中，對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化問(wèn)題進(jìn)行變式或改編，不僅更能有效的考察學(xué)生的問(wèn)題解決能力，同時(shí)也使數(shù)學(xué)文化試題作為中考考題時(shí)更具有公平性。然而，這類試題的命制對(duì)命題人提出了更高的要求，需要命題者能“通題情，達(dá)題意”“悟題源，拓題意”。因此，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法、精神和觀點(diǎn)。

三、中考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)文化元素的思考

隨著新課標(biāo)、新教材、新中考的逐步實(shí)施，“數(shù)學(xué)文化熱\"將會(huì)成為一種勢(shì)不可擋的潮流。無(wú)論是課堂教學(xué)還是中考命題甚至是高考命題，數(shù)學(xué)文化元素在其中的作用和呈現(xiàn)形式將會(huì)得到進(jìn)一步的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)或試題命制的融合度將會(huì)得到進(jìn)一步的研究。從2024年中考數(shù)學(xué)試題中數(shù)學(xué)文化元素與試題的融合程度看，各種類型的數(shù)學(xué)文化題融合度不盡相同（見表1）。

1.數(shù)學(xué)文化題的命題思考

數(shù)學(xué)文化題因其特有的價(jià)值，在今后的中考中勢(shì)必會(huì)持續(xù)、大量的出現(xiàn)。數(shù)學(xué)文化元素呈現(xiàn)的方式除了上述五種情況也包括其組合，然而，數(shù)學(xué)文化元素與試題的融合度、文化素材來(lái)源、命題方式以及考察指向仍有許多提升的空間。筆者認(rèn)為，未來(lái)數(shù)學(xué)文化題存在以下命題趨勢(shì)。

數(shù)學(xué)文化元素的來(lái)源可以進(jìn)一步拓寬。數(shù)學(xué)文化 ≠ 數(shù)學(xué) + 文化。簡(jiǎn)而概之，數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)家從事數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，遵守共同的數(shù)學(xué)規(guī)則，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的、歷史的沉淀，形成的許多關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)精神、思想方法、思維方式的共同約定5。數(shù)學(xué)文化題中數(shù)學(xué)文化元素的來(lái)源不僅僅是數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)名著名題，也可以向數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系方面延伸，還可以向數(shù)學(xué)精神、思想方法、思維方式等方面拓寬，以此進(jìn)一步發(fā)揮好數(shù)學(xué)文化的德育價(jià)值、美育價(jià)值、思維訓(xùn)練價(jià)值。當(dāng)然，教材中涉及的數(shù)學(xué)文化元素也值得進(jìn)一步使用。

數(shù)學(xué)文化題命題方式可以進(jìn)一步改進(jìn)。分析近幾年中考中的數(shù)學(xué)文化題，主要特征是呈現(xiàn)方式以點(diǎn)綴式和復(fù)制式居多，應(yīng)用式、重構(gòu)式、隱藏式較少；題型以選擇題、填空題居多，解答題較少；另外，數(shù)學(xué)文化題中探究題、開放題數(shù)量也很少。以2019年120份中考數(shù)學(xué)試卷中具有文化特征的63道試題為例，其中選擇題、填空題、解答題分別為36道、16道、11道。總體而言，數(shù)學(xué)文化題的命題方式較為傳統(tǒng)。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因是數(shù)學(xué)文化題雖熱，但對(duì)其命題方式的研究卻冷；數(shù)學(xué)文化題素材來(lái)源雖多，但系統(tǒng)挖掘的卻少。因此，數(shù)學(xué)文化不僅在課堂教學(xué)中的關(guān)注度要進(jìn)一步加強(qiáng)；數(shù)學(xué)文化題命制的方法、策略和價(jià)值要進(jìn)一步研究。特別地，需要開展數(shù)學(xué)文化題命題實(shí)踐培訓(xùn)，提升數(shù)學(xué)文化題命制水平。

數(shù)學(xué)文化考察的指向可以進(jìn)一步深挖。數(shù)學(xué)文化不能淪落為數(shù)學(xué)文化題的外衣，也不能成為數(shù)學(xué)文化課的點(diǎn)綴，數(shù)學(xué)文化應(yīng)該基于文化視角挖掘數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。考察知識(shí)、激發(fā)興趣是數(shù)學(xué)文化的淺層價(jià)值，關(guān)注數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)理性精神、實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人才是數(shù)學(xué)文化的深層價(jià)值。因此，數(shù)學(xué)文化題考察的指向不僅僅是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，也應(yīng)該是基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還可以指向?qū)W生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題的能力。基于此，數(shù)學(xué)文化應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)命題的寶庫(kù)，教師應(yīng)積極探尋數(shù)學(xué)文化可以涉及、達(dá)到的育人廣度和高度。

2.數(shù)學(xué)文化的教學(xué)思考

中考試題的導(dǎo)向勢(shì)必會(huì)影響教師的課堂教學(xué)。數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)學(xué)文化將成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)。然而，數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中所體現(xiàn)的價(jià)值應(yīng)值得我們進(jìn)一步思考與研究。

挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的文化內(nèi)涵，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值。雖然數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵尚無(wú)統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，但這不能否定數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著文化價(jià)值，數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)學(xué)科中有中豐富的育人價(jià)值。如，學(xué)習(xí)“有理數(shù)乘方”內(nèi)容后，可以讓學(xué)生觀察這三個(gè)式子： ，并談?wù)劯髯缘捏w會(huì)。這三個(gè)式子不僅能讓學(xué)生感受到指數(shù)級(jí)變化的差異之大，同時(shí)也有一定的育人價(jià)值。再如，學(xué)習(xí)“仰角和俯角”概念時(shí)，教師可以結(jié)合手勢(shì)模擬仰角與俯角的圖示并配以“仰望星空，腳踏實(shí)地”的旁白，不僅形象展示了仰角、俯角的概念，也讓學(xué)生感受到“數(shù)學(xué)有道理”。數(shù)學(xué)學(xué)科中有豐富的文化內(nèi)涵，或顯性或隱性，教師也無(wú)需“大張旗鼓”的宣揚(yáng)某處有數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)文化當(dāng)在“隨風(fēng)潛入夜、潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”中彰顯其育人價(jià)值。

加強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的課堂滲透，提升數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值。數(shù)學(xué)文化所代表的思想、方法、精神往往蘊(yùn)含在一些簡(jiǎn)單、樸素的知識(shí)或環(huán)節(jié)中，課堂教學(xué)中要有意識(shí)予以體現(xiàn)。如，“物以類聚”的分類思想，能夠作為學(xué)生學(xué)習(xí)“合并同類項(xiàng)\"時(shí)的元認(rèn)知。教學(xué)時(shí)可以設(shè)計(jì)\"清點(diǎn)捐款\"這個(gè)情境，喚醒學(xué)生\"同類（相同面額的錢幣）\"可以“合并（歸在一起）”的樸素觀點(diǎn)，將生活思維與數(shù)學(xué)思維進(jìn)行關(guān)聯(lián)。再如，初中學(xué)習(xí)“二元一次方程組”是通過(guò)“雞兔同籠”問(wèn)題引人的，而“雞兔同籠”問(wèn)題又是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中的經(jīng)典問(wèn)題。中國(guó)古人在數(shù)學(xué)中取得了許多重要成就，寫出了許多重要著作，呈現(xiàn)了大量的著名問(wèn)題。因此教學(xué)時(shí)可以從《孫子算經(jīng)》入手，介紹其他名著；也可以從“雞兔同籠”問(wèn)題切入，呈現(xiàn)其他可以用二元一次方程組解決的問(wèn)題，如《算法統(tǒng)宗》里的“李三公開店”問(wèn)題、“百僧百饃”問(wèn)題等。采用類似的方式，數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)課堂的滲透便水到渠成了。

創(chuàng)新數(shù)學(xué)文化的呈現(xiàn)方式，拓展數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值。數(shù)學(xué)文化如同“衣服”，在課堂中往往希望被一眼看破。這其實(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)文化的誤解。數(shù)學(xué)所體現(xiàn)的理性精神、學(xué)科思維能力有時(shí)也要抽絲剝繭般的娓娓道來(lái)。如，在學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法時(shí)，如何讓學(xué)生體會(huì)到“負(fù)負(fù)得正\"有其合理性呢？可以先介紹袁隆平院士學(xué)習(xí)“負(fù)負(fù)得正\"時(shí)的小故事，再介紹東西方對(duì)負(fù)數(shù)認(rèn)識(shí)和理解的差異以及負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)對(duì)西方數(shù)學(xué)家造成的困擾，然后再通過(guò)介紹幾個(gè)現(xiàn)實(shí)模型讓學(xué)生感受到“負(fù)負(fù)得正”的合理性，最后再用運(yùn)算律說(shuō)明負(fù)負(fù)為什么得正。在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家曾經(jīng)遇到的困惑，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的合理性，從而不斷培養(yǎng)學(xué)生的理性精神和推理能力，不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科思維能力，進(jìn)而賦予數(shù)學(xué)文化更強(qiáng)的生命力。

總之，中考中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化題只是數(shù)學(xué)教育關(guān)注數(shù)學(xué)文化的一個(gè)外延。課堂教學(xué)不是因?yàn)橹锌汲霈F(xiàn)了數(shù)學(xué)文化題而關(guān)注數(shù)學(xué)文化，而是數(shù)學(xué)文化所蘊(yùn)含的育人價(jià)值值得我們關(guān)注。作為數(shù)學(xué)教育工作者，需要不斷修煉“內(nèi)功”，充分尋找、發(fā)現(xiàn)、挖掘數(shù)學(xué)文化素材，應(yīng)用到數(shù)學(xué)育人的過(guò)程中，從而更好的實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的價(jià)值。

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