時滯型微分方程解的振動性研究

摘"要：時滯型微分方程是研究體系過去時態變化對當前體系變化趨勢影響的重要內容，而時滯型微分方程解的振動性研究在數學、物理等多個領域中均有重要意義，更加清晰地描述振動系統，對系統穩定性與振動特征規律進行預測，從而加速數學與物理領域的交叉研究。首先，本文以一個典型且簡單的時滯系統描述了常時滯微分方程，構建常態時滯微分方程，總結時滯型微分方程求解方法，以及解的振動性描述特征，得出時滯型微分方程解的振動性分析方法。其次，設定［r（t）x′（t）α－1x′（t）］′+q（t）x（τ（t））β-1x（τ（t））=0這一二階時滯微分方程，證明了方程解的振動性判斷依據與時滯方程本身的振動性，實現對時滯型微分方程解的振動性研究的總結與改進。

關鍵詞：時滯型；微分方程；解的振動性

在解決現實生活問題過程中，常發現某系統體系變化趨勢與當前或過去狀態有著直接關系，該現象就被稱為“時滯”［1］。時滯現象廣泛存在于實際生產生活中，導致時滯出現的因素較多，而時滯的出現可能會惡化并破壞某系統體系整體穩定性，也對分析系統運行造成困擾，基于此，關于時滯型微分方程的研究一直以來都是熱門話題［2］。而振動理論則是微分方程研究中的重要方向，無論是電磁振動，還是控制系統的自激振動，都屬于振動理論范圍。因此，時滯型微分方程解的振動性研究，對揭示物理現象、解決現實問題有著重要意義。目前關于時滯型微分方程解的振動性理論分析發展迅速，從一階、二階到高階，從線性到非線性，本文進一步總結時滯型微分方程解的振動性理論，為解決該類事件問題提供參考借鑒［34］。

1"時滯系統與時滯型微分方程

以一個典型案例來解釋時滯系統。某人正在洗澡，其所期望的水溫為Td，依靠熱水器旋鈕控制水溫。打開開關后，水流從花灑流到他的頭頂，水流離開花灑的溫度表示為T（t），水流從花灑到頭頂的時間表示為h［57］。假設T（t）與熱水器旋鈕角度呈正相關關系，熱水器旋鈕角度變化率與T（t）－Td成正比。在時間t內，該人所感受的水溫表示為T（t－h），在不考慮花灑管道長度的情況下，該人所感受到的水溫一直滯后于水流離開花灑時候的溫度。根據以上描述，就可構建一種常時滯微分方程：

T（t）=-k［T（t-h）-Td］（1）

其中k為常數，k∈R。

基于以上簡單案例的描述可以知道，時滯型微分方程是當前時間的解與過去時間的解相關的常微分方程。影響時滯的因素有很多，包括時間、狀態、導數等，也可以無變化。若想開始積分就需要在歷史解的幫助下開始，以此來求得初始積分獲取前的時間的解［8］。一般的常時滯微分方程形式表示為：

y′（t）=f（t，y（t），y（t－τ1），…y（t－τk））（2）

式（2）中，t為自變量，y為因變量中的列變量，y′則為y對于t的一階導數。其中，時滯因素或現象表示為τ1，保持在正常范圍中［9］。

時滯型微分方程的解一般保持連續，但導數卻不連續。

2"時滯型微分方程求解與解的振動性

2.1"時滯型微分方程求解

以式（3）表示的時滯微分方程為例：

x（t）=－x（t－h）（3）

其中，x（t）∈R，h＞0，t≥0.

式（3）中，為求得t在時間0—h范圍中的解，需要定義t∈（0，h）范圍中的x（t-h），在t∈（0，h）的情況下，x（t）的變化率x′（t）由x（t-h）決定，本質上，式中t的變化率由（t-h）時刻狀態決定。由此初值函數可被定義為（4）：

x（s）=（s）（4）

其中x（s）=（s），s∈［-h，0］.

式（3）的解可結合分步法、計算特定點的解、歷史解和初始值、時滯微分方程不連續性求得。

時滯型微分方程解分為穩定性與振動性兩種，依靠方程在平衡點附近線性化系統的特征方程進行判斷。在方程常數t0＞0，且t＞t0的時候，方程解x（t）＞0或＜0，此時所求得的方程解為正解或負解。在方程解不是正解或負解的情況下，則表示時滯型微分方程解具有振動性［10］。在方程解是振動的情況下，若其具有零點，則為非振動；若方程所有解都具有振動性，那么該方程就是振動的。

2.2"解的振動性

振動性是指所求解在某區間范圍內重復改變自身符號，也就是說該解與某個特定值存在重復交叉現象，或稱為圍繞某特定值出現重復振蕩現象。時滯型微分方程解的振動性，指的是在某一時間區間內，所求得的解圍繞某數值并重復穿越該數值的現象。一般情況下，可基于方程自身形式特征與所描述問題背景，得出解的振動性依據。對于時滯微分方程來說，其解的振動性與時滯項之間存在緊密聯系，即發生時滯的條件、類型等因素，直接決定振動性發生性質，整體分析更加復雜多變，通常依靠比較原理、Lyapunov函數等措施、方法進行綜合判斷。

時滯微分方程解的振動性通常具有以下特征：第一是零點分布，所求得的解在定義區域范圍中存在大量零點，且零點按照時滯項的特征與需求，圍繞某規律運行與分布；第二是振幅變化，時滯微分方程的振動解存在振幅變化現象，并能隨著時間推移或迭代次數變化而發生改變；第三是穩定性，時滯微分方程解的振動性在一定條件下會保持穩定，該條件通常為方程初始條件變化極其微小時，才能保持解振動性的穩定［11］。

3"時滯型微分方程解的振動性分析方法

3.1"特征方程

對于二階常系數齊次線性微分方程y″+py′+qy=0來說，如果函數y=f（x）是該方程的解，則該函數需要滿足y″、y′、y之間只差系數的關系，能夠滿足這種條件的函數只有指數函數。對指數函數求其一階導數y′、二階導數y″，并將y″、y′、y代入原方程，化簡后可得到一元二次方程，該方程就是二階常系數齊次線性微分方程的特征方程。特征方程可用于解決線性時滯微分方程解的振動性分析。基于線性時滯微分方程的線性系統特征可以看出，系統對激烈的反應是線性的，系統本身也是線性的，可采用疊加組合性質直接求解。由于微分方程時滯項的影響，所轉化的特征方程對應初始條件與變化條件不為0，系統存在激勵，方程形式可能是超越方程，因此所求解可能是復數根，從而對解的振動性造成直接影響［12］。

3.2"Lyapunov函數

Lyapunov"Function（李亞普諾夫函數）也是分析時滯微分方程解的振動性的一種方法，與特征方程相反，該函數主要針對非線性系統穩定性判斷。根據時滯微分方程的時滯條件，構建形成Lyapunov函數，判斷所求解在某個特定區域或平衡點中的振動情況，尤其關注振動穩定性與振幅變化。該函數以系統穩定性判別方式研究所求解振動性。

3.3"比較法

在特定情況下，時滯微分方程與常微分方程的對比，能夠對原時滯微分方程解的振動性進行推斷。但使用該分析方法，需要兩個方程之間存在一定聯系，包括符號關系、解的數值等，由此得出原時滯微分方程振動性的產生條件與信息類別。

3.4"數值法

通過解析時滯系統振動變化情況，加上數值模擬與物理分析，得出時滯微分方程解的近似值，根據數值變化繪制出對應圖像，以此更加直觀地洞悉解的振動性。以兩端固定弦的自由振動為例，弦是樂器發聲裝置，在力的作用下產生形變振動并發聲，振動形式為物理中較為簡單的簡諧波［13］。簡諧波前行遇到固定端點反射回來成為同頻率的反向波，與原來的波疊加稱為駐波，即波形沒有傳播的波。在駐波中，不同點的振動同步，有相同的規律，不同的僅是振幅，因此駐波可表示為u（t，x）=T（t）X（x）u（t，x）=T（t）X（x）u（t，x）=T（t）X（x），這是一種變量分離形狀的解。

4"二階時滯微分方程解的振動性

設定一個二階時滯微分方程為：

［r（t）|x′（t）α－1|x′（t）］′+q（t）|x（τ（t））|β－1x（τ（t））=0（5）

其中t≥t0。

上述方程中滿足這些條件：

（A1）α＞β＞0；

（A2）x（t）＞0，τ（t）∈C1［t0，∞］，r（t）＞0，r′（t）＞0，τ（t）≤t，τ′（t）＞0；

（A3）q（t）∈C［t0，∞］，q（t）≥0；

（A4）∫∞t0r－1α（t）dtlt;∞；

那么可假設在條件（A1-A4）下，x（t）為上述二階時滯微分方程的最終正解。在滿足t≥t0，且x′（t）＜0的情況下，該公式中存在某常數c＞0，從而得出x（t）≥cπ（t），其中π（t）表示為：r（t）|x′（t）α－1|x′（t）。其中：

x（t）=∫∞t0r－1α（s）ds

證明：由式（5）得：

［r（t）|x′（t）α－1|x′（t）］′=－q（t）|x（τ（t））|β－1x（τ（t））

并由于x（t）＞0且x′（t）＜0，得出：

［r（t）（－x′（t）α）］′=q（t）xβ（τ（t））

其中t≥t0，進而得出r（t）（－x′（t）α）單調遞增，由此得出：

r（s）（－x′（s））α≥r（t）（－x′（t））α

其中s≥t≥t0

轉化為：

－x′（s）≥（r（t））1α（－x′（t））1r（s）1α

不等式在［t，u］上積分為：

x（t）≥x（u）+r（t）1α（－x′（t））∫ut（1r（s））1αds≥（r（t））1α（－x′（t））∫1t1r（s）1αds

在u→∞的條件下，得出：

x（t）≥x（u）+r（t）1α（－x′（t））∫∞t1r（s）1αds=（r（t））1α（－x′（t））π（t）

若c=r1α（t0）（－x′（t0）），

即x（t）≥cπ（t）。

假設在條件（A1A4）下，x（t）為上述二階時滯微分方程的最終正解，則有

0lt;w1（t）πα（t）≤1

w1（t）=r（t）（－x′（t））αxα（t）

由于

x（t）－（r（t））1α（－x′（t））π（t）≥0

則

1－（r（t））1α（－x′（t））x（t）π（t）≥0

據以上分析，證明二階時滯微分方程解的振動性，在條件（A1A4）下，x（t）為上述二階時滯微分方程的最終正解，則

∫∞t0p（t）q（t）－r（t）（p′（t））β+1（1+β）1+β（p（t）τ（t））βcmdt=∞

∫∞t01r（s）∫sTq（u）πβ（u）du1αds=∞

其中p（t）∈C1（t0，∞），（0，∞），m∈（0，1），cm=m1α-β。從而式（5）具有振動性。

以二階時滯微分方程為例，在考慮限制條件的情況下，基于方程時滯特征與可能出現的振動表現，證明時滯型微分方程解的振動性，即∫∞t01r（s）∫sTq（u）πβ（u）du1αds=∞。

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基金項目：2024年度云南省教育廳科學研究項目“一類非線性微分方程的振動性研究”（2024J0932）；2022年度云南省教育科學規劃單位資助項目“人教版小學數學教材中中華優秀傳統文化的滲透研究”（BE22034）；2023年度云南省教育廳科研資助項目“基于‘雙減’背景下的小初數學有效教學銜接策略及實踐研究”（2023J1010）；2022年度曲靖市教育體育局·曲靖師范學院教育科學規劃聯合項目“‘雙減’背景下數學史與數學文化融入小學數學教學的實踐研究”（QJQSKT2022YB08）

作者簡介：羅紅英（1982—"），女，云南曲靖人，碩士研究生，教授，主要從事微分方程、無窮維動力系統、數學史與數學教育研究；孫德貴（1983—"），男，漢族，云南曲靖人，本科，中學高級，研究方向：數學教育；宋遠芬（1981—"），女，漢族，云南曲靖人，本科，中學高級，研究方向：數學教育。