基于大概念的高中數學復數教學的有效策略

在當前的課堂教學環境中，由于時間和學生知識水平的限制，教師通常無法全面展示知識的形成和演變過程，更不用說幫助學生建立知識概念之間的復雜聯系。大概念教學法對教師理解學科知識框架提出了極高的要求。為了滿足不同需求或目標，教師在教學過程中要確保正確講授教材中的知識概念，還要揭示概念的生成過程。這樣才能讓教學的內容變得更加豐富，幫助學生理解和掌握知識的核心要領。理想的教學成果，并非堆砌繁雜的知識點，而是讓學生通過主動探索和構建，最終形成結構化的知識網絡，并深刻領悟基本的規律和方法。

在這個過程中，教師的角色轉變成引導者和促進者，他們通過精心設計教學活動，引導學生探索和發現知識的內在聯系，培養學生的批判性思維和問題解決能力。大概念教學法不僅是一種教學方法，更是一種教育理念，它鼓勵學生跳出傳統的知識框架，去探索、去創新，從而真正理解和掌握數學的本質。

科學是尋求真理道路上的點滴發現，建立在確鑿無疑的事實之上。然而，若僅僅是事實的堆砌，缺乏邏輯的串聯，那便不足以稱之為科學。數學尤其需要這樣的邏輯鏈條來串聯。在現代教育環境中，教師應圍繞數學大概念進行教學規劃和設計，在教育過程中培養學生的理性思維和科學精神，從而豐富學生的學習維度，促進學生對知識的深層次理解和應用。在這樣的框架下，數學教學不再是簡單的知識傳遞，而是成為一場理性的探險、一場思維的盛宴。

一、教學情分析

盡管在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標\"）中“復數的三角表示\"已不再是考試的必備內容，但它作為競賽（說課）

活動的主題，卻蘊含著深刻的思考價值。復數概念的引人，本身就是數學領域充滿創造力的理論飛躍。數學學習是揭示數字和結構之間關系的過程，更是探索和創造的過程，體現了從基本需求到建立完整科學體系的逐步發展路徑。在這個過程中，數學思維的理性力量在創新中扮演著重要的角色。然而，僅僅通過遵循固定的規則來解決數學題目并不能充分展現這種思維方式的強大動力。以復數乘法為例，它是復數單元中的核心概念，展示了復數作為工具在實際應用中的重要作用。復數乘法的學習過程不僅涉及數字和代數的基本操作，還深入揭示了復數概念背后的深層數學原理。通過理解和掌握復數乘法，學生能夠更好地應用復數知識解決實際問題，從而加深對數學整體概念的理解。

在課標中，復數的三角表示被劃分為可選學習內容，高考主要考查復數的四則運算及其基礎的幾何意義。但在課程設置上，復數的三角表示卻與核心必修內容并行。這種課程設計主要基于兩個關鍵原因：首先，復數的三角表示能將復數、向量以及三角函數融為一體，構建起一個完整的知識體系。其次，它為簡化特定復數的乘法和除法運算提供了新的途徑，在數學計算中扮演了重要角色。更為重要的是，復數的三角表示是揭示復數乘法幾何意義的關鍵所在，對于深化學生的復數概念理解具有重要作用。

筆者認為，教學目標不應止步于復數的兩種表示形式的淺嘗輒止，而是要引導學生深入探究復數與代數、向量、幾何之間的聯系。教師可激發學生深入探究：“為何復數的代數形式需要轉換為三角形式？”這不僅能夠提升學生的直觀想象、邏輯推理和數學計算能力，還能夠培養他們深入解決問題的能力。

二、教學過程

（一）導入

教師：在數學的廣袤宇宙中，有一個公式如同明星般閃耀— （板書），它是許多數學分支的基石。這個公式就是歐拉公式。它究竟包含了哪些深奧的數學概念？它是如何將復數的乘除運算與三角函數聯系起來的呢？

同學們已經掌握了復數乘除法，本節課我們將探索復數的三角表示方法，也就是指數形式。我們將介紹棣莫弗定理，利用復數的三角表示來闡釋復數乘除法的幾何含義。通過這些學習，同學們將更深入地理解復數在數學中的地位和作用，以及它們在現實世界中的應用。

（二）教學內容

1.計算N

（學生動筆計算，完成后教師出示答案。）

解：由定義可知， ，可得 ，所以計算

結果為

教師小結：我們根據這道例題可以看出，純虛數在計算冪時具有一定便利性。然而復數往往并非純虛數。

2.找規律：探索 的規律 ）

教師出示解題步驟：

已知 ，所以可得 根據上述規律進行計算可得 Z），由此得出結論， 的循環周期為8，而8是實數。

教師：分析上述題目，你們發現了什么規律？

學生：這些例題看起來都存在周期性。

$＼blacktriangle$ 任務一：尋找其他具有類似周期性的復數冪運算例子，并試著計算它們的冪次，描述你觀察到的周期性。

（學生思考。）

教師：如何簡潔地描述這種周期性的規律呢？

學生：如果我們在直角坐標系上繪制這些復數，可能會更容易看出周期性的規律

教師：非常正確。通過在復平面上繪制這些復數的冪次，我們不僅能夠直觀地感受到周期性，還能欣賞到數學的美。現在，讓我們在復平面上描繪出前面兩個例題中的復數冪次。

（教師出示圖1、圖2）

教師：觀察后，你們有何發現？

（學生積極討論，并提出各自的見解。）

教師小結：回顧一下，我們在復平面上表示復數時，主要關注兩個關鍵屬性一復數點至原點的距離（即模長），該點與實軸正方向的夾角（即輻角）。通過這些圖形，我們可以觀察到，當我們對復數 i 進行冪運算時，其對應的向量圍繞原點進行周期性的旋轉，但這種旋轉并不改變向量的長度。當我們對另一個復數進行冪運算時，雖然其輻角仍然呈現出周期性變化，但與此同時，模長卻隨著冪次的增加而相應增長。

教師：根據剛才展示的例子和圖形，我們可以從復數的幾何特性出發，深入探討復數乘冪以及乘法運算。為此，我們可以借鑒之前學過的關鍵概念復數的模長和輻角。

教師提問：既然我們決定從幾何視角切入研究復數，那應采用何種策略讓復數與幾何學產生關聯呢？

（學生積極思考并展開討論。）

教師小結：若想探究復數在復平面上的幾何行為，可以采用三角方法。即將復數的模長和輻角與其實部和虛部相對應，從而在復平面上表示復數（利用模長和輻角來揭示復數在復平面上的幾何特性）。

教師講解：復數 Z=a+b i 與向量 對應， 和實軸產生正向夾角，角度為 θ（0？θ？2π） ，我們將復數模長記作 ∣ z∣=r ，從幾何視角上來看， a=rcosθ，b=sinθ 可得 z=rcosθ+rsinθ i 。為了方便書寫，我們可以將 z= rcosθ+rsinθ i 簡化表示為 ，這就是教材上所說的“復數的指數形式”。

接下來，我們嘗試從三角的角度入手，觀察復數的乘法：

此時有兩個復數： ，那么二者相乘可得 ·$＼begin{array}{r l}amp; 我們可以結合之前所學的和差化積公式，可得

如果用指數形式來表示的話，可以得到

教師小結：你能根據我們上述的運算推斷出我們今天所學的定理嗎？

學生：在復數的三角形式中，弱項計算兩個復數的乘積，可以將它們的模相乘，然后將它們的輻角相加。這種簡化了復數乘法的復雜性，還推導出著名的棣莫弗定理—若 ，那么 r\"eino

（三）課堂練習

1.使用剛剛驗證的定理來解決 的次冪。

學生：先用三角形式表示這個復數

利用定理可得

2.已知 $＼scriptstyle{＼mathfrak{o}}=-{＼frac{1}{2}}+{＼frac{＼sqrt{3}}{2}}i$ ，計算 的值。

學生：先使用三角形式表示 ω 。

定理為 ，因此可得

3.自主嘗試推導復數相除公式（三角表示）。學生：如果用三角表示復數的除法的話，可得 $＼blacktriangle$ 任務二：從幾何角度出發，理解復數的乘除。

教師：仔細觀察圖片，你能發現什么？

學生：把兩個復數進行乘法運算，也就是讓它們各自的模長相乘，再加上它們的輻角。

教師：那除法呢？

學生：將它們的模長進行除法運算，輻角相減就可以了。

教師：復數三角形式的乘除運算要點可簡記為：模數相乘，幅角相加；模數相除，幅角相減。同學們可在習題解題過程中靈活運用這一特質，提高復數運算能力。

（四）課后練習

1.將下列復數代數式化成三角形式。

（2）1-i

2.復數 化為代數形式為。

3.已知 求 ，把結果化為代數形式，并闡述幾何解釋。

4.設πlt;0lt;5π ，則復數cos20+isin20 的幅角主值為（ ）。

A.2π-3θ C.0 D.θ-π

教師：通過這節課，你學到了什么知識？在解決這些問題時，用到了哪些數學思想？

（小組討論，分享討論結果。）

教師總結：有三角形式與代數形式的互化、三角形式的乘法、三角形式的除法等。

（五）課后拓展

1.數學巨擘棣莫弗

棣莫弗，一位在數學史上留下深刻印跡的杰出人物，他的一生見證了數學領域的巨大飛躍。1667年5月26日，他出生于法國一個充滿文化氣息的家庭中。在那個動蕩的年代，棣莫弗不僅更改了國籍，更在數學領域取得了跨越式的成就。

棣莫弗的名字與一項重要的數學定理緊密相連一一棣莫弗定理，這是他在數學領域的一大貢獻。他的研究不僅推動了這一學科的發展，還對后世產生了深遠的影響。除了上述貢獻，棣莫弗在數學的其他分支也有所涉獵，他的著作為數學理論的發展產生了深遠影響。棣莫弗的成就，至今仍然激勵著無數數學家和研究者，他的理論和思想繼續在現代數學的各個分支中發揮作用。

2.歐拉公式

我們所學的復數的指數形式還有另外一個名字—一歐拉公式，這一公式是由數學家歐拉于18世紀發現的。這一公式在數學領域具有里程碑意義，它將復數理論與三角函數相融合，為復變函數理論的研討和發展奠定了基礎。

級數定義才是指數函數的嚴格表述。一般而言，指數函數可以被定義為： 當我們進人大學，就會在微積分中看到，級數是逐漸收斂的，而且它存在兩個特質：

根據上述特質，可以提供 的嚴格指數形式定義：

三、教學反思

數學的獨到之處在于，它能憑借一些基礎的原則和觀察，通過相對簡潔的邏輯推理，讓看似截然不同思維領域的定理產生關聯。數學領域中眾多懸而未決的問題，亟須“未來的數學家們”探索新路徑，巧妙地運用現有工具，發明全新的方法來解決。本節課所提供的案例讓學生重新理解復數的運算規則，尤其是復數的乘法，為教學提供了一個獨特的視角。

在筆者看來，數學教育的核心在于展現思維理性和邏輯推理的力量。教師不應將數學教學簡化為理論教學，而應保證教學設計始終以邏輯和理性為靈魂。本節課的處理方式正是這一理念的具體體現，教師鼓勵學生以創新的思維方式，深入理解復數的四則運算，特別是復數乘法的幾何意義。通過這種方式，學生不僅能夠掌握知識，更能在解決問題的過程中，培養他們的創新思維和數學素養。

教師應對歷史上經典數學概念的產生過程進行創新性的改編，以便更好地適應課堂教學。通過解決和探討經典問題，學生能夠重新構建對概念的理解方式。在設計一系列具有數學思維的問題序列中，教師為學生提供自主探究的平臺，讓學生從真正的問題出發，通過提問、追問和反思的過程，推動課堂教學活動的有序進行，從而深化對概念的理解，

教師在教學設計中既要考慮整體布局，又要關注細節。在大概念視角下的高中數學教學中，教師應讓學生親身體驗知識的產生和發展過程，力求教學簡潔而深刻。

（作者單位：安徽省安慶市望江中學）

編輯：張俐麗