意外與美好相伴 反思與進(jìn)步相隨

1.引言

筆者在近日的一堂試卷講評(píng)課中，在講到一道圓錐曲線試題的時(shí)候，出現(xiàn)了一個(gè)美麗的小插曲.這讓筆者頗有感觸.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握，更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，制定科學(xué)合理的學(xué)業(yè)質(zhì)量要求，促進(jìn)學(xué)生在不同學(xué)習(xí)階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成.評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程.”1]當(dāng)前在一線教育教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)當(dāng)中.試卷講評(píng)課作為日常教學(xué)的常規(guī)課型，教師如何做到因材施教，最大程度地提高效率呢？下面結(jié)合這個(gè)小插曲談?wù)劰P者對(duì)試卷講評(píng)課的思考。

2.試題講評(píng)過程

題目 已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為 ，則橢圓在其上一點(diǎn) 處的切線方程為 試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：橢圓C ，點(diǎn) B 為 在第一象限中的任意一點(diǎn)，過 B 作 的切線 分別與 x 軸和 y 軸的正半軸交于 兩點(diǎn)，則 面

積的最小值為（ ）.

A.1 B.3 C. （204號(hào) D.2

筆者首先講解了這道題的一般解法（解法1），通過學(xué)校集體教學(xué)平臺(tái)“智學(xué)網(wǎng)”的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)這道試題正確率較高，且學(xué)生的解法與解法1基本相同。

解法1（教師提供）由題意可設(shè) ，則橢圓在點(diǎn) B 處的切線方程為 ·由此易知 因?yàn)辄c(diǎn) B 在第一象限且在橢圓上，因此 又點(diǎn) B 在橢圓上，故 ，由重要不等式得 經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)等號(hào)成立，符合題意.故 故選

筆者計(jì)劃講完解法1，快速進(jìn)入下一題的講解.但此時(shí)，學(xué)生1說道：“老師，我有其他解法！”并繼續(xù)說：“您這個(gè)解法我開始也想到了，后面我沒有做下去，因?yàn)槲彝袅酥匾坏仁胶突静坏仁?，我是用二次函?shù)的值域求出來的。

解法2（生1提供） 同解法1，要求 的最小值，注意到 ，根據(jù)函數(shù) y = 的單調(diào)性，易知問題等價(jià)于求 的最大值，結(jié)合函數(shù) 與 在 上都是單調(diào)遞增的，根據(jù)老師常講的表征概念，我們進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化成求 的最大值，顯然 ，結(jié)合 的范圍容易知道 ，由二次函數(shù)圖像易知：當(dāng) 時(shí)， 的最大值為 ，則 的最小值為 故選

同學(xué)們一聽立馬有聲音發(fā)出：“我也是這樣做出來的.”筆者聽后心中很是欣慰，于是趁熱打鐵追問：還有沒有同學(xué)要展示他的解法的？”

解法3 （生2提供） 可以改寫為 這樣在學(xué)生1的基礎(chǔ)上又往前推了一步，更簡(jiǎn)單了.

學(xué)生2說完，大家均表示簡(jiǎn)單是簡(jiǎn)單了一點(diǎn)，但是并沒有思想上的大不同，這時(shí)，學(xué)生3說：“我的做法和他們有本質(zhì)的不一樣，其解法如下：

解法4 （生3提供） 我們從參數(shù)方程的角度進(jìn)行考慮，把橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程改寫為參數(shù)方程 {x =√2cosθ，（θ為參數(shù)），于是 S△cO 由 都在第一象限，故 （204號(hào) ，結(jié)合正弦函數(shù)圖像我們?nèi)菀字? ，因此 的最小值為 故選

聽到這里，學(xué)生4坐不住了，他提出可以將該題進(jìn)行一般化處理

推廣 直接使用切線方程 的通式，不難發(fā)現(xiàn) ，而后就和上面學(xué)生1說的一樣，轉(zhuǎn)化為計(jì)算 的范圍問題，再用學(xué)生3的參數(shù)方程思路，依舊采用 （0，11]，那么 $S _ { ＼Delta C O D } _ { } = ＼frac { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { 2 x _ { 0 } y _ { 0 } } ＼geqslant a b .$

筆者肯定了學(xué)生4的推廣，并告知學(xué)生按照以前的分組討論推廣.接下來筆者對(duì)這道題進(jìn)行了總結(jié)概括，并給出了分析指導(dǎo)，至此這道題的講評(píng)基本結(jié)束。

3.關(guān)于試卷講評(píng)課的幾點(diǎn)思考

3.1 鼓勵(lì)學(xué)生積極參與試題研究

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，試卷講評(píng)課是不可或缺的一種課型.教師為了跟進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程、監(jiān)測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，會(huì)安排多次模擬測(cè)試，此時(shí)試卷講評(píng)課就會(huì)高頻呈現(xiàn).這時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)普遍的現(xiàn)象，教師為了到達(dá)課程預(yù)設(shè)的進(jìn)度，往往只是在課上唱獨(dú)角戲.表面上似乎學(xué)生學(xué)到了很多知識(shí)，實(shí)際上有相當(dāng)一部分學(xué)生處于一知半解的狀態(tài).隨著高考評(píng)價(jià)體系的實(shí)施，高考命題已經(jīng)從能力立意轉(zhuǎn)變?yōu)閮r(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基，因此關(guān)鍵能力是高考重要的考查目標(biāo)，是測(cè)試和評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)和因素[2].我們教師應(yīng)該學(xué)會(huì)讓試卷講評(píng)課重點(diǎn)突出，對(duì)典型試題進(jìn)行深度挖掘，鼓勵(lì)學(xué)生多想、多講，做到你講、我講、大家講.語言（包括口頭語言及書面語言）表達(dá)能力，是學(xué)生適應(yīng)學(xué)習(xí)、生活、未來工作的基本能力.語言表達(dá)能力與閱讀理解能力既相互聯(lián)系又彼此對(duì)應(yīng)，其操作對(duì)象都是語言，閱讀理解是信息輸人的過程，語言表達(dá)是信息輸出的過程，閱讀理解是正確表達(dá)的基礎(chǔ)，語言表達(dá)是閱讀理解結(jié)果的呈現(xiàn).通過這樣的形式可以促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展，這樣的課堂才是有生命力的課堂.這樣的試卷講評(píng)課一旦形成習(xí)慣，看似容量很小的課堂其厚度無限增加，真正做到了快樂學(xué)習(xí)、有效教學(xué)、師生共同成長。

3.2 注重分層教學(xué)在試卷講評(píng)課中的應(yīng)用

關(guān)于分層教學(xué)的論述很多，具體做法更是各有千秋.筆者認(rèn)為在試卷講評(píng)課進(jìn)行分層教學(xué)，最容易落地的舉措就是進(jìn)行一題多解，不同解法之間總是存在這樣或者那樣的聯(lián)系，這些聯(lián)系或是顯性的或是隱性的.例如，本文中所提及的解法1和解法3，其本質(zhì)都是使用基本不等式，僅僅是呈現(xiàn)形式不一樣.另外解法2的實(shí)質(zhì)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，它與解法1和解法3都是從函數(shù)變量的視角去討論的，因?yàn)榻^大多數(shù)均值不等式經(jīng)過變量替換等過程最終也會(huì)轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)的最值問題.最后的推廣也是來源于筆者平時(shí)與學(xué)生的交流，通過將問題條件弱化或在圓錐曲線內(nèi)部進(jìn)行類比、遷移的探究，體現(xiàn)了部分學(xué)有余力的學(xué)生融會(huì)貫通的能力.多數(shù)學(xué)生能夠根據(jù)自身的思維能力，有效掌握里面的一種或幾種解法，那么這節(jié)課對(duì)他們來說就是有效的，他們也會(huì)在課堂上收獲滿滿的學(xué)習(xí)成就。

3.3 營造民主平等、寬松愉悅的課堂氛圍

任何好的課堂都需要民主平等、寬松愉悅的環(huán)境，只有教師積極營造良好的課堂情感基調(diào)才能最大程度地讓學(xué)生在放松的狀態(tài)下去學(xué)習(xí).由于試卷講評(píng)課是在考試之后進(jìn)行的，許多學(xué)生還沉浸在考試的喜悅與悲傷之中，教師不能對(duì)此熟視無睹，尤其不能一味地責(zé)怪學(xué)生，否則就會(huì)使學(xué)生對(duì)講評(píng)課失去興趣，磨滅學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探索欲望3．因此，要想上好講評(píng)課，教師首先要以表揚(yáng)和鼓勵(lì)為線索，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的長處，肯定學(xué)生的努力和進(jìn)步.在教學(xué)中，教師為學(xué)生留下足夠的思維空間和探究機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生樂于闡述自己的理解，這是為了深層次的達(dá)成明確的教學(xué)目標(biāo)、落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)[4]．比如前文提及的，筆者對(duì)學(xué)生給出的新解法加以表揚(yáng)，讓學(xué)生在表揚(yáng)中獲得滿足感和努力學(xué)習(xí)帶來的榮譽(yù)感，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心。

3.4始終保持學(xué)無止境的謙遜心態(tài)

一些教師上試卷講評(píng)課，習(xí)慣使用“智學(xué)網(wǎng)”“學(xué)科網(wǎng)”等教學(xué)輔助軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，而后進(jìn)行精準(zhǔn)教學(xué)，學(xué)生錯(cuò)哪講哪，絕不多講、節(jié)外生枝，惜時(shí)如金.類似筆者這次的試卷講評(píng)課，對(duì)教師自身的專業(yè)素養(yǎng)提出很高要求.筆者有幸曾參加在深圳中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考主辦的第一屆“問題·思維·素養(yǎng)”高中數(shù)學(xué)名師優(yōu)課觀摩研討會(huì)，會(huì)上張維忠教授的講座深入淺出、旁征博引，令我折服，此時(shí)筆者才慢慢明白古人為何會(huì)有才華橫溢一詞，這就是用來形容有真才實(shí)學(xué)的學(xué)者的.經(jīng)交流，得知張教授課前做了精心備講.大學(xué)者尚且如此認(rèn)真，何況我們普通一線教師.備課過程中如何查詢?cè)囶}解答類資料？筆者的一條經(jīng)驗(yàn)是借助知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫，常規(guī)問題的解法基本可以在知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫中其他學(xué)者的一題多解文章中找到，甚至一些基于高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)給出的解答也能查詢到（由熱衷鉆研的老師提供）.因此，對(duì)待教師本身不熟悉或者難度較大的試題要抱著學(xué)習(xí)的態(tài)度進(jìn)行知網(wǎng)數(shù)據(jù)庫查詢，從中獲得更多更好的解法，豐富教師自身的知識(shí)儲(chǔ)備。

4.結(jié)語

數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課實(shí)際上是一個(gè)非常復(fù)雜的工程，我們?cè)诮虒W(xué)中不僅僅要關(guān)注學(xué)科知識(shí)的累積，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生，在試卷講評(píng)的過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，這才是教學(xué)的本質(zhì)內(nèi)在要求.我們一線教師在進(jìn)行試講講評(píng)教學(xué)中可以嘗試適當(dāng)留白，因?yàn)榻處煹牧舭资菍W(xué)生創(chuàng)新的必要條件，這樣做不僅可以形成更好的民主課堂氛圍，也可以增加大家的表達(dá)機(jī)會(huì).因此，我們有必要倡導(dǎo)留白創(chuàng)造式教學(xué)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)留下一片可以探索的廣闊空間，這對(duì)學(xué)生的長線發(fā)展無疑是極為有益的，更是落實(shí)立德樹人最樸素的做法。

參考文獻(xiàn)

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年版）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心.中國高考評(píng)價(jià)體系說明（2019年版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]洪麗敏.作業(yè)講評(píng)多“不妨”，生本評(píng)價(jià)促提升[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師大），2024，（03）：1-3.

[4］張維忠.中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入課程與教學(xué)［J].中小學(xué)教材教學(xué)，2023（03）.11.