2024年全國甲卷理科第20題的多解與推廣 浙江省諸暨中學 (311800)

1.試題呈現

題目 （2024年高考全國甲卷理科第20題）已知橢圓 c 的右焦點為 F ，點 在橢圓 c 上，且 M F ⊥ x 軸.

（1）求橢圓 的方程；（ 2 ） P （ 4 ， 0 ） ，過 P 的直線與橢圓 c 交于 兩

點， N 為 F P 的中點，直線 N B 與 交于 Q ，證明：AQ （20 軸.

2.多解探究

第（1）問易得 c 的方程為 （過程略）

下面重點探究第（2）問.第（2）問考查橢圓中的坐標問題，根據題目要證明的 A Q ⊥ y 軸，即轉化為證明 兩點的縱坐標相同.

證法1 當 A B 斜率為0時，顯然 A Q ⊥ y 軸

當直線 A B 斜率不為0時，設過點 P （ 4 ， 0 ） 的直線為 x = m y + 4 ，與橢圓 c 的方程聯立，消去 x 得（20 設 ， ，則

由 N 為線段 F P 的中點知， ，即 二2my2+3，直線BN：y 令 x = 1 2my+3要證AQ⊥y 軸 （2最后一式顯然成立.故問題得證.

點評由于將直線設為 x = m y + 4 ，根與系數關系的式子更簡潔，再結合分析法，進一步優化了證明過程，減少了計算量。

證法2 由題可知直線 ？ ？ 斜率存在，設過點P （ 4 ， 0 ） 的直線為 ，聯立橢圓 C 的方程消去 y 得 設 ，則 要證 A Q ⊥ y 軸，即證 ，即證 ，即證 ，即證 ，而 64k2-12=8，故AQ⊥y軸.

點評將所證問題轉化為兩個三角形相似，利用相似比得到坐標間的關系，然后結合韋達定理來證明.善于挖掘圓錐曲線試題的幾何關系，可簡化問題，減少運算量。

證法3 當 A B 斜率為0時，顯然 A Q ⊥ y 軸

當直線 A B 斜率不為0時，可設 與橢圓 聯立，整理得 +36=0.設A（x1，y），B（x，y），則 令x=1得yQ ，故 A Q ⊥ y 軸.

3y2點評 求證中得到的yo=-3-2my2 屬于“非對稱韋達”，直角處理會比較繁瑣，這里借助兩根之和 與兩根之積 的關系，消去 表達式中的 m ，從而得證.

證法4 設 ，則

即 +

得 （20 由 得 又lBN：y

令x=1，得y=5-2x2

5λ-（5λ+3）= y1，故AQ⊥y軸。

點評：求證中采用了“定比點差法”，利用橢圓上兩點 及其定比分點 P 的關系，引入變量 λ ，將點 B 滿足的橢圓方程乘以 后，再與點 A 的方程作差，利用 λ 為 與 與 滿足的關系“搭橋”，從而將 的坐標表達式轉化為 ，計算量較小，解答過程較為簡潔。

3.試題推廣

推廣1 已知 M 是橢圓 0）上一點， E 在 x 軸上且 M E ⊥ x 軸. E 的橫坐標為n （ 0 lt; n lt; a ） ，直線 與 x 軸交于點 P ，過點

P 的直線與橢圓 C 交于 兩點， N 為 E P 的中點，直線 N B 與 M E 交于 Q 則 A Q ⊥ y 軸

證明 由題可知直線 斜率存在，設過點 的直線為 聯立橢圓 c 的方 程消去y得（a2h2+b2）x22a22x 設 ，則 （20

要證 A Q ⊥ y 軸，即證 ，即證 A B ： ，即證 ，即證

將 ① 式代人 ② 式可得 ，故 A Q ⊥ y 軸

推廣2已知 M 是拋物線 上一點， E 在 x 軸上且 M E ⊥ x 軸 E P 的中點是坐標原點 o ，過點 P 的直線與拋物線 C 交于 兩點，直線 σ B 與 M E 交于 Q . 則 A Q ⊥ y 軸

證明由題可知直線 A B 斜率存在，不妨設點E （ n ， 0 ） ，則點 ，設過 P 點的直線為 y = k （ x + n ） ，與拋物線 c 的方程聯立，消去 y 得 （20

設 ，則 ，要證A Q ⊥ y 軸，即證 ，即證 A B ？ P N = A Q ，即證 將 ③ 式代人 ④ 式，可知 ④ 式顯然成立.故 A Q ⊥ y 軸

P 的直線與橢圓""交于""兩點， N 為 E P 的中點，直線 N B 與 M E 交于 Q 則 A Q ⊥ y 軸

證明 由題可知直線""斜率存在，設過點"的直線為""聯立橢圓 c 的方程消去y得（a2h2+b2）x22a2x"""設""，則""（204號

要證 A Q ⊥ y 軸，即證""，即證 A B ："，即證"""，即證""

將 ① 式代人 ② 式可得"""，故 A Q ⊥ y 軸

推廣2已知 M 是拋物線""上一點， E 在 x 軸上且 M E ⊥ x 軸 E P 的中點是坐標原點 o ，過點 P 的直線與拋物線""交于""兩點，直線 σ B 與 M E 交于 Q . 則 A Q ⊥ y 軸

證明由題可知直線 A B 斜率存在，不妨設點E （ n ， 0 ） ，則點""，設過 P 點的直線為 y = k （ x + n ） ，與拋物線 c 的方程聯立，消去 y 得"""（20

設""，則""，要證A Q ⊥ y 軸，即證""，即證 A B ？ P N = A Q""，即證""將 ③ 式代人 ④ 式，可知 ④ 式顯然成立.故 A Q ⊥ y 軸

雙曲線的情形與橢圓類似，不再贅述。