建構方程模型 浸潤模型思想

1問題的提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，數學教學的核心目標是培養學生的數學核心素養，其主要表現在于訓練學生運用數學視角審視現實，用數學邏輯分析現實，以及用數學術語描述現實.數學表達的過程實際上就是構建數學模型的過程.當學生用數學語言描述現實世界的事物特性、相互關系和規律時，他們將經歷一個完整的數學建模過程.這個過程能幫助學生從實際生活或特定情境中提煉出數學問題，并使用數學符號來設立方程、不等式、函數等，以表達問題中的數量關系和變化規律，從而深刻理解模型思想在解決數學問題中的關鍵作用.模型思想是數學的基礎思想之一，方程則是體現模型思想的一個優秀工具.在方程教學中，教師常忽視引導學生探索數學模型構建的環節，缺少引導學生體驗從問題到方程的建模過程，導致學生往往因缺乏足夠的實踐機會而難以熟練運用模型思想解決數學問題，這不利于學生核心素養的培養.本文中以蘇科版“二元一次方程”為例，探討如何引導學生使用數學語言構建數學模型，進一步促進學生模型觀念的發展，深人理解模型思想.

2教學過程

2.1溫故知新，回顧舊模型

師：同學們，在我們進人新課之前先復習一下.何謂一元一次方程？“元”和“次”這兩個詞在這里分別指代什么含義？

教學說明：通過重溫已學知識（一元一次方程的定義），能夠為學生學習新知識（二元一次方程）構建基礎框架和方法論，同時為激發學生自行歸納新知識

的核心概念打下基礎，增強他們的自學能力.

2.2探究歸納，建構新模型

問題1按照比賽規則，隊伍每贏得一場比賽可獲得2分，而輸掉一場比賽則得1分.在一次中學生籃球聯賽中，某隊參與了若干場比賽，最終累積了20分.如何表達該隊勝場數、負場數與總積分之間的關系？

師：這里有兩個未知數，即勝場數和負場數，你們能否設定合適的變量，用方程式來表達它們之間的平衡關系？

生1：假設該隊勝了 x 場，負了 y 場，則方程式為2x+y=20

師：是否可以僅用一個未知數來建立方程呢？

生2：不能僅用一個未知數，因為如果設定勝場數為 x 場，那么負場數就只能表示為 （20-2x 場，缺乏新的信息來表達該隊勝、負場數與總積分之間的平衡關系.因此，本題無法僅通過設定一個未知數來列方程.

教學說明：問題1設計的情境旨在引導學生采用“二元”的策略構建二元一次方程模型，感受從現實問題到數學模型的轉化過程.學生借助實際經驗，計劃通過枚舉法探索 x 的可能值，進而推算出對應的 y值.在探索 x 和 y 所有可能值的過程中，學生將更深入地理解二元一次方程模型的特性，為后續研究二元一次方程的解法打下基礎.

問題2根據籃球比賽規則，罰球得分為每罰一次球命中得一分，而投籃得分則根據球員在三分線內或三分線外投籃過程中得到的分數來計算.在一場籃球比賽中，一名球員總共獲得35分，其中罰球命中得到10分.請問：他投進的兩分球有幾個？三分球有幾個？

師：這35分由哪些部分組成？

生3：這35分由罰球的10分，兩分球得分和三分球得分組成.

師：你能設定合適的未知數，并用方程來表示這些得分之間的關系嗎？

生4：本題有兩個未知數，即兩分球與三分球的具體數量.設兩分球為 x 個，三分球為 y 個，那么方程可表示為 2x+3y+10=35 ，

教學說明：問題2與問題1的情境相對應，旨在通過不同案例的類似情境，幫助學生掌握方程模型的構建方法，并逐步培養他們使用數學語言進行表達和交流的能力，引導學生理解二元一次方程是描述現實世界的有力工具.在探索過程中，學生不應僅限于構建方程模型，還應重視分析已知量、未知量和等量關系.通過列舉表格，學生可以得出兩分球、三分球數量的多種可能性，并對解的合理性進行闡釋，以此解決實際問題.在分析表格的過程中，學生將更深入地理解 x 和y所代表的實際意義.通過這一過程，學生認識到，除了單一的一元一次方程模型，還有更多種類和次數的方程模型可供選擇和應用，從而深刻感受到方程模型的多樣性.

2.3嘗試表達，體驗新模型

問題3小明購買了面值為0.5元和0.8元的郵票若干張，總共支付了6.3元.請問小明各購買了多少張0.5元和0.8元的郵票？

參照先前的分析步驟，學生推導出了方程 0.5x+ 0.8y=6.3 ，其中 x，y 分別為0.5元與0.8元的郵票張數.

問題4七年級（1）班為了表彰杰出學生，花費60元采購了鋼筆和筆記本.鋼筆單價為5元，筆記本單價為3元，他們分別購買了多少鋼筆和筆記本？

學生很快得到了方程 5x+3y=60 （其中 x，y 分別為鋼筆、筆記本的數量）.

教學說明：問題3與問題4的情境簡潔明了，學生能迅速捕捉到與問題1、問題2的相似性，進而自然地構造出相應的方程.這兩個問題旨在擴展學生從現實問題到二元一次方程的理解，進一步加深他們對問題轉化為方程模型過程的認識.在教學過程中，教師應重視挖掘例題的深層價值，并引導學生理解方程在表達等量關系時的必然性和直接性.

2.4類比歸納，提煉新概念

師：觀察下列方程，以小組為單位討論，你能發現它們與一元一次方程的異同點嗎？

①2x+y=20；②2x+3y+10=35

③0.5x+0.8y=6.3；④5x+3y=60.

生：相較一元一次方程，不同點體現在這幾個都涉及兩個未知數，共同點則在于未知數的指數都是1.

師：類比一元一次方程的概念，你能給以上的方程想個名字嗎？

生：這類方程可以被命名為二元一次方程，

師：回顧一元一次方程的定義，并聯系以上特點，你能給這個方程下個定義嗎？

學生小組討論并給出定義，教師總結梳理得到：如上述所示的這類方程，它們都含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1，這樣的方程叫作二元一次方程.

隨后，教師給出二元一次方程的解的定義及相關練習.

教學說明：指導學生仔細審視方程，提煉出它們與一元一次方程的相似之處與差異，通過對比的方式幫助學生從一元一次方程的定義出發，歸納出二元一次方程的定義.在授課過程中，應重視學生小組內的協作，增強學生的互動交流技巧，培育學生的團隊協作精神.

3教學思考

3.1注重遷移，滲透模型思想

遷移是一個過程，它涉及將在特定情境中獲得的知識和技能應用到新的但相似的情境中去.學生在之前的學習中已熟練掌握了處理一元一次方程的技巧，并且經歷了從實際問題出發進而建立方程模型的過程，積累了大量的數學模型構建方法和實踐經驗，這為他們進行知識遷移奠定了堅實的基礎.鼓勵學生在教師的引導下自主探索，嘗試構建二元一次方程模型，并且在這一過程中融入類比思想，幫助學生更好地理解和掌握新知識.

3.2注重對比，感悟模型優勢

本次課程的主要目標是針對初一學生群體，小學階段的經驗使他們能熟練分析數量關系，為構建更復雜的數學模型鋪平道路.隨著課程的深人，學生將學習如何運用方程這一數學模型來解決問題.通過這種方式，學生會意識到，小學時看似棘手的數量難題，現在可以通過列出方程來迅速找到解決方案.不僅如此，對于那些無法僅用一元一次方程解決的問題，還可以嘗試使用二元一次方程來攻克難關.隨著學習的推進，學生甚至可能需要通過創新方程模型以應對更復雜的挑戰，從而深刻體會到方程模型的無限潛力和靈活性.在這一探究和應用的過程中，學生不僅能夠提高對數學學習的興趣，還能有效地激發對數學學習的熱情和積極性.