類比遷移 深化思維

“以反映數學內容本質、符合學生認知水平的問題，引導學生開展探究性學習，通過類比、聯想、特殊化、一般化等推理活動發現和提出數學問題、形成研究思路、找到研究方法.\"1本節課在研究“線段的垂直平分線”的基礎上，繼續研究平面幾何中最基本的軸對稱圖形——角.通過“問題鏈\"引發學生深度思考；借助一系列“探究活動”，形成學習過程的“結構化”；利用“類比”固化學習經驗，實現經驗的結構化.

1教材分析

“角的平分線”在人教版七年級上冊第四章“幾何圖形初步”中已經學習過，當時只認識了“角的平分線\"的定義.在八年級上冊的教材中，本節內容又安排在了第十二章“全等三角形”的第三節.在章起始課統領的大單元教學探索之“三角形大單元總體規劃”統籌部署下，本節內容安排在了第十三章\"軸對稱\"中.這樣安排不僅是基于邢成云老師提出的“整體化教學\"2]而設定的，更是符合數學思維的發展規律和認知邏輯.“角”作為軸對稱圖形中的第二個圖形，是一維線段的進階，它的學習內容、學習方法，完全可以類比“線段的垂直平分線”因此，本節課類比遷移“線段垂直平分線\"的方法，來學習“角平分線”的性質定理及逆定理更順乎其然.當然，角平分線的性質定理及其逆定理也是在全等三角形應用基礎上的發展與延續，同時，它們還是證明線段相等、角相等常用的方法，也為后續學習等腰三角形、圓等知識提供了知識與方法的參考.

2教學目標

（1）通過探究并證明角的平分線的性質定理及其逆定理的過程，發展演繹推理能力；（2）會用尺規作圖畫出任意角的平分線，滲透“模型”思想；（3）類比線段的垂直平分線的學習內容，完成對角的平分線的知識架構，增強類比遷移能力.

3教學過程設計

環節一 創境引，孕育模型

問題1上節課完成了對線段的垂直平分線的探究，結合學過的基本圖形，接下來應該研究什么圖形？你又是如何想到這個圖形的？

追問1：已經學習了關于角的什么內容？

追問2：既然角也是軸對稱圖形，那角的對稱軸又是什么？

追問3：線段的垂直平分線用它的特殊性質體現了它作為對稱軸的特點.角的對稱軸又如何體現這種對稱性呢？

師生談話，導人課題，并板書.

設計意圖：根據“由簡到繁”的邏輯順序，學生已明白角也是基本的軸對稱圖形，如何體現這種對稱性，結合線段垂直平分線研究方法的遷移，學生很快就明白這需要借助其對稱軸來完成，由此導入課題，不僅激發學生的學習熱情，而且也可以形成方法上的遷移.

環節二 設疑猜想，形成模型

問題2線段的垂直平分線是如何體現它的對稱性的？角的平分線呢？

追問1：角的平分線上有無數個點，這無數個點會與角的兩條邊上的點產生無數條線段，應該研究哪些線段？能否把所有這些線段都研究完？

追問2：這些線段中，哪些是特殊的呢？

追問3：大家說的第一種特殊屬于我們研究過的“箏形”，“箏形”中的線段與“垂線段”中的線段，哪一個更特殊？

追問4：在這些“垂線段”中，如何說明所有的垂線段都對應相等？說明的方法有哪些？

師生活動：結合學生回答，教師進行演示一—測量（借助幾何畫板的測量功能，同時體現出點在角平分線上運動）、對折（用幾何畫板的“反射”功能演示），以此形成對角平分線性質的初步認識.請學生用不同方法表達出角平分線的性質.

設計意圖：由線段垂直平分線的研究路徑猜想得出角平分線的研究內容、研究方法，體現了數學的整體性，加強了各部分內容之間的聯系，還體現了學習過程的整體性.這個過程為后面證明角平分線的性質作鋪墊，幾何畫板的動點演示，幫助學生理解其性質的本質，也為后續學習“集合”“軌跡”等知識起到了奠基作用.

環節三 合作探究，驗證模型

問題3請大家結合剛才的交流，總結角的平分線的性質.

追問1：由上面方法（測量、對折）得出的命題，是否需要再用其他的方式來說明？

師生活動：學生獨立進行證明.教師巡視，結合學生的做題情況再進行講解.最后小組分享，查找證明過程中出現的問題.

追問2：通過證明得出“角的平分線上的點到角兩邊的距離相等”是真命題，在解題過程中，需要把它轉化成什么形式？

預設1：符號語言.

預設2：如圖1，因為 O P 平分∠ A O B ， P M⊥ O A 于點 M，P N⊥ OB于點 N ，所以 P M=P N

追問3：圖1中，點 P 的位置確定嗎？

設計意圖：結合點 P 在角平分線上的任意性，讓學生經歷角的平分線性質的探究過程，加深對性質的理解，同時鞏固“證明一個命題是真命題”的方法，實現由“合情推理”到“演繹推理”的轉變，提高學生推理能力.

環節四 發散思維，鞏固模型

問題4研究完角的平分線的性質，接下來又該思考什么？

追問：要判斷性質的逆命題是否成立，如何完成？

師生談話：同學們的這種“聯想”太好了，這說明我們已經具備了數學的類比遷移能力，接下來就看我們的“實戰能力”請大家用已有的學習經驗，探究角的平分線性質定理的逆命題是否成立？

師生活動：學生獨立完成，教師結合學生情況適時點撥，借助小組交流分享糾正出現的問題，最終確定角平分線性質定理的逆命題是真命題.再請學生將得出的真命題進行數學語言之間的轉化，教師用幾何畫板的動畫功能再次演示，到角兩邊距離相等的點有無數個，根據“點動成線”可以得出這無數個點就組成了角的平分線.

設計意圖：讓學生再次運用已有的學習經驗探究角平分線性質的逆命題，在探究的過程中，再一次加深學生對角平分線的理解，規范證明一個命題是真命題的步驟，同時提高學生的推理能力.借助幾何畫板的再次演示，滲透“集合”“軌跡”思想，為以后學習相關內容作鋪墊，落實學段銜接.

環節五開放思維，拓展模型

問題5研究完角的平分線的相關性質以后，接下來應該探究什么？又如何展開探究？

預設：解決三角形中的問題并確定它的尺規作圖方法.

師生活動：利用如圖2的箏形或如圖3的角平分線性質定理的逆定理引導學生完成角平分線的尺規作圖方法.

設計意圖：“學以致用”是學習數學的直接目的，課堂上引導學生對所學的角平分線的內容進行直接運用，增強了學生對數學的理解，也幫助學生形成策略方法.多種方法的探討，體現了數學思維的多樣性，培養了學生靈活思考問題的能力.

環節六反思評價，拓展模型

問題6通過本節課的學習，你對數學有沒有新的看法？

師生談話，幫助學生把學到的知識結構化，形成角的平分線的小“單元體系”，如圖4所示.

設計意圖：讓學生談對數學的看法，在總結知識的同時，讓學生意識到學到的數學方法、數學模型更應該值得總結與反思.

4 教學立意與闡釋

（1）注重研究思路的“顯化”與“遷移”

本節課注重“類比”思想的應用，引導學生借助線段垂直平分線的研究思路與研究方法，探究得出角平分線的相關內容.同樣，借助類比，探究角平分線的性質定理與其逆定理.表面上看，課堂以探究角平分線的性質為明線，實際上又以線段的垂直平分線的探究方法為暗線，注重了知識的形成以及學習方法的遷移，

（2）注重對學生思維靈活性的培養

數學是“玩”思維的.當學生會用數學的思維思考問題、解決問題時，學生的能力自然會得到提高.本節課中，以數學邏輯為基礎，以問題啟迪學生思維.學生在學習過程中，借助對一個真命題的證明、對一個圖形的探究、對一個作圖的思考……，形成數學的“大思路”“大方法”，這些對培養學生的數學思維能力起著關鍵作用.

參考文獻：

[1]章建躍，程海奎.高中必修課程中概率的教材設計和教學思考--兼談“數學核心素養如何落地”[J].課程·教材.教法，2017，37（5）：27-33.

[2]邢成云，“整體統攝·快慢相諧”的整體化教學[J].中國教師，2021（10）：38-41.