同解變形思想在解方程教學中的滲透

人教版初中數學教材七年級下冊第八章8.2節給出了二元一次方程組的解法一一消元法，該解法的本質是利用等式的基本性質對方程組進行同解變形，將二元一次方程組化歸為一元一次方程，從而求解.具體如下：

例1用代入法解方程組

分析：方程 ① 中 x 的系數是 1 ，用含 y 的式子表示x ，比較簡便.

解：由 ① ，得

然而，實際教學中教師往往忽視對同解變形思想的滲透，使得上面方法的呈現有一些不足：一是容易引起學生的疑惑，這樣得到的解為什么是原方程組的解（從而需要檢驗）？學生往往“知其然而不知其所以然”二是由于該解法沒有強調方程組的同解變形過程，導致與大學階段線性代數中線性方程組的高斯消元法有一定的脫節，未能起到未來學習線性方程組一般理論的鋪墊作用.因此，本文中以“消元一—解一元二次方程組”為例，尋求更好的教法，強調同解變形思想在教學中的滲透，使得學生對于本節知識的學習更加清楚、深人.

1高斯消元法的歷史

高斯消元法，雖以德國數學家高斯（C.F.Gauss）命名，但最早出現于我國著名的數學著作《九章算術》高斯消元法的版本很早就為人所知，但是它在科學領域的重要性，直到高斯用它來計算谷神星小行星的軌道時才得以體現.1801年1月1日，西西里島天文學家、天主教牧師朱塞佩·皮亞齊（G.Piazzi，1746一1826）注意到一個他認為可能是“失蹤行星”的暗淡天體，他將這個天體命名為谷神星（Ceres），并進行了有限數量的位置觀測.但當它接近太陽時，就失去了這個天體.當時只有24歲的高斯利用一種叫做“最小二乘法”的技術從有限的數據中計算出谷神星的軌道，并用我們現在稱之為“高斯消元法”的方法解出了方程組.一年后谷神星在處女座以他所預測的幾乎精確的位置再次出現時，高斯的工作引起了轟動.

稱為線性方程組的增廣矩陣.增廣矩陣的這種記法最早出現在《九章算術》里，這些系數是按列而不是像今天那樣按行排列的.增廣矩陣和非增廣矩陣的概念在史密斯（HenryJ.S.Smith，1826—1883）1861年的文章中就被引入了；而增廣矩陣這一術語的實際使用，似乎是由美國數學家馬克西姆·布舍爾（MaximeBocher，1867一1918）在其1907年出版的《高等代數導論》一書中引入的[].

高斯消元法的本質是將線性方程組同解變形為易于求解的方程組從而求出原方程組的解，這等價于對方程組的增廣矩陣進行初等變換化為行最簡階梯形.由于德國工程師WilhelmJordan在他1888年出版的大地測量學的著作《HouthBuffer—Der—MeunungSunund》中進一步推廣了該方法的基本思想，因此也將增廣矩陣通過行初等變換化為行最簡階梯形的過程稱為Gauss-Jordan消元法.

2求解方程組的教學設計

由上可知，高斯消元法的本質是方程組的同解變形.因此，在二元一次方程組的教學設計中，我們應強調同解變形思想的滲透，讓學生理解求解方程組的過

程就是基于等式的基本性質對方程組進行同解變形的過程，這將為學生未來學習高斯消元法的一般理論奠定知識基礎.

上述過程是對方程組進行同解變形的過程，因而最后的方程組與原方程組同解，從而得到原方程組的解.當然，以上解線性方程組的過程過于啰嗦，因為 ④ ⑤⑦⑩ 等都是重復抄寫，都可以刪除.如果略去所有重復的步驟，就可以得到教材中的求解步驟（同解變形的簡化版本）.

上述設計僅僅是對教材上的求解步驟做了一點點改變，但卻強調了同解變形思想在解方程組中的滲透.這樣的教學設計的優點在于，不僅能讓學生理解求解二元一次方程組的過程就是利用等式的基本性質對方程組進行同解變形的過程，為大學階段學習線性方程組的一般理論奠定基礎，而且也能讓學生理解教材上的求解步驟其實就是方程組同解變形過程的簡化版本，因此所得到的解就是原方程組的解，無需檢驗（當然，為了驗證計算的準確性，也可以代入檢驗）.

3課程思政的融入

中國古老的數學典籍《九章算術》中，已有對線性方程組解法的詳盡敘述，這些方法實質上等同于本節所講的高斯消元法.

在西方，對線性方程組的研究始于17世紀后期，由數學家萊布尼茲開啟，比《九章算術》晚了一千多年.萊布尼茲曾探究了涉及兩個未知量的三個方程構成的線性方程組.到了18世紀上半葉，麥克勞林擴展了研究范圍，探討了涉及 2～4 個未知量的線性方程組，并最終得出了現稱為克萊姆法則的成果；克萊姆緊隨其后，也發表了這一法則.進入19世紀，英國數學家史密斯 和道奇森（C.L.Dodgson）繼續研究線性方程組理論，前者引入了增廣矩陣等概念，后者證明了線性方程組有解的充要條件，即系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，這一發現連同線性方程組解的結構理論構成了現代線性方程組理論的基石，并成為貫穿線性代數始終的最基本的方法1].

相比之下，中國線性代數的發展雖然起步較早，但與西方相比，其影響力和發展速度相對較小.我國古代數學更側重于算術和代數方面的實際應用，《九章算術》中記載了許多關于線性方程組解法的內容.然而，這些早期的成果并未形成系統的線性代數理論體系.直到近現代，隨著西方數學的傳人和本土數學家的努力，線性代數在中國才逐漸得到重視和發展.中國數學家如熊慶來、華羅庚等人在線性代數的教學和研究方面做出了貢獻，推動了線性代數在中國的普及和發展.

在教學中，一方面要讓學生了解我國古代在線性方程組方面的巨大成就，激發學生的民族自豪感與文化自信；另一方面也要讓學生了解到我國古代的研究太專注于“術”的層面，而受制于時代的局限缺乏從“理”的層面進行深入探索，從而錯失了將方程組的解法升華為線性方程組一般理論的機會，激發學生獨立思考、勇于探索真理的科學精神.

4結論

在中學數學解方程組的教學中，應加強同解變形思想的滲透.在具體設計課堂教學時，可以通過“雞兔同籠”等問題創設方程組的引人情境，激發學生的學習興趣；同解變形的過程中，應引導學生思考每一步同解變形的數學原理—一等式的基本性質；應引導學生總結該解法的思想一—消元，將二元一次方程組化歸為一元一次方程求解；注意設計課程思政的融入節點，做到潤物細無聲.

在設計課堂教學時，教師不能刻板地使用教材，應該深挖教材，順勢而導，將學習引向深人.教學設計不僅要讓學生“知其然”，更應讓學生“知其所以然”；不僅要求學生掌握所學知識，還要為學生的進一步學習做好鋪墊，為學生的未來發展奠定基礎.“授人以漁，留有余香\"是課堂教學設計中教師應思考的準則之一.

參考文獻：

[1]徐運閣，章超，廖軍.高等代數[M].北京：科學出版社，2021.