指向深度學習的初中數學單元整體教學實踐

課改前傳統的數學教學方式通常是按教材的章節編排和順序組織教學，知識點零散，沒有系統化，缺少整體性，使得學生對知識的整體建構較為缺乏，對綜合應用知識解決問題的能力較為欠缺.這種傳統教學方式不利于國家“雙減”政策的落地，也不能適應《義務教育數學課程標準（2022年版）》中培養學生數學學科核心素養的要求.

為了克服過去數學教學方式下數學知識的碎片化、零散化的弊端，也為避免“只見樹木，不見森林”的教學弱點，應培養學生具備適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.初中數學單元整體教學該如何進行設計、實施？筆者在平時教學中對這一問題進行了一些嘗試和探討，現以蘇科版九年級上冊第一章“一元二次方程”單元整體教學實踐為例，闡述具體教學實踐與思考.

1教學過程

活動一研究方向的確立環節1：創設情境，凸顯問題.情境1數學現實師：我們在初一、初二學習了哪些方程？生1：從一元一次方程到二元一次方程（組）再到三元一次方程（組），這是元的個數的變化.師：你還會想到什么？生1：一元二次方程，這是未知數次數的變化.

情境2生活現實生2：求AC（或BC）的長.

學生通過獨立思考，小組合作交流，得到問題解決的基本思路：

設 B C=x ，則 A C=x ，用勾股定理列出方程 （或 .

（2）一梯子的上端距離地面 4m ，梯子長 5m ，下端在水平的地面上，如果梯子的頂端向下滑 1m 求：？

根據題目的已知條件，你可以提出什么問題？

生3：梯子的底端向右滑動多少

設梯子的底端向右滑動 ，用勾股定理列出方程 ，化簡得到

（3）一梯子的上端距離地面 4m ，梯子長 5m ，下端在水平的地面上，當梯子上端下滑的距離等于下端向右滑動的距離時，求： _？

根據題目的已知條件，你可以提出什么問題？

生4：梯子的底端向右滑動多少 （或梯子的上端下滑多少 ）

學生討論確定：求“梯子的底端向右滑動多少m？”

設梯子的底端向右滑動 ，用勾股定理列出方程 ，化簡得到

教學說明：本環節從數學現實入手讓學生感受過去學習的方程是從“元”的角度在變化，從而想到方程從“次”的角度變化的必要性，引導學生體驗數學內部知識的邏輯性、整體性、連貫性、一致性.從生活現實中獲得研究對象，拉近生活與數學之間的距離，感受生活與數學的整體統一.從數學現實中獲得研究對象，拉近數學知識之間的距離，理解數學內部的邏輯一致性.

（1）如圖1，一架長 5m 的梯子斜靠在一豎直的墻上，墻角記為點c ，當梯子的頂端沿墻壁下滑至 A 處時，梯子的底端抵至 B 處，此時 求： _？

師：根據題目的已知條件，你可以提出什么問題？

活動二 研究思路的規劃

環節2：自主探究，形成概念.

問題1上述活動中得到了方程 ， ， ，你能再寫出一個這樣的方程嗎？你能否給它們起個名字？該如何研究它們呢？

追問：回憶“一元一次方程”“二元一次程組”的學習過程，我們研究了哪些內容？是按怎樣的路徑展開研究的？

生5：類比獲得一元二次方程的研究路徑，即定義一解法—應用.

類比活動1——定義

問題2仿照“一元一次方程”的定義，請你對“一元二次方程”下個定義.

問題3你能否寫出一個方程表示上面所有的方程？

學生獨立思考，小組討論，全班歸納相互補充得到： 是常數， a≠0 .

問題4為什么要添加 a≠0 這個條件？

學生討論，從一元二次方程的結構中感悟 a≠0 的必要性.

學生小組討論，解剖一元二次方程一般形式的式結構，找出 ，如圖1.

教學說明：（1）“寫一元二次方程”的目的是讓學生從心理上認同一元二次方程的結構特征.從“感性”走向“理性”（2）“類比一元一次方程下定義”引導學生從形式上發現其相同點，都是方程；分別從未知數個數、未知數的最高次數、整式方程三個角度進行總結，進而歸納出一元二次方程的本質屬性.（3）師生共同提煉、歸納出研究定義就是要通過生活現實來發現一類數學對象的共同特征，形成數學對象的定義.讓學生從機械記憶走向理解記憶，使知識學得更牢固.

類比活動2- —解法

環節3：嘗試求解，挑戰自我.

問題5過去我們是如何解二元一次方程組的？你對解一元二次方程有怎樣的想法？

眾生：由消元想到降次，

問題6試從環節1的方程中找出你能解的方程.

學生討論發現能解 這兩個簡單方程.

方程 的左邊可以因式分解，方程 25=0 可以直接開平方，它們都能把新的一元二次方程通過“降次”，變為熟悉的一元一次方程，歸納形成共識——解一元二次方程的的基本思路是降次.

教學說明：根據學生的認知規律，由簡單到復雜，先選擇一個缺 ∣ c∣ 、一個缺 b 的簡單方程，用過去已有經驗嘗試解答，一條經驗是因式分解，一條經驗是開平方，當然第二個方程也可用因式分解的方法，通過一題多解，形成異曲同工，揭示解一元二次方程的本質.

問題7 你還能解方程 嗎？

學生分小組先行討論.若學生沒有想法，可引導學生從解決實際問題時所列的方程中，通過轉化找出解決方法.將未知問題轉化為已知問題，是解決數學問題的通用想法.師生共同歸納解題思路：將常數項移到右邊，然后在方程兩邊同加一次項系數一半的平方，使方程左邊構成完全平方式，因而得到“配方法”！

環節4：嘗試應用，學以致用.

類比活動3 應用

在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感，按此比例，若雕像的高為 ，求雕像下部的高度.

教學說明：通過解決生活中的實際問題，強化方程的模型思想.通過自主探究，培養學生分析問題、解決問題的能力，幫助學生獲得更多解決問題的方法和經驗，更好地體驗數學的應用價值.

活動三 研究成果的運用

環節5：小試牛刀，自我評價.

（1）下列方程中，哪些是一元二次方程？ （2）當 為何值時，方程 是一元二次方程？

變式當 m 為何值時，方程 1=0 是一元二次方程？

教學說明：課堂及時反饋，鞏固一元二次方程定義的雙重性即判定與性質.

活動四 研究活動的評價

環節6：構建框圖，深入研究.

① 今天你學會了哪些知識？② 今天的探究過程給你感受最深的是什么？③ 經過今天的學習后，你還想對哪方面問題進行深人研究？

④ 今天學習后還有哪些困惑？此外還知道·.···

教學說明：回顧本節課的探究過程，梳理研究思路，使學生形成一元二次方程這一章的學習路徑圖，進而鞏固初中方程類知識的研究套路，為以后方程類的知識學習提供結構化思維.從知識方面講，我們搭建了從一元二次方程定義、解法、應用的學習框圖，而這些都是我們用數學的眼光從現實問題中抽象出來、再用數學的語言表達出來的.那我們是如何研究的呢？一開始，在定義、解法、應用的學習過程中，發現一元二次方程的結構與一元一次方程結構相同，故用研究一元一次方程的方法來研究一元二次方程，這種方法在數學上稱為類比，進而將教學內容升華.這個環節學生通過回顧、反思和評價等過程，形成自我的反思和共同互評的意識.

布置作業：（1）必做題：教材第7頁練習第1，2題；

（2）選做題：在“一元二次方程”章節中，選擇你喜歡的內容，進行再探究.

教學說明：分層設計作業，必做題為鞏固學生當堂所學知識，每位同學都要完成.選做題讓學有余力的學生探究，提升學生的探究意識，培養學生的數學核心素養.

2自我反思評價

2.1單元整體教學的方向

實施單元整體教學的關鍵在于整體把握一元二次方程的發生、發展過程，讓學生整體化、結構化、系統化地理解一元二次方程.我們進行一元二次方程單元整體設計時，需要關注單元整體目標的實施，不能只是每個課時目標簡單機械的疊加，而是要整體設計、層層推進、分步落實，以“ 的整體力量推動一元二次方程單元整體教學.如何確定一元二次方程單元整體教學研究方向呢？首先，一元二次方程單元整體教學應對照《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課程標準”），以新課程標準確定研究的方向，課程標準是我們進行單元整體教學設計與實施課堂教學的行動指南；其次，一元二次方程單元整體教學設計應統籌考慮學情，這是單元整體教學設計的基礎，是順利實施單元整體教學的根本保證.

（1）新課程標準是確定單元整體教學目標的依據

新課程標準是國家課程的基本綱領性文件，是國家對基礎教育課程的基本規范和質量要求，是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據，是國家管理和評價課程的基礎.由此可見，數學課程標準具有統領性地位，因此必須要研讀新課程標準，再來確定一元二次方程這一章的研究方向，依課程標準開展精準教學.

新課程標準對一元二次方程的描述：一元二次方程是學生理解數學符號，以及感悟用數學符號表達事物的性質、關系和規律的關鍵內容，是學生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用數學的語言表達現實世界的重要載體1.一元二次方程的教學，應當讓學生經歷對現實問題中量的分析，借助用字母表達的未知數，建立兩個量之間關系的過程，知道方程是現實問題中含有未知數的等量關系的數學表達；引導學生關注用字母表示一元二次方程的系數，感悟用字母表示的求根公式的意義，體會算術與代數的差異.從課程標準的教學提示中挖掘指導精髓，讓后面的課時教學更精準、更高效.

（2）立足學生學情，根據前面確定的方向做到因材施教

學習的主體是學生，每個學生個體的認知基礎、生活閱歷以及接受新知識的能力等都是不一樣的.因此，單元整體教學的設計必須關注學生已有的學習經驗，結合已有的知識基礎，根據數學現實、生活現實確定一元二次方程的研究方向，真正做到因材施教，讓單元整體教學真正發揮應有的價值.

學生在初一、初二已學習了方程、一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程（組）、分式方程等知識，積累了研究方程的路徑，同時也知道將新知識轉化舊知識的學習經驗，在運算、邏輯推理方面也有了一定的積累.這些都為學生進行一元二次方程單元整體學習奠定了堅實的基礎.

2.2單元整體教學的路線

一元二次方程章前圖就告訴我們：從“一次”到“二次”，建立新的數學模型；從“二次”到“一次”，用轉化思想解決問題.它揭示了整個一元二次方程單元蘊含的核心數學思想方法，清晰地告訴我們一元二次方程的探究路徑，明確“定義一解法一應用”的學習方法.轉化、建模的數學思想是進行一元二次方程單元教學的核心思想，只有牢牢抓住這兩個核心數學思想，單元整體教學才能更加有效.而一元二次方程探究的路徑是學生自主研究其他高次方程的重要經驗，具有重要的遷移價值，是讓數學核心素養落地的關鍵.

（1）核心數學思想：轉化、建模

數學思想蘊含在一元二次方程的定義、解法和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與歸納.一元二次方程單元整體教學始終離不開轉化與建模這兩大數學核心思想，這兩大核心數學思想統領整章的整體學習.這兩個數學思想在教材章頭圖中有描述，需要教師從單元整體的視角來規劃單元教學，蘇科版教材從二元一次方程（組）、分式方程的學習中就讓學生感悟轉化與建模思想，在不等式、函數的學習過程中也讓學生感悟建模的思想

蘇科版教材七下在解二元一次方程組時，通過消元法將二元一次方程組轉化為一元一次方程；八下解分式方程通過去分母將其轉化為整式方程；蘇科版教材九上的一元二次方程的因式分解法，通過把一般形式的一元二次方程左邊分解為兩個一次式，進而轉化為解兩個一元一次方程.雖然方程類型不一樣，蘇科版教材體系中始終滲透著轉化的數學思想，把新知轉化為舊知.解方程的核心手段就是轉化，應讓學生深刻感悟轉化的數學思想.轉化的數學思想在蘇科版教材九年級上冊“一元二次方程”這一章的閱讀材料中也有整體的總結、延伸.建模思想則更多體現在由問題到方程、用方程解決實際問題的過程中，讓學生用數學語言來表達現實世界這一數學核心素養落地.

（2）重要學習路徑：類比、特殊化

學生的數學學習要學習解決問題的通性通法，新知的學習主要是運用知識的遷移，強調數學現實的內部的生長力量.要讓學生學會思考如何去學習新知識，如何進行由一元一次方程、二元一次方程、到一元二次方程的學習.類比、特殊化、推廣等常見方法，是方程類新知學習的重要手段.經常開展此類探究有助于提升學生的學習力，培養學生的數學核心素養.

在一元二次方程的單元整體教學設計中，無論是定義、解法，還是應用都用到了類比與特殊化.學習方程的一般路徑“定義一解法一應用”，同樣也可以用到一元二次方程的學習中.

2.3單元整體教學的優化

單元整體教學的優化是獲得學習路徑后的具體學習方法，是節約學生探究時間，提高課堂教學效率的技巧.優化一元二次方程單元整體教學應注重前面方程知識的發生、發展過程的傳承，同時也應抓住新舊知識之間異同點，批判、辯證地運用研究方法，而解法的教學順序與策略則可以根據學情適當調整，但調整要讓知識學習更自然地發生，千萬不能為形式而調整.

（1）確立研究方向，促使思維廣度發生從數學現實內部讓學生感受方程的變化主要是“元”“次”的變化，初一學習的方程是從“元”的角度變化的，學生容易發現方程從“次”的角度變化的必要性，體驗到數學知識內部的邏輯性、整體性、連貫性、一致性.再從生活現實中刻畫現實世界數量關系的新的模型，獲得研究對象，拉近現實生活與數學之間的距離，感受生活與數學整體統一.從數學現實中獲得研究對象，拉近數學知識之間的距離，理解數學內部的邏輯一致性.

（2）單元整體引領，促進思維深度發展

教師對照新課標標準，立足學情，在章始課上教師與學生共同探究形成解法的教學順序，之后分課時教學時要前后一致地開展系統教學.由于因式分解法與其他三種方法相對獨立，可以先行單獨教學，但直接開平方法、配方法、公式法是連續的，需要按順序而教，將新知一步一步轉化為前面的舊知，因此單元整體教學設計時要按順序進行，否則學生會思維混亂，無從下手，不知道如何進行轉化求解.

（3）知識前后關聯，提升整體架構能力

新課程標準指出：數學知識的教學，應注重學生對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯.新課標要求我們進行初中數學單元整體教學時，應注重知識之間的內在關聯.在數學內部：一元二次方程與一元一次方程、二次函數、一元二次不等式之間有著非常密切的關系，它們之間可以相互轉化.這就要求我們在一元二次方程的單元整體教學中要有系統的設計理念，不能僅局限于當下的知識，也要展望后續學習的內容，培養學生的學習力.

3單元整體教學的展望

明確對象的研究方向、立足學情是提升單元整體教學的內在力量，讓學生的數學學習站得更高、看得更廣、探究更準，同時也體現了數學知識類與類之間的歸納推理，培養學生的邏輯推理能力.這樣的方式給出了學生“如何學”的主線，學生在了解一元二次方程研究方法的同時，也學會了如何用類比的方法獲得新的研究對象，努力做到“授人以魚”的同時“授人以漁”

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：16.

[2]邢成云.整體統攝凝聚結構—第21章《一元二次方程》的起始課教學[J].中學數學，2018（8）：5-7.