溯本重構(gòu)，啟迪思維，發(fā)展素養(yǎng)

結(jié)合近幾年中考數(shù)學(xué)試卷來(lái)看，圖形運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，突出對(duì)學(xué)生直觀想象等核心素養(yǎng)的考查.直觀想象，主要是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，并以此理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“圖形的變化”的教學(xué)，應(yīng)通過(guò)信息技術(shù)的演示或?qū)嵨锏牟僮鳎寣W(xué)生感悟圖形變化的基本特征；要利用數(shù)學(xué)專(zhuān)用軟件等教學(xué)工具開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)[2].因此，在圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的教學(xué)中，如何豐富學(xué)生的直觀體驗(yàn)，積累其直觀經(jīng)驗(yàn)，已成為新課程理念下數(shù)學(xué)課堂關(guān)注的焦點(diǎn).本文中，談?wù)勅绾瓮诰蚪滩馁Y源，延展探究活動(dòng)視角，讓學(xué)生在體驗(yàn)圖形運(yùn)動(dòng)可視化的過(guò)程中，不斷提升思維品質(zhì)和直觀想象等核心素養(yǎng).

1問(wèn)題回溯

1.1重構(gòu)教材習(xí)題

原題（蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)“3.1勾股定理”第82頁(yè)習(xí)題2）如圖1，長(zhǎng) 2.5m 的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為1.5m .求梯子頂端的高度 h

筆者進(jìn)一步挖掘該習(xí)題的價(jià)值，通過(guò)讓梯子滑動(dòng)起來(lái)，創(chuàng)設(shè)“塑料桿沿滑槽滑動(dòng)”的情境，設(shè)計(jì)動(dòng)線、動(dòng)角兩種不同視角的探究活動(dòng).具體如下：

視角一：滑槽“靜”塑料桿“動(dòng)”，則塑料桿中點(diǎn)的軌跡在以直角頂點(diǎn)為圓心，塑料桿一半長(zhǎng)為半徑的圓上，就此容易產(chǎn)生中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題.

視角二：塑料桿“靜”滑槽“動(dòng)”，則直角頂點(diǎn)在以塑料桿為直徑的圓上，這樣直角頂點(diǎn)變得不確定，就此容易產(chǎn)生最值問(wèn)題.

1.2確定教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握“定點(diǎn)定長(zhǎng)”“定斜定直”隱圓模型；（2）運(yùn)用極端位置和特殊位置法確定動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，能夠畫(huà)出動(dòng)點(diǎn)軌跡的準(zhǔn)確圖形；（3）經(jīng)歷最值問(wèn)題的分析、解決過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想、模型思想、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法；（4）通過(guò)實(shí)物操作、幾何畫(huà)板演示，在體驗(yàn)圖形運(yùn)動(dòng)可視化的過(guò)程中積累直觀經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)直觀想象、抽象能力、模型觀念等核心素養(yǎng).

1.3設(shè)計(jì)教學(xué)思路

本復(fù)習(xí)課以圓的定義為根本，引導(dǎo)學(xué)生弄清“隱圓”的依據(jù)，學(xué)會(huì)化隱為顯.設(shè)計(jì)動(dòng)線、動(dòng)角兩種不同視角的探究活動(dòng)，構(gòu)建“定點(diǎn)定長(zhǎng)”和“定斜定直”兩種隱圓模型.同時(shí)，借助實(shí)物操作和幾何畫(huà)板演示，幫助學(xué)生在體驗(yàn)圖形運(yùn)動(dòng)可視化的過(guò)程中深化思維，形成和發(fā)展直觀想象等核心素養(yǎng).

2教學(xué)過(guò)程

2.1問(wèn)題情境，啟思引探

設(shè)計(jì)意圖：由引例切入，為學(xué)生在變式中構(gòu)造輔助圓作鋪墊.在解決變式問(wèn)題時(shí)，學(xué)生結(jié)合條件 A B= A C=A D ，它們有一個(gè)公共頂點(diǎn) A ，自然聯(lián)想到“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)”的圓的定義，從而“化隱為顯”將隱藏的圓還原出來(lái).在此過(guò)程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)點(diǎn).一是原理，構(gòu)建圓的依據(jù)是圓的定義；二是關(guān)鍵點(diǎn)，即找到等線段的公共端點(diǎn)，為為何要構(gòu)造圓以及如何構(gòu)造圓作知識(shí)準(zhǔn)備.

2.2操作與觀察，初建模型

問(wèn)題1如圖4，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將長(zhǎng)為2的線段 E F 的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng).若點(diǎn) E 從點(diǎn) A 滑動(dòng)到點(diǎn) B ，同時(shí)點(diǎn) F 從點(diǎn) B 滑動(dòng)到點(diǎn) c ，那么線段 E F 的中點(diǎn) M 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)__________

活動(dòng)一滑槽“靜”、塑料桿“動(dòng)”

如圖5，一根固定長(zhǎng)度的塑料桿兩端能在相互垂直的滑槽內(nèi)自由滑動(dòng)，將釘子固定在桿子中點(diǎn)，隨著桿子的滑動(dòng)，你能確定釘子的軌跡嗎？

筆者展示實(shí)物教具，學(xué)生板演滑動(dòng)過(guò)程，直觀感受點(diǎn) M 的軌跡，如圖

6.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊的一半，學(xué)生解釋OM的長(zhǎng)度不變，且線段的公共端點(diǎn)是 o 從而確定點(diǎn) M 的軌跡是圓.緊接著筆者利用幾何畫(huà)板演示，豐富學(xué)生的直觀體驗(yàn)，如圖7.

設(shè)計(jì)意圖：操作與觀察是幾何直觀的基礎(chǔ)與開(kāi)始，是感受、理解幾何直觀的有力支撐.通過(guò)實(shí)物操作，學(xué)生觀察塑料桿的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，形成頭腦中的表象，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行有效的聯(lián)想.同時(shí)，借助幾何畫(huà)板的直觀演示，學(xué)生進(jìn)一步感悟圖形運(yùn)動(dòng)中的不變性，為活動(dòng)二積累直觀想象的經(jīng)驗(yàn).

回到問(wèn)題1，學(xué)生知道點(diǎn) M 的軌跡是以 B 為圓心， B M 為半徑的四分之一圓，有效解決了問(wèn)題.

變式如圖8，在矩形ABCD中， A B=2，B C=3 ，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是A B，B C 邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 E F=2 ，點(diǎn) M 為 E F 中點(diǎn)，連接 D M ，則 D M 的最小值是__________

設(shè)計(jì)意圖：此變式是對(duì)問(wèn)題1條件的稍加改變.為了讓學(xué)生清楚“是怎么變的”，筆者示范從兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行變化——一是條件，如正方形可以變成矩形或其他圖形；二是問(wèn)題，即根據(jù)圓可以用來(lái)解決哪些問(wèn)題來(lái)改變問(wèn)題.顯然，問(wèn)題的解決途徑是一致的，目的是幫助學(xué)生感悟問(wèn)題的本質(zhì)，提煉解題思想和方法.

2.3延展與類(lèi)比，再建模型

問(wèn)題2如圖9，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn) E 為 A D 邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接 B E ，若 A F⊥ B E 于點(diǎn) F ，則點(diǎn) F 運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是__________

活動(dòng)二塑料桿“靜”滑槽“動(dòng)”B將塑料桿固定，讓圖5中的直角動(dòng)起來(lái)，你能確定直角頂點(diǎn) O 的軌跡嗎？

設(shè)計(jì)意圖：由于 A B 為定長(zhǎng)， ∠ A O B 為直角，由“定斜對(duì)定直的頂點(diǎn)軌跡為圓弧”知點(diǎn) o 在以 A B 為直徑的圓上.但“定斜定直”模型是學(xué)生的難點(diǎn)，所以筆者仍先進(jìn)行實(shí)物操作（如圖10），輔之以幾何畫(huà)板演示（如圖11），讓其直觀感受模型的幾何特征，理解模型的基本原理和建構(gòu)方式.

回到問(wèn)題2，學(xué)生想到點(diǎn) F 的軌跡是以AB的中點(diǎn) O 為圓心，OF為半徑的圓弧，但在確定圓弧的準(zhǔn)確位置時(shí)存在困難.為有效突破難點(diǎn)，筆者示范利用極端位置確定點(diǎn)F 的起點(diǎn)和終點(diǎn)（如圖12），滲透極限思想并引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成有序思考的

變式1如圖13，在矩形ABCD中， A B=2，B C=3 ，點(diǎn) E 是A D 邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接 B E ，若 A F⊥ B E 于點(diǎn) F ，則線段 D F 的最小值是__________

變式2如圖14，在 RtΔ A B C 中，A B⊥ B C，A B=6，B C=4，P 是 Δ A B C 內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足 ∠ P A B= ∠ P B C ，則線段 C P 長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_________

設(shè)計(jì)意圖：直觀想象教學(xué)不能停留在操作與觀察層面，要進(jìn)行類(lèi)比與聯(lián)想，讓學(xué)生的思維真正介入.變式1、變式2分別是對(duì)問(wèn)題2在圖形和條件上的改編，目的是讓學(xué)生抓住本質(zhì)，想象出通過(guò)尺規(guī)作圖所形成的圖形，如圖15、圖16，加深對(duì)“定斜定直”模型的理解，實(shí)現(xiàn)從具體操作到想象圖形的能力提升.

3教學(xué)思考

2.4典型例題，遷移運(yùn)用

例題如圖17， ∠ M O N= ，已知 Δ A B C 中， A C=B C= 1 3，A B=10，Δ A B C 的頂點(diǎn) A，B 分別在邊 O M，O N 上，當(dāng)點(diǎn) B 在邊 O N 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) A 隨之在OM學(xué)生獨(dú)立思考后交流.

上運(yùn)動(dòng)， Δ A B C 的形狀始終保持不變，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， 的最小長(zhǎng)度為_(kāi)_________

生1：在 RtΔ A B O 中，取 A B 的中點(diǎn) D ，點(diǎn) D 的軌跡是以 O 為圓心， O D 為半徑的圓弧，連接 C D 交圓弧于 ，則 c o 的最小值即為 ，如圖18.

生2：取 A B 的中點(diǎn) D ，連接O D ， ， C D ，則有 在RtΔ A C D 中， C D=12 ，由三角形三邊關(guān)系可得 C D-O D 三點(diǎn)共線時(shí) C O 最小，如圖19.

設(shè)計(jì)意圖：例題是對(duì)活動(dòng)二的拓展提升，學(xué)生經(jīng)歷了兩個(gè)探究活動(dòng)，具備從不同視角分析圖形的經(jīng)驗(yàn)，能夠運(yùn)用幾何直觀和邏輯推理分析、解決問(wèn)題.更可喜的是，生2想到了采用一般到特殊的思想，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.

2.5歸納總結(jié)，感悟提升

引導(dǎo)學(xué)生辨析兩個(gè)視角的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)（如圖20），感悟不一樣的視角會(huì)產(chǎn)生不一樣的效果.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比歸納，引導(dǎo)學(xué)生將認(rèn)知顯性化、結(jié)構(gòu)化，使得數(shù)學(xué)知識(shí)、研究路徑、思想方法與思維策略等在更高層次上得到重構(gòu)，培養(yǎng)其反思意識(shí)和反思品質(zhì)，提升再創(chuàng)造學(xué)習(xí)的能力.

3.1注重教材資源的開(kāi)發(fā)，溯本重構(gòu)

中考命題以課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)，源于數(shù)學(xué)教材.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課要嚴(yán)格按照課程標(biāo)準(zhǔn)要求，充分挖掘與拓展教材，教材中的基本概念、公式、定理、例習(xí)題、數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)探究以及數(shù)學(xué)活動(dòng)等均可作為復(fù)習(xí)資源.本課中，筆者選擇教材中學(xué)生熟悉的梯子問(wèn)題，但沒(méi)有拘泥于教材問(wèn)題，而是對(duì)習(xí)題進(jìn)行深度改編與創(chuàng)新設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想、研究路徑與學(xué)習(xí)方法上的再建構(gòu)，使其數(shù)學(xué)認(rèn)知在更高層次上得到重構(gòu)，體會(huì)“源于教材，題在書(shū)外、神在書(shū)內(nèi)”的命題導(dǎo)向.

3.2延展探究過(guò)程的視角，啟迪思維

專(zhuān)題復(fù)習(xí)課教學(xué)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生在探究中重構(gòu)認(rèn)知、提煉方法、發(fā)展思維、提升素養(yǎng).這就要求教師要關(guān)注兩個(gè)方面：一是通過(guò)問(wèn)題、思路與方法的“形變神似”與“形似神變”，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題本質(zhì)；二是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不是已有知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，而是要讓學(xué)生在原有基礎(chǔ)上有所提高、有所發(fā)展.因此，教師要在問(wèn)題形式、復(fù)習(xí)方式、研究策略上有所創(chuàng)新，激發(fā)學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣與靈感.本節(jié)課中，筆者基于情境中塑料桿與滑槽的相對(duì)關(guān)系，設(shè)計(jì)動(dòng)線、動(dòng)角兩種不同視角的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別不同情境下的隱圓模型，達(dá)到對(duì)知識(shí)理解和內(nèi)化的同時(shí)，有效培養(yǎng)思維的靈活性與深刻性，形成良好的思維品質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力.

3.3積累圖形運(yùn)動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展素養(yǎng)

圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，究其原因在于它不僅要求學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯思維和直觀想象能力.而研究圖形運(yùn)動(dòng)和變化，就是從直覺(jué)感知并描述其中的規(guī)律，想象并表達(dá)運(yùn)動(dòng)和變化前后圖形的空間方位和相互關(guān)系.因此，教學(xué)中要結(jié)合操作讓圖形運(yùn)動(dòng)和變化可視，化抽象為具體，不斷加深幾何直觀，發(fā)展空間觀念3.本節(jié)課中，通過(guò)實(shí)物操作和幾何畫(huà)板演示，引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用直覺(jué)初步感知并描述圖形特征，想象并表達(dá)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)點(diǎn)的軌跡，促進(jìn)其對(duì)“定點(diǎn)定長(zhǎng)”“定斜定直”隱圓模型的理解，積累解決圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).更重要的是，學(xué)生在經(jīng)歷直觀想象、動(dòng)手操作、用眼觀察、動(dòng)腦思考的探索過(guò)程中，具體形象思維、直觀動(dòng)作思維和抽象邏輯思維有效交織，共同促進(jìn)了其思維的全面發(fā)展.

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