動(dòng)手實(shí)踐 整體建構(gòu)

初中數(shù)學(xué)教材中，每一章開(kāi)篇的章起始課都有著舉足輕重的作用，但是我們教師認(rèn)為這大多為概念課的傳授，內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，總是忽視其重要性.在教學(xué)過(guò)程中，章起始課的統(tǒng)領(lǐng)價(jià)值得不到體現(xiàn)，學(xué)生對(duì)一章的學(xué)習(xí)缺乏整體認(rèn)知，無(wú)法獲得相關(guān)知識(shí)的研究學(xué)習(xí)路徑.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確要求教學(xué)要整體化，知識(shí)要結(jié)構(gòu)化，問(wèn)題要情景化，開(kāi)展主題式或者項(xiàng)目化的實(shí)踐活動(dòng).因此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)重視章起始課的教學(xué)，實(shí)現(xiàn)其整體統(tǒng)領(lǐng)價(jià)值，并且設(shè)計(jì)學(xué)生主動(dòng)參與的動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者根據(jù)實(shí)際教學(xué)需要，結(jié)合人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十五章“概率初步”的章起始課進(jìn)行教材整合，與大家一起分享經(jīng)驗(yàn)與思考.

1創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

觀看《薛定諤的貓》視頻.

師：同學(xué)們知道薛定諤的貓這個(gè)思想實(shí)驗(yàn)嗎？請(qǐng)看視頻.薛定諤的貓的生死這個(gè)事件我們能確定嗎？生活中還有許多這樣的事件.下班后老師騎車出校門遇到的第一個(gè)紅綠燈是紅燈，走到中興超市門口撿了100元，老師在超市里買了一張刮刮樂(lè)彩票中了10000元，逛完超市老師去中興五樓看電影，座位號(hào)是雙數(shù).同學(xué)們，老師說(shuō)的以上這些事件一定會(huì)發(fā)生嗎？

生：這些事件的發(fā)生都具有不確定性.

師：那它們發(fā)生的可能性有多大呢？這個(gè)問(wèn)題是我們以前所學(xué)的幾何與代數(shù)知識(shí)無(wú)法解決的，今天我們一起走進(jìn)初中數(shù)學(xué)的一個(gè)全新板塊——概率.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生觀看關(guān)于量子物理學(xué)的視頻，引起學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣，然后引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)生活說(shuō)出生活中的不確定性事件，感受生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，引出課題.情境創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中的“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察

現(xiàn)實(shí)世界”

2小初高銜接，整體把握

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在小學(xué)時(shí)已經(jīng)學(xué)過(guò)隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性，具備了一定的數(shù)據(jù)觀念，在初中整個(gè)25章的學(xué)習(xí)中進(jìn)一步培養(yǎng)了數(shù)據(jù)觀念，為高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)古典概型的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).把小學(xué)、初中、高中的所學(xué)的相關(guān)知識(shí)銜接起來(lái)（如圖1），體現(xiàn)知識(shí)的生成和發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)處于一個(gè)整體結(jié)構(gòu)之中，讓學(xué)生知道本章的學(xué)習(xí)在整個(gè)小初高學(xué)習(xí)中的地位.這樣使得學(xué)生非常了解自己所學(xué)內(nèi)容的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)，有利于用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué).

3新課講授

3.1動(dòng)手實(shí)踐，形成概念

主問(wèn)題1學(xué)校組織外出研學(xué)活動(dòng)，外出時(shí)需要選出小隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)在通過(guò)擲子的方式，觀察向上一面的點(diǎn)數(shù)，誰(shuí)的點(diǎn)數(shù)大誰(shuí)來(lái)當(dāng)小隊(duì)長(zhǎng)，如果點(diǎn)數(shù)重復(fù)，重新投擲.

試驗(yàn)要求：（1）每個(gè)小組成員擲骰子一次，組長(zhǎng)記錄結(jié)果，并匯報(bào)本組試驗(yàn)結(jié)果；

（2）一名同學(xué)到講臺(tái)當(dāng)統(tǒng)計(jì)員，記錄全部試驗(yàn)結(jié)果（統(tǒng)計(jì)結(jié)果記錄在表1中）；

（3）試驗(yàn)時(shí)注意紀(jì)律性和規(guī)范性.

學(xué)生活動(dòng)：小組內(nèi)成員有序擲骰子，組長(zhǎng)負(fù)責(zé)記錄，然后由組長(zhǎng)依次匯報(bào)本組試驗(yàn)結(jié)果，由一名統(tǒng)計(jì)員上講臺(tái)幫助統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

設(shè)計(jì)意圖：以研學(xué)活動(dòng)為背景，讓學(xué)生感受從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題.學(xué)生親身體驗(yàn)試驗(yàn)過(guò)程，體會(huì)數(shù)據(jù)形成的過(guò)程.首先讓學(xué)生猜想試驗(yàn)結(jié)果，然后統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，驗(yàn)證結(jié)果的正確性，經(jīng)歷“猜想一統(tǒng)計(jì)分析一驗(yàn)證”的過(guò)程，明確概率以統(tǒng)計(jì)為依托，但概率的學(xué)習(xí)又能在統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上進(jìn)一步增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)據(jù)的能力.本環(huán)節(jié)注重發(fā)揮情景設(shè)計(jì)與問(wèn)題提出對(duì)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的促進(jìn)作用，并讓學(xué)生積極動(dòng)手實(shí)踐，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐精神，真正使數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)落地.

回答以下問(wèn)題：

（1）向上一面的點(diǎn)數(shù)有幾種可能的結(jié)果？（2）“點(diǎn)數(shù)小于7”這個(gè)事件會(huì)發(fā)生嗎？（3）“點(diǎn)數(shù)是0\"這個(gè)事件會(huì)發(fā)生嗎？（4）“點(diǎn)數(shù)是1\"這個(gè)事件會(huì)發(fā)生嗎？（5）“點(diǎn)數(shù)大于2”這個(gè)事件會(huì)發(fā)生嗎？（6）“點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”這個(gè)事件會(huì)發(fā)生嗎？（7）依據(jù)事件的發(fā)生情況對(duì)事件進(jìn)行分類.學(xué)生活動(dòng)：通過(guò)抽簽的方式抽到每小組的3號(hào)個(gè)體接力完成問(wèn)題的回答.

教師總結(jié)：一起給這三類事件起個(gè)名字吧，其中必然事件和不可能事件的結(jié)果是確定的，我們叫確定性事件.三類事件必須在一定條件下才能定性分析，條件改變，事件的屬性也會(huì)發(fā)生變化.

設(shè)計(jì)意圖：由以上7個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生對(duì)事件進(jìn)行分類，并給事件命名，順勢(shì)引出三類事件的定義.可見(jiàn)，定義可以讓學(xué)生根據(jù)自己的理解進(jìn)行不斷的概括、歸納、總結(jié)，能夠提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的能力.

學(xué)以致用：下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機(jī)事件？

（1）太陽(yáng)從東邊升起；

（2）射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中中心；

（3）在某醫(yī)院里，下一個(gè)出生的嬰兒是女孩；

（4）拔苗助長(zhǎng)；

（5）任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是 .

（6）通常加熱到 時(shí)，水沸騰.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生采取個(gè)體接力的方式完成回答.

教師：說(shuō)到拔苗助長(zhǎng)，它是違背事情發(fā)展的客觀

規(guī)律的，急于求成在我們的生活中是方萬(wàn)不可的，一定要遵循事物的發(fā)展規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}（1）是地理學(xué)科內(nèi)容，問(wèn)題（2）是體育內(nèi)容，問(wèn)題（3）是生物學(xué)科內(nèi)容，問(wèn)題（4）是語(yǔ)文學(xué)科內(nèi)容，問(wèn)題（5）是數(shù)學(xué)內(nèi)容，問(wèn)題（6）是物理學(xué)科內(nèi)容.跨學(xué)科設(shè)計(jì)問(wèn)題，讓學(xué)生會(huì)判斷三類事件.這一問(wèn)題的設(shè)計(jì)讓學(xué)生感受各學(xué)科內(nèi)容的相互融合，在跨學(xué)科背景下用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的概念，促使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之間的聯(lián)系.在提到拔苗助長(zhǎng)時(shí)，借機(jī)告訴學(xué)生它是違背事情發(fā)展的客觀規(guī)律的，急于求成在我們的生活中是萬(wàn)萬(wàn)不可的，一定要遵循事物的發(fā)展規(guī)律.此時(shí)也是在課堂中進(jìn)行德育教育的良機(jī)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

主問(wèn)題2盒中有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同，即除顏色外無(wú)其他差別，在看不到球的條件下，隨機(jī)摸出一個(gè)球.

（1）這個(gè)球是紅球還是白球？（2）如果兩種球都有可能被摸出，那么摸出白球和紅球的可能性一樣大嗎？（3）能否通過(guò)改變袋子中某種顏色球的數(shù)量，使得“摸出紅球”和“摸出白球”的可能性大小相同？（4）你能用數(shù)值表示“摸出的是白球”“摸出的是紅球”這兩個(gè)事件的可能性嗎？

師生活動(dòng)：教師在不透明的盒子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，讓學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)踐，通過(guò)摸球試驗(yàn)來(lái)回答以上四個(gè)問(wèn)題.

師：隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小.通過(guò)改變條件，事件發(fā)生的可能性也會(huì)發(fā)生改變，但我們可以用數(shù)值描述可能性的大小，這個(gè)數(shù)值就是概率.

小結(jié)：一般地，對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件 A ，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件 A 發(fā)生的概率，記為 P（A）

思考：試驗(yàn)結(jié)果總數(shù)是否有限？試驗(yàn)的各種結(jié)果的可能性相等嗎？

設(shè)計(jì)意圖：由主問(wèn)題2引出隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，改變條件可以改變隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，并用數(shù)值表示可能性的大小，由此得出概率的定義.主問(wèn)題2的設(shè)計(jì)仍以學(xué)生親身動(dòng)手實(shí)踐進(jìn)行活動(dòng)來(lái)開(kāi)展，以生為本，突出學(xué)生的主體地位.本活動(dòng)的設(shè)計(jì)讓學(xué)生由隨機(jī)事件的學(xué)習(xí)自然過(guò)渡到用數(shù)值描述事件發(fā)生的可能性的大小，也就是概率的定義.

3.2合作交流，探究發(fā)現(xiàn)

主問(wèn)題3在外出研學(xué)的過(guò)程中，老師設(shè)計(jì)了一個(gè)小游戲，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上一面的點(diǎn)數(shù).當(dāng)“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”時(shí)，女生獲得勝利；當(dāng)“點(diǎn)數(shù)是3

的倍數(shù)”時(shí)，男生獲得勝利.

（1） ① 擲骰子試驗(yàn)中，向上一面的點(diǎn)數(shù)總共有幾種可能的結(jié)果？每種點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的可能性相同嗎？

② “點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”這個(gè)事件包含幾種可能結(jié)果？這個(gè)事件的概率是多少？

③ “點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)”這個(gè)事件包含幾種可能結(jié)果？這個(gè)事件的概率是多少？

④ 一次試驗(yàn)共 n 種可能的結(jié)果，事件 A 包含其中 種可能結(jié)果，那么事件 A 發(fā)生的概率 P （A）是多少？

（2）m 與 n 的大小關(guān)系是怎樣的？ P（A） 的取值范圍是什么？當(dāng)事件 A 為必然事件時(shí)， P（A） 是多少？當(dāng)事件 A 為不可能事件時(shí)， P（A） 為多少？

（3）這個(gè)游戲公平嗎？說(shuō)明理由.

學(xué)生活動(dòng)：自學(xué)、互學(xué)、展學(xué).

師總結(jié)：（i）求概率需要求兩個(gè)數(shù)值，即一次試驗(yàn)所有的可能性個(gè)數(shù)和事件所包含的可能性個(gè)數(shù).

（ii）對(duì)于“公平性”問(wèn)題的解決需要算出各自的概率并進(jìn)行比較.

變式你能以擲骰子試驗(yàn)為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)一個(gè)概率為 的事件嗎？

設(shè)計(jì)意圖：主問(wèn)題3的設(shè)計(jì)仍然以研學(xué)活動(dòng)為背景，以擲骰子實(shí)踐活動(dòng)為主線，主要讓學(xué)生由特殊到一般歸納出概率公式，通過(guò)自學(xué)、互學(xué)、展學(xué)環(huán)節(jié)完成關(guān)鍵問(wèn)題的探究.學(xué)生能通過(guò)事件求概率，也能通過(guò)變式訓(xùn)練逆向思維.已知概率設(shè)計(jì)事件，培養(yǎng)學(xué)生高階思維.

3.3項(xiàng)目化作業(yè)：“校園設(shè)計(jì)師”大賽

請(qǐng)發(fā)揮你的想象力，利用我們所學(xué)的概率知識(shí)，設(shè)計(jì)一種關(guān)于“公平性”的游戲，使用合理的工具（如圖2），并求出相應(yīng)事件的概率.

設(shè)計(jì)意圖：主問(wèn)題3中的游戲設(shè)計(jì)不公平，讓學(xué)生課下完成項(xiàng)目化實(shí)踐作業(yè)，幫老師設(shè)計(jì)一個(gè)公平游戲，增強(qiáng)作業(yè)的開(kāi)放性和實(shí)踐性，促使學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)際中.數(shù)學(xué)作業(yè)的布置可以以項(xiàng)目為引領(lǐng)，以實(shí)踐活動(dòng)為主題，把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生利用合理工具設(shè)計(jì)方案，形成物化產(chǎn)品，可以寫成數(shù)學(xué)小論文.

3.4文化激趣，課外延伸

概率論的產(chǎn)生：概率論產(chǎn)生于17世紀(jì)，其產(chǎn)生的背景和賭博有關(guān).早在1654年，有一個(gè)賭徒梅雷爵士向當(dāng)時(shí)的法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題，即賭本該如何分配才合理？這是最早引發(fā)概率研究的一個(gè)著名問(wèn)題.三年后，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯出版了《論賭注中的計(jì)算》一書，這是最早的概率論著作.而使概率論成為一個(gè)分支的奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解概率論的產(chǎn)生，不斷豐富數(shù)學(xué)文化，開(kāi)闊數(shù)學(xué)眼界.

3.5總結(jié)反思，凝煉結(jié)構(gòu)

（1）本節(jié)課你的收獲有哪些？（2）本節(jié)內(nèi)容的研究路徑是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容及研究路徑，概括歸納完成框架圖（如圖3）構(gòu)建.教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生了解求概率的方法一—用列舉法求概率和用頻率估計(jì)概率.通過(guò)擲骰子的試驗(yàn)中子數(shù)量的增加，說(shuō)明利用列表法和樹(shù)狀圖求概率的區(qū)別，例舉在線學(xué)習(xí)平臺(tái)的錯(cuò)題概率統(tǒng)計(jì)，體現(xiàn)了大數(shù)據(jù)時(shí)代的優(yōu)越性.

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)意在幫學(xué)生構(gòu)建完整的第25章的結(jié)構(gòu)框架，梳理研究路徑，讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型（概率），然后用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，促使學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活.整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中自然生成，把整節(jié)課乃至整章的研究路徑梳理出來(lái)，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)整體建構(gòu)，學(xué)生能夠形成很清晰的知識(shí)脈絡(luò).

本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)在情境導(dǎo)人中，注重與生活實(shí)際相聯(lián)系，讓學(xué)生猶如處于真實(shí)的生活中感受數(shù)學(xué).同時(shí)把本節(jié)課的學(xué)習(xí)置于整個(gè)小初高的學(xué)習(xí)歷程中，讓學(xué)生知道自己已經(jīng)學(xué)了哪些知識(shí)，將要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容，有著清晰的學(xué)習(xí)目標(biāo).整個(gè)教學(xué)過(guò)程“一境到底”，用學(xué)生外出研學(xué)活動(dòng)作為學(xué)習(xí)背景，動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)貫穿始終，以生為本，學(xué)生作為課堂的主體積極參與試驗(yàn)，通過(guò)合作探究得到結(jié)論.在試驗(yàn)時(shí)，從數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)開(kāi)始，通過(guò)“猜想一統(tǒng)計(jì)分析一驗(yàn)證”得出結(jié)論，在此過(guò)程中加強(qiáng)了統(tǒng)計(jì)與概率之間的關(guān)聯(lián)性，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念和應(yīng)用意識(shí).項(xiàng)目化作業(yè)的布置，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在作業(yè)中落地.在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，和學(xué)生一起整體建構(gòu)，使知識(shí)結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，真正落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人價(jià)值.