動點繪相似解三角形之謎

三角形中的有關動點的綜合問題，是檢驗學生數學基礎、思維模式與應用技巧的一面鏡子，它不僅考查學生對數學基本概念的掌握程度，也檢驗學生的數學思維與解題策略.利用有關相似三角形求解有關動點的綜合問題，是初中數學領域的經典例題.通過常見題型，掌握解題策略與技巧，讓學生通過熱點題型訓練磨礪解題之劍，不斷培養學生的數學運算能力與邏輯推理能力.

1線段、面積比例問題

對于平面中以點的運動為背景，求解有關線段長度、三角形面積或者所成比例的綜合問題，需要結合條件構建相似關系，將復雜的幾何圖形問題轉化為函數問題，通過建立函數模型，搭建從題目條件到函數解題策略之間的橋梁，利用三角形的相似或性質、勾股定理、二次函數、三角函數進行求解，不斷提升利用相似三角形解題的效率，拓寬學生的數學思維.

例1（2024·江蘇徐州初三檢測）如圖1，在同一平面上，兩塊全等的直角三角板RtΔ A B C 和 RtΔ A D C 拼在一起，使斜邊 A C 完全重合，且頂點 B，D 分別在 A C 的兩旁， 點M，N 分別從點 A ，點 c 同時分別以 的速度出發向點 D 、點 B 運動，設點 M 的運動時間為t ，當其中一個動點到達終點時，另一個點也停止運動.

（1）取 D C 的中點 P ，連接 M P，N P ，設 Δ P M N 的面積為 y （單位： ），試求出 y與 t的函數關系式；

（2）在（1）的條件下，是否存在某一時刻 t ，使得Δ NMP的面積是 RtΔ A D C 面積的一半？

（3）是否存在某一時刻 t ，使得MN分線段 A C 為

解析：（1）作 N F⊥ D C 交 D C 的延長線于點 F ，連接 ，如圖2.

因為 A D= 6cm，RtΔ A B CΔRtΔ A D C ，所以 C B=C D=A D ·tan √3， ，則

因為 P 為 C D 的中點，所以

易得 C N=t，A M=2t ，則 C ，且 P M D ，所以 圖2 ，從而 y= S幕形MDFN -

（2）存在.理由如下：易得 當 時， ，解得 t=0 或

所以，當 t=0 或 時， Δ N M P 的面積與RtΔ A D C 面積的一半.

（3）易得 假設 A Q：C Q=2：1 ，則 如圖3，過點 M 作 M G//B C ，交 A G 于點 G ，作 G H⊥ A D 于點 H .所以 又因 為 ，則 .所以 ∠ C A D= ，則 A G=G M

所以 ，則

因為 ∠ G Q M=∠ C Q N ， ∠ Q G M=∠ Q C N ，所以2√3

可得 Δ G Q M～Δ C Q N ，則 即

，解得 故當 時， .M N 分線段 A C 為 A Q：C Q=2：1

評析：本題通過適當添加輔助線構建解題所需的幾何關系，利用已知條件和圖形特征，結合點的運動和性質，利用三角形相似形、直角三角形、三角形面積和線段長度求解等知識，借助比例找到有關長度和圖形面積，然后分別列式求解.

2線段長度與最值問題

對于以有關幾何圖形中的點的運動為背景，求解有關線段最值和運動路徑長度問題，需要深人挖掘題目中的隱含信息，注意點在運動過程中的某些特殊點、特殊線（如中線、高線、角平分線等），以及運動到某位置時三角形的角度或邊長，然后利用三角形相似、對應邊成比例找到有關邊長，通過適當添加輔助線，構造有關特殊的三角形，結合所學知識求解線段最值問題和點的運動軌跡（如直線、圓弧等），然后利用幾何知識（如弧長公式、直線長度計算等）來求解.

例2（2024·江蘇泰州初三檢測）如圖4，在Δ A B C 中 ，點D為BC邊上的動點.以 D 為頂點作 ∠ A D E=∠ B ，射線 D E 交A C 邊于點 E ，過點 A 作 A F⊥ A D 交射線 D E 于點 F

（1）求證： Δ A B D～Δ D C E

（2）當 D E//A B 時（如圖5），求 A E 的長.（3）點 D 從點 B 運動到點 c 的過程中，① 直接寫出 A F 的最小值；

② 直接寫出點 F 的運動路徑的長.

（1）證明：因為 A B=A C ，所以 ∠ B=∠ A C B 因為 ∠ A D E+∠ C D E=∠ B+∠ B A D， ∠ A D E= ∠ B ，所以 ∠ B A D=∠ C D E ，所以 Δ A B D～Δ D C E .

（2）解：如圖6，作 A M⊥ BC于點 M 在 RtΔ A B M 中，設B M=4k ，則 A M=B M× tan

由勾股定理，得到 ，所以 ，解得 k=4 或 k=-4 （舍去）.所以B M=16，A M=12. 因為 A B=A C ， A M⊥ B C ，所以B C=2B M=32

因為 D E//A B ，所以 ∠ B A D=∠ A D E 又 ∠ A D E= ∠ B ，所以 ∠ B A D=∠ A C B

又因為 ∠ A B D=∠ C B A ，所以 Δ A B D～Δ C B A ， 則 .

所以

因為 D E//A B ，所以 BC，從而得AE=

（3） ①A F 的最小值為9；

② 點 F 的運動路徑的長為24.

評析：本題考查點的運動為背景，求解線段最值和長度問題.在理解題意的基礎上，適當添加輔助線，然后利用等腰三角形性質、勾股定理、相似三角形判定、對應邊比例關系、銳角三角函數等進行求解.