三位一體”視角下中考數(shù)學試題賞析及教學思考

所謂“三位一體”，是指基礎知識、數(shù)學思想、實際應用及課標落實.首先，基礎知識的考查確保學生對數(shù)學概念、公式和技能的扎實掌握，為后續(xù)學習奠定堅實基礎；其次，數(shù)學思想的滲透幫助學生理解數(shù)學的內(nèi)在邏輯和方法論，如數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想等，培養(yǎng)其抽象思維和問題解決能力；最后，實際應用的題目促進學生將數(shù)學知識運用于真實情境中，增強其解決實際問題的能力1.從三個角度命制和分析中考數(shù)學試題，能確保試題設計與課程標準緊密銜接，有效落實教育目標和學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng).筆者以2024年上海市中考數(shù)學試卷第25題為例，從上述三個角度對試題進行賞析，以便更深人的研究試題.

1真題呈現(xiàn)

在梯形 A B C D 中， A D//B C ，點 E 在邊 上，且 （1）如圖1所示，點 F 在邊 C D 上，且 ，連接 E F ，求證： E F//B C.（2） 已知 A D= A E=1.① 如圖2所示，連接 D E ，如果 Δ A D E 外接圓的圓心恰好落在 ∠ B 的平分線上，求 Δ A D E 的外接圓的半徑長； ② 如圖3所示，如果點 M 在邊 B C 上，連接 E M，D M，E C，D M 與 E C 交于點 N .如果 ∠ C M D= ∠ C E M，B C=4 ，且 ，求邊 C D 的長.

分析：（1）連接 D E 并延長交 C B 的延長線于點G ，轉(zhuǎn)移比例線段，得到 EG=FC，從而證出 EF /IB C ；（2）記點 o 為 Δ A D E 外接圓圓心，過點 o 作O F⊥ A E 于點 F ，連接 O A，O E，O D，O B.① 利用三角形外接圓的性質(zhì)得出 ，再根據(jù) B O 平分 ∠ A B C 得出 ，然后得出相似，求出半徑OA的長度； ② 此問難度較大，延長 B A，C D 交于點P ，過點 E 作 E Q⊥ B C 于點 Q .首先將條件轉(zhuǎn)化成線段和角度關(guān)系，由 ，容易得到 Δ D C N O Δ D M C ，再根據(jù)這個相似結(jié)論可以證出 Δ B E M～ Δ B P C ，多組相似轉(zhuǎn)化，再利用勾股定理建立方程，求出未知數(shù).

2試題賞析

2.1基礎知識的考查

此題首先考查了學生對梯形基本性質(zhì)的理解，如平行邊和非平行邊的比例關(guān)系，以及三角形外接圓的基本性質(zhì).題目中 和 的設定，要求學生熟練掌握相似三角形的構(gòu)造與性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)來證明 E F//B C. 此外，第 ②① 小題涉及外接圓性質(zhì)，要求學生準確應用圓的基本性質(zhì)以及相關(guān)幾何定理，尤其是在計算外接圓的半徑時需要運用角平分線的幾何性質(zhì).第 （2）② 小題要求學生掌握相交弦定理，并能將其與已知條件結(jié)合進行計算，考查了學生在幾何與代數(shù)結(jié)合中的運算能力.總體來說，題目的設計全面考查了學生對梯形、圓、相似和比例的基礎知識的掌握情況，并要求學生能夠?qū)⑦@些知識點靈活運用于具體問題的解決.

2.2數(shù)學思想的考查

題目的設計突出體現(xiàn)了多種數(shù)學思想的考查，特別是數(shù)形結(jié)合、相似以及代數(shù)幾何結(jié)合思想等.首先，第（1）小題要求學生利用數(shù)形結(jié)合思想，通過相似三角形的判定，推導出 E F//B C 這一過程要求學生不僅要在圖形中看到對應的相似關(guān)系，還要能夠通過代數(shù)方法（比例）去驗證這些幾何關(guān)系，從而達到推理和證明的目的.其次，第（2） ① 小題考查了幾何變換和對稱性思想.學生需要理解外接圓與角平分線的關(guān)系，并通過幾何變換分析得出外接圓的半徑.這一過程中，學生要靈活運用幾何對稱性，分析圓心位置，進而解答問題.最后，第 ②② 小題通過相交弦定理的運用，進一步考查了代數(shù)幾何結(jié)合思想.學生需要將幾何圖形中的比例關(guān)系與代數(shù)方程結(jié)合起來，利用已知條件推導出CD的長度.這種多角度、多思想方法的考查，有助于學生在解題過程中深人理解數(shù)學問題的本質(zhì)，提升綜合運用數(shù)學思想的能力.

2.3實際應用的考查

這道題目在實際應用層面進行了有針對性的考查，特別是在第 （2）② 小題中，通過幾何問題引導學生解決與實際相關(guān)的代數(shù)問題.具體來說，第（2） ② 小題要求學生根據(jù)已知條件，通過幾何分析和代數(shù)運算來求解CD的長度.這一過程實際上模擬了現(xiàn)實生活中通過已知條件推導未知量的過程，考查了學生將數(shù)學知識應用于實際問題的能力.此外，第（1）小題雖然看似是純幾何問題，但通過 E F//B C 的證明，學生在分析圖形中的比例關(guān)系時，也是在為實際應用中的比例問題打基礎.因此，這道題自不僅是在考查學生的幾何知識和邏輯推理能力，更是通過數(shù)學知識的實際應用，培養(yǎng)學生在面對實際問題時靈活運用數(shù)學知識的能力.

2.4課程標準的落實

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中強調(diào)了數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，包括幾何直觀、推理能力、運算能力和模型觀念等.這道題目在各個小題中，緊密圍繞這些核心素養(yǎng)展開考查.首先，第（1）小題通過相似三角形和比例關(guān)系的證明，考查了學生的幾何直觀和推理能力，符合課標中對幾何理解和應用的要求.其次，第 （2）① 小題則通過外接圓和角平分線的結(jié)合，檢驗了學生的幾何推理和空間想象能力，這與課標中強調(diào)的幾何直觀和空間思維發(fā)展相契合.最后，第 ②② 小題通過代數(shù)和幾何的結(jié)合，考查了學生的運算能力和數(shù)學建模思想，尤其是在解題過程中，學生需要構(gòu)建方程并進行求解，這與課標中關(guān)于提升學生數(shù)學建模和解決實際問題能力的要求相一致.因此，這道題目不僅在考查具體知識點時體現(xiàn)了《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的要求，還通過多角度的綜合考查，全面落實了課標對初中生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標.

3教學思考

3.1強化基礎知識的理解與應用

在教學過程中，應更加注重基礎知識的理解與應用，而不僅僅是讓學生記住概念和公式.教師應通過多樣化的教學方式，幫助學生將抽象的數(shù)學概念與實際問題聯(lián)系起來，從而加深對基礎知識的理解[2].例如，教師可以通過設立情境問題或引導學生進行實際操作，讓學生在解決問題的過程中自然地理解和應用幾何、代數(shù)等知識.進一步，教師應關(guān)注學生對基礎知識的靈活運用能力，而不僅僅是機械記憶.可以通過設計多樣化的練習題，尤其是結(jié)合實際應用的題目，來檢驗學生對知識的掌握程度.通過持續(xù)的反饋和個性化輔導，幫助學生在理解和應用基礎知識方面取得進步，從而為后續(xù)學習打下堅實的基礎.

3.2注重數(shù)學思想的滲透與運用

在數(shù)學教學中，教師不僅要教授具體的知識點，還要著力培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，如數(shù)形結(jié)合、歸納與演繹、比例與相似等.這些數(shù)學思想是學生深人理解和靈活應用數(shù)學知識的核心工具.為此，教師在教學過程中，應有意識地將這些思想融人到日常的教學環(huán)節(jié)中，鼓勵學生在解題時主動運用數(shù)學思想進行分析和推理.例如，在講解幾何問題時，可以引導學生通過圖形的變化和代數(shù)表達的結(jié)合來理解問題的本質(zhì)，并在不同情境下應用相同的數(shù)學思想解決問題.這種教學思考強調(diào)了數(shù)學思想的普遍性和靈活性，不僅能幫助學生更好地應對各種綜合問題，還能增強他們在實際生活中運用數(shù)學的能力.通過在教學中不斷滲透數(shù)學思想，教師可以幫助學生建立更加系統(tǒng)化的數(shù)學思維，提升其數(shù)學綜合素養(yǎng).

3.3重視實際應用與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

教學過程中，教師應高度重視數(shù)學知識的實際應用及核心素養(yǎng)的培養(yǎng).因此，教師可通過實際案例和問題情境的設計，引導學生將課堂上學到的數(shù)學知識運用到實際生活中，增強他們的應用能力和創(chuàng)新思維.教師可以設計一些與生活密切相關(guān)的應用題，鼓勵學生運用所學知識進行分析和解答，幫助他們理解數(shù)學在現(xiàn)實世界中的價值.同時，這種教學方式也符合《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中對核心素養(yǎng)的要求，特別是空間觀念和模型觀念的培養(yǎng).通過實際應用的訓練，學生不僅能夠加深對知識的理解，還能提高自身在真實情境中解決問題的能力.最終，這種基于實際應用的教學策略將有助于培養(yǎng)全面發(fā)展的學生，使他們在應對復雜問題時具備更強的綜合能力和創(chuàng)造力.

參考文獻：

[1]潘小梅.突出選拔評價功能，導向核心素養(yǎng)教學——2018年浙江省杭州市中考數(shù)學試題評析與思考J.中學數(shù)學，2018（16）：42-47.

[2]母萬里，高紅成.安徽省中考數(shù)學試題與課程標準的一致性分析[J].理科考試研究，2024，31（16）：8-13.