中考試題數學思想剖析及教學啟示

1數形結合思想

數形結合思想是中學數學教學中的一個重要理念，它強調通過數與形的相互轉化和結合來解決數學問題，主要包含兩個方面的含義：一方面，通過將抽象的數值問題轉化為幾何圖形問題，學生可以更直觀地理解和解決問題1.例如，將方程或不等式問題轉化為函數圖象問題，能夠更直觀地看到解的分布情況.另一方面，通過將幾何問題用代數方法來解決，學生能夠更精確地進行計算和推理.例如，在幾何證明中，利用坐標系和代數方法進行計算和推導.

例1如圖1，以原點 o 為圓心、3為半徑的圓與 x 軸分別交于 A，B 兩點（點 B 在點 A 的右邊）， P 是半徑 O B 上一點，過點 P 且垂直于 A B 的直線與？ O 分別交于 C，D 兩點（點 c 在點 D 的上方），直線 A C，D B 交于點 E ，假設 A C：C E=1：2 （1）求點 P 的坐標；

（2）求過點 A 和點 E ，且頂點在直線 C D 上的拋物線的函數表達式.

試題分析：（1）如圖2所示，為了求出點 P 的坐標，需要借助輔助線來解題，作 E F 垂直于y 軸于點 F ，并延長 D C ，使其交E F 于點 H .結合試題的信息，可設點 H 的坐標為 （m，n） ，則點P（m，0） ，進而可得 P A=m+3

P B=3-m .首先證明 Δ A C P～Δ E C H ，則 ，得出CH= ，EH=2m+6.根據所學知識易證 Δ D P B～Δ D H E ，則 可得 ，求出 ，點 P 的坐標即可得出.（2）根據試題提供的相關信息和所學知識，設拋物線的解析式為 y=a（x+3）（x-5）（a≠0） ，同時需要求出點 E 的坐標，將其代入即可解決問題.

中考數學試題中數形結合思想的考查路徑可以從以下兩個方面進行分析：

（I）基本路徑

基本路徑是指通過較為直接的數形結合方式考查學生的基礎知識和基本技能.具體包括以下幾個方面：考查學生對數形結合基本概念和原理的理解，如坐標系、函數圖象、幾何圖形的面積和周長等；要求學生能夠將幾何圖形轉換為代數表達式，反之亦然，如通過解析幾何方法求解幾何問題；通過設置簡單的數形結合問題，如直線與圓的交點、二次函數圖象的性質等，考查學生的基本解題能力.這些基本路徑考題通常難度較低，主要目的是評估學生對數形結合思想的掌握情況.

（Ⅱ）綜合路徑

綜合路徑是指通過較為復雜的數形結合問題考查學生的綜合能力，包括分析能力、邏輯推理能力和問題解決能力.具體包括：設計較為復雜的綜合應用題，如涉及多個幾何圖形或代數表達式的綜合問題，要求學生綜合運用數形結合思想解題；考查學生在處理動態變化問題時運用數形結合思想的能力，如研究函數圖象的變化趨勢、求解運動軌跡等；設置一些需要創新思維的問題，如通過數形結合思想推導出新的數學結論或解決實際生活中的數學問題

2函數思想

初中數學中的函數思想是指學生在學習和運用函數的過程中，理解和掌握函數的基本概念、性質以及函數與其他數學內容之間的聯系.

例2某商店今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月到3月份，該店銷售額平均每月的增長率是（ ）.

A.20% B.25% C.50% 0.62.5%

試題分析：本題考查和訓練學生的函數思想，達到試題育人的命題目的.設每月增長率為 x ，依試題信息，共涉及3個月的銷售額，且給出了1月份銷售額為2萬元，根據銷售額平均增長率為 x ，可得3月份銷售額為 萬元，由此得出等量關系 4.5，解得 需要關注的是，由于營業額為增長狀態，增長率為負數不合題意，舍去 -2.5 ，因此得出該店銷售額平均每月的增長率為 50% .

結合試題來看，函數思想培養路徑主要為：通過現實生活中的具體情境設計問題，促使學生在解決這些問題的過程中自然地運用函數思想.另一方面，中考數學試題常涉及函數圖象的分析和推斷，要求學生根據圖象特征判斷函數的性質，如增減性、極值點、零點等.這種類型的題目能夠幫助學生直觀地理解函數的幾何意義和變化規律，通過觀察和分析圖象，提升對函數圖象與數學概念之間聯系的認識和理解能力，在這個過程中學生的函數思想得到了鍛煉，

3統計思想

初中數學中的統計思想是指通過數據的收集、整理、分析和解釋，幫助學生理解和解決現實生活中的各種問題.這一思想不僅僅是統計方法和技術的應用，更是一種處理數據和信息的思維方式.

例3表1為初三（1）班全部43名同學某次數學測驗成績的統計結果，則以下說法正確的是（ ）.

A.男生的平均成績大于女生的平均成績B.男生的平均成績小于女生的平均成績C.男生成績的中位數大于女生成績的中位數D.男生成績的中位數小于女生成績的中位數

試題分析：本題考查學生是否具備統計思想及能否正確運用統計知識解決數學問題.在解答本題前，首先要對表格中給出的數據進行分析，選項中涉及的是男生和女生的平均成績和中位數，因而需要根據公式求出相應數據，即可選出正確選項.

中考統計思想的培養路徑主要為在真實情境中要求學生進行數據分析，進而培養統計意識和能力.試題通常通過設計與學生日常生活或社會實際問題相關的情境，要求學生對數據進行收集、整理、分析和解釋.此外，常見的情境還包括學校某項活動的參與情況、調查班級同學的興趣愛好、或者社區環境數據等.這類試題不僅考查學生對統計方法的掌握程度，還培養他們運用統計知識解決實際問題的能力，對學生統計思想的培育具有很大的作用.

4教學啟示

4.1落實課程標準要求，重視數學思想的教授

首先，教師需要根據課程標準明確中考數學中涉及的核心數學思想.每一堂課或每一個單元的教學目標都應清晰地包含這些思想的傳遞，融人到教學實踐中，教師要有意識地將這些數學思想融人到具體的知識點和例題中.

4.2重視試題的載體作用，設計多類型試題

設計試題時，應確保試題類型多樣化，并覆蓋數形結合、分類討論、函數與方程、歸納與類比等核心數學思想.

注重試題的啟發性和開放性，有效發揮試題的載體作用，幫助學生在中考數學中更好地理解和應用數學思想，培養數學思維能力和解決問題的綜合素養.

4.3復習課融入數學思想試題的解題策略和步驟

復習課應注重構建學生的知識網絡，將不同數學思想與所學知識點結合.

在復習過程中，教師可以通過分步示范和逐步引導的方式滲透解題策略.

參考文獻：

[1]龍偉芳，葉緒國.夯實基礎，堅持思想方法滲透與能力培養并重—由2017年貴州黔東南州中考數學第24題引發的思考[J].西部素質教育，2018，4（18）：221-222.