運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想破解常見幾何問題

解決數(shù)學(xué)問題一般有兩種角度：一種是代數(shù)角度，通過各種運(yùn)算法則進(jìn)行求解；另一種是幾何角度，借助圖形的性質(zhì)，通過對(duì)線段、角度等對(duì)象的關(guān)系的梳理、代換等求得結(jié)果1.事實(shí)上，根據(jù)實(shí)際情況，將這兩種角度結(jié)合起來，能夠達(dá)到事半功倍的解題效果.這也正是在初中幾何解題中提倡運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的重要原因.

1解答三角形類的問題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答三角形類的幾何問題，需要注重坐標(biāo)與線段長度之間的正確換算，還需要靈活運(yùn)用勾股定理、三角形全等、銳角三角函數(shù)等知識(shí).

例1如圖 1，Δ A B C 的頂點(diǎn) A 在 y 軸上，邊 B C 和 x 軸平行，邊 A B 和 A C 分別和 x 軸交于點(diǎn) D 和 E ，原點(diǎn) o 恰好為 Δ A B C 的內(nèi)心，其中點(diǎn)B（-9，-3） ，則 D E 的長為（

A.8 B.9 C.10 D.11

解析：連接 B O ，過點(diǎn) D 作D I⊥ B O 于點(diǎn) I ，如圖2所示，

由于點(diǎn) A 在 y 軸上，點(diǎn) O 為ABC的內(nèi)心，則 ∠ D A O= ∠ E A O ， ∠ A O D=∠ A O E ，A O=A O ，于是有 Δ A D O≌ Δ A E O ，則 D O=O E

2解答矩形類的問題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答矩形類的問題，需要具體問題具體分析，尤其是對(duì)于含有函數(shù)圖象的問題，應(yīng)通過觀察將圖中的關(guān)鍵坐標(biāo)與矩形的點(diǎn)、線、角度等元素對(duì)應(yīng)起來，做好隱含信息的挖掘與應(yīng)用[2].

例2如圖3所示的矩形 A B C D 中， A B 的長為3，N為對(duì)角線BD上的定點(diǎn)，點(diǎn) M 從點(diǎn) A 沿 A D 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) D ，連接 M B，M N ，設(shè) A M=x M B+M N=y ，圖4為 y 關(guān)于 x 的函數(shù)圖象，則圖象中最低點(diǎn)的縱坐標(biāo) m 的值為（" ）.

如圖5，作點(diǎn) B 關(guān)于 A D 的對(duì)稱點(diǎn) E ，連接 E N 交 A D 于點(diǎn)P ，連接 E M."過點(diǎn) N 作 N H⊥ A B 于點(diǎn) H

于是 B A=E A ， E M=M B 由最短路徑模型可得，當(dāng)點(diǎn) M 和點(diǎn) P 重合時(shí)， y 的值最小.

3解答正方形類的問題

正方形是特殊的四邊形，不僅四條邊長度相等，四個(gè)角都是直角，而且對(duì)角線等長且相互垂直平分.解題中，注重這些性質(zhì)的運(yùn)用，通過數(shù)形結(jié)合可以很快找到線段、角度、坐標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系，迅速找到解題的突破口.

例3如圖6，四邊形ABCD為正方形，其中 C，D 兩點(diǎn)在函數(shù) 第一象限的圖象上，其中點(diǎn) 點(diǎn) c 的橫坐標(biāo)為4，則 k 的值為（ ）.

A.5 B.6 C.7D.8

解析：過點(diǎn) D 作與 x 軸平行的直線，分別過點(diǎn) 作該直線的垂線，垂足分別為 F，E ，如圖7所示，

由于點(diǎn) c 和點(diǎn) D 在函數(shù) y= 第一象限的圖象上，設(shè)點(diǎn)

4解答與圓相關(guān)的問題

圓在初中幾何中占有重要地位，其一些性質(zhì)是解答圓相關(guān)問題的重要依據(jù)1.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答圓相關(guān)的問題時(shí)，應(yīng)注重回顧圓對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，同時(shí)，注重根據(jù)需要作出對(duì)應(yīng)的輔助線，以更加直觀地展現(xiàn)線段、角度之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)快速破題.

解析：如圖9，連接 PC，PA，AP B ，過點(diǎn) P 分別作 P D，P E 垂直x 軸 、y 軸于點(diǎn) D ，點(diǎn) E .易得四邊形 D O E P 為矩形，則 P D=E O，P E=D O

5總結(jié)

學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想并不陌生，但是將其靈活用于解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題并非易事.教學(xué)中，教師應(yīng)做好平面幾何圖形基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)比、系統(tǒng)梳理加深印象，牢記不同平面幾何圖形的性質(zhì)；同時(shí)，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的講解與訓(xùn)練，使學(xué)生掌握相關(guān)的應(yīng)用細(xì)節(jié)，不斷提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解答幾何習(xí)題的水平[3].

參考文獻(xiàn)：

[1]傅健勤.初中數(shù)學(xué)幾何習(xí)題解答中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2024（12）：13-14.

[2]韋安忠.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與探究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2024（15）：56-58.

[3]王衛(wèi)東.借助數(shù)形結(jié)合發(fā)展幾何直觀[J].基礎(chǔ)教育論壇，2024（7）：44-46.