運用不定方程解應用題

1不定方程結合分類討論制定方案的種數

例1（2023·黑龍江中考）某社區為了打造\"書香社區”，豐富小區居民的業余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（ ）.

A.5種 B.6種 C.7種 D.8種

分析：設采購A種圖書 x 本，B種圖書 y 本，C種圖書 z 本，根據采購三種圖書需500元列出方程，再依據 x 的數量分兩種情況討論求解即可.

解：設采購A種圖書 x 本，B種圖書 y 本，C種圖書 z 本，其中 5≤x≤6，ygt;0，zgt; ，且 x，y，z 均為整數.根據題意，得 30x+25y+20z=500

整理，得 6x+5y+4z=100 ① 當 x=5 時， 6×5+5y+4z=100 ，則

結合 y，z 均為正整數，可知 70-4z 為10的奇 倍數．

當 70-4z=10 時， y=2 ，則 z=15

當 70-4z=30 時， y=6 ，則 z=10

當 70-4z=50 時， y=10 ，則 z=5 ·

② 當 x=6 時， 6×6+5y+4z=100 ，則

結合 y，z 均為正整數，可知 64-4z 為10的偶 數倍.

當 64-4z=20 時， y=4 ，則 z=11 ·當 64-4z=40 時， y=8 ，則 z=6 ，當 64-4z=60 時， y=12 ，則 z=1 綜上，此次共有6種采購方案.故選：B.

點評：本題考查對數學建模的理解與運用，要求學生理解題意，建立方程模型，利用分類討論思想分析問題.根據題意，找出等量關系，再設三個未知數表示等量關系，由于實際問題涉及的特定條件“A種圖書至少買5本，最多買6本”及正整數解，所以要分類討論，根據特定條件及整除的性質，得出有限組解.

2不定方程結合不等式制定方案及最值

例2（2024·樂清市元調）受甲流影響，防疫不能放松，某物業公司向超市購買A，B，C三種型號的消毒濕幣分別分給第一周、第二周、第三周工作的員工使用，每人每周1包，這三周員工人數之和為100人，已知購買1包A型濕巾和2包B型濕巾共需要130元，購買2包A型濕巾和3包B型濕巾共需要220元，已知C型濕巾每包10元，第一周員工人數lt;第二周員工人數 lt; 第三周員工人數.

（1）求A型濕巾和B型濕巾的單價.

（2）該超市促銷方案如下：每購買1包A型濕巾則贈送2包C型濕巾.① 若公司購買了第一周所需的A型濕巾后，贈送的C型濕巾剛好夠第三周使用，求物業公司購買三種濕幣所需總金額的最小值；② 若第三周需要的C型濕巾除了贈送外，還需另外購買，最終三種濕巾總共花費了2560元，求所有滿足要求的購買方案.

分析：（1）根據已知“購買1包A型濕巾和2包B型濕巾共需要130元，購買2包A型濕巾和3包B型濕巾共需要220元”，設未知數，列方程組，解之即可.（2） ① 設第一周員工人數為 m 人，則第三周、第二周員工人數用含 m 的式子來表示，購買濕巾所需的總金額用一次函數表示，根據“第一周員工人數 lt; 第二周員工人數 lt; 第三周員工人數”得出m范圍，再根據一次函數的性質求最值. ② 用兩個不同未知數分別表示第一周、第二周員工人數，則第三周員工人數也可表示；購買濕巾所需的總金額用不定方程表示出來，然后結合每周人數的大小關系建立關于未知數的不等式，再結合整數解求得結果.

點評：第（2）問的第 ② 小題中，根據題意列出不定方程，并根據題干中的信息得到 x，y，z 的大小關系，建立不等式，綜合運用整數解進行解題.

3不定方程結合多個變量估計數量

例3（2024·榆樹一模）受甲流影響，學校盡量減少學生排隊打飯的時間，決定采取班級統一預訂，學生即領即走的方式，餐費在晚餐后按實際用餐情況進行結算.食堂提供了6元三明治、12元盒飯和15元盒飯三種選擇.某班根據同學預訂情況，將本班同學分成3組.A組：午餐晚餐都吃12元盒飯；B組：午餐晚餐都吃15元盒飯；C組：午餐吃15元，晚餐吃12元盒飯.預計一天的餐費是1449元.第一天午餐時，B組有一名同學自帶了午餐，A組有一名同學正好沒吃飽，就吃了B組同學的那份午餐；晚餐時，C組有部分同學除了預訂的晚餐，還每人買了1份三明治.當天統計后發現三個組的實際餐費正好一樣多，若C組人數不少于14人，則估計該班的總人數是____________人.

分析：用四個未知數分別表示A組、B組、C組、C組另買三明治的人數，根據題意，從預計總餐費和實際各組的餐費相等，列出三個一次方程、建立未知數之間的關系及自變量的取值范圍，綜合思考分析，再進行解答.

解：設A組有 x 人，B組有 y 人， c 組有 z 人，C組有 w 人另買三明治，則w ，且 z≥14，x，y，z 均為正整數.

預計總餐費為 24.x+30y+27z=1449 ，則8x+10y+9z=483

A組實際餐費： 24x+15 .

B組實際餐費： 30y-15 ，

C組實際餐費：

所以 24x+15=27z+6w，30y-15=27z+6w ，即

把 ②③ 代入 ① ，得 27z+4w=483 所以 由 z 為整數，可知 6-w 為27的倍數.又 w 為正整數， z≥14 ，所以 w=6 z=17 ·把 w=6，z=17 代入 ② 和 ③ ，得 x=20，y=17 所以 x+y+z=20+17+17=54 .故該班總人數為54人.

點評：本題考查運用一次方程模型解決實際問題的策略.關鍵是弄清數量關系，正確列出方程組，重組不同未知數的關系，并根據自變量的取值范圍求出方程的解，需要借助整除的知識解不定方程，

4不定方程結合整體思想判斷正誤

例4（2023·臺灣中考）已知某速食店販售的套餐內容為一片雞排和一杯可樂，且一份套餐的價錢比單點一片雞排再單點一杯可樂的總價錢便宜40元，阿俊打算到該速食店買兩份套餐，若他發現店內有單點一片雞排就再送一片雞排的促銷活動，且單點一片雞排再單點兩杯可樂的總價錢比兩份套餐的總價錢便宜10元，則根據題意可得到下列哪一個結論正確.

A.一份套餐的價錢必為140元 B.一份套餐的價錢必為120元 C.單點一片雞排的價錢必為90元 D.單點一片雞排的價錢必為70元

分析：用三個未知數分別表示一片雞排、一杯可樂、一份套餐的單價，再根據兩個等量關系建立三元一次方程組，通過變形方程組、整體加減計算得出其中的某個未知數確定的值，即為問題答案.

解：設一片雞排的價錢為 x 元，一杯可樂的價錢為 y 元，一份套餐的價錢為 z 元，根據題意得

④×2-⑤ ，得 x=90 所以一片雞排的價錢為90元.故選：C

點評：本題考查對不定方程建模的理解與運用.首先，根據題意設未知數，建立三元一次方程組.其次，解三元一次方程組，這是難點.我們要觀察、分析未知數的系數特點，確定哪個未知數是確定的值，運用整體思想，將部分系數整體變形，進行整體加減，可得問題結果.

不定方程與其他數學知識相整合，打破原有知識格局，呈現出一派新景象.在學習時，我們要熟練掌握建立方程模型的本質.利用方程模型與其他知識的交匯，溝通各類方程知識間的內在聯系，培養學生理性思考問題的方式，提高知識綜合運用水平，提高學生的數學核心素養.