一次函數與反比例函數之“旋轉與最值”問題

1旋轉問題

一次函數與反比例函數相結合得到的有關旋轉類問題，成為中考的熱點題型，不僅考查學生對兩種函數定義、圖象、性質、解析式等基礎知識的理解，還要求學生能夠靈活運用這些知識解決實際問題.這類問題考查的知識點多，范圍廣，涵蓋了各種題型，因其難易程度不同，需要注意相關知識的綜合.比如以下幾個方面：（1）函數與方程.通過聯立兩個函數的解析式求解交點坐標，或利用函數值相等建立方程求解.（2）不等式.在求解函數值范圍、自變量取值范圍等問題時，可能利用不等式求解.（3）代數運算.熟練掌握代數運算技巧，如因式分解、配方、換元等，有助于簡化解題過程.總之，對于這類旋轉問題，需要在掌握有關基礎知識的同時，通過大量的實戰演練，熟悉各種題型，及時對做過的題目進行總結歸納，提煉出解題的規律和技巧.

例1（2024年濟南初三檢測）如圖1，一次函數y=k x+b（k≠0） 與反比例函數 的圖象交于點 A（1，a） ，與 x 軸相交于點 B（6，0） ，將直線 A B 繞點 A 順時針旋轉 交x 軸于點 c ，交 軸于點 E .設點 D 為反比例函數 y= 的圖象與直線 A C 的唯一公共點，連接O D ，證明： O D⊥ A C

點評：本題考查一次函數與反比例函數中的有關旋轉問題.解決這類問題的核心就是掌握有關旋轉的性質，以及一次函數和反比例函數的幾何性質，然后利用數形結合思想求解.

2最值探究問題

一次函數與反比例函數相結合的有關存在性最值問題，是一個靈活的考點.對于這類問題，要根據題目信息，對存在性問題進行試探性大膽猜想，然后給出必要的證明.另外，要掌握這類存在性問題的解題步驟：（1）仔細閱讀題目，明確題目已知條件和待求量；（2）尋找題目中的隱含核心信息，如函數圖象的特征、交點的位置等；（3）選擇合適的解題方法.最后要注意解題過程中的邏輯性和準確性，確保每一步的推理和計算都是正確的.

例2（2024·福建泉州初三檢測）如圖3，在平面直角坐標系 x O y 中，直線 y= 與反比例函數 的圖象交于 A，B 兩點，其中點 A 的坐標為

（1）求反比例函數的解析式；

（2）作直線 A M，B N 分別垂直于 x 軸和 y 軸，垂足分別為 M，N，A M 與BN交于點 c ，在第一象限內存在一點 D ，使得 ，連接 A D ，若 P 是 A D 的中點，連接 C P ，當 C P 最大時，求出此時點 D 的坐標及 C P 的值.

分析：第（1）問首先要求得點 A 的坐標，然后利用待定系數法求解.第（2）問首先要取 B C 的中點 R ，求得點 R 的坐標，再取 A R 中點 s ，求得點 s 的坐標，根據斜邊中線的性質、三角形中位線定理結合勾股定理求得 P S，C S 的長度，由兩，點之間線段最短知，當 c ，s，P 三點共線時， C P 取得最大值，然后利用待定系數法求得直線CS的解析式，再利用兩點之間的距離公式列式計算求得點 P 的坐標，最后根據中點坐標公式求解即可.

點評：本題主要考查反比例函數與一次函數相交線段最值交點存在性問題.解答問題的核心是熟知一元二次方程的解法、直角三角形的性質、勾股定理、三角形中位線定理等基礎知識，利用數形結合思想進行有關存在性的求解.

“解題的價值不是答案本身，而在于弄清是怎樣想到這個解法的.”在數學學習中，我們不僅要追求答案的正確性，更要關注對解題過程和方法的理解與掌握.只有這樣，學生才能真正提高數學素養和解題能力，為未來的學習和生活打下堅實的基礎.