初中數與代數領域內容的結構化設計

教授、博士生導師，中國教育學會課程專業委員會常務理事，中國教育學會基礎教育評價學會常務理事；義務教育數學課程標準研制組核心成員，全國中考數學評估組專家，全國高中數學學業質量監測評估組專家，北京師范大學教育質量協同創新中心數學首席專家；在Educationand InformationTechnologies，ComputersandEducation，Educational Studiesin Mathematics以及《教育學報》《教師教育研究》《教育科學研究》《數學教育學報》等國內外期刊發表論文100余篇，完成和在研項目20余項。

【關鍵詞數與代數；結構化設計；運算；數學素養

數與代數領域內容是學生認知數量關系、探索數學規律、建立數學模型的基石。學習這些內容，有助于學生從數量的角度清晰準確地認識、理解和表達現實世界。良好的結構化教學設計不僅能幫助學生建立清晰的數學概念體系，還能提升他們的推理能力、抽象能力、運算能力和模型觀念等數學核心素養。初中數與代數領域內容如何結構化呢？

一、數與代數各主題內部的結構化

1.“數與式”的結構化

“數與式”作為代數的基礎內容，應幫助學生理解字母在表述代數式和代數式運算中的作用，掌握字母與數的類比關系，從而通過代數運算進行一般性推理。

對于“數”的內容，首要的是合理安排自然數、整數、分數、小數、有理數、實數等內容，使學生逐步理解數的性質及其運算法則。例如，學生要先在小學階段學習自然數、整數、分數、小數及其基本運算等，到初中階段再擴展至學習有理數、實數，進而理解數系擴充后的運算法則。在此過程中，教師可以利用數軸幫助學生直觀認識數的連續性、比較數的大小;可以通過平方根概念引入無理數，引導學生理解實數體系的構成；等等。

對于“式”的內容，其層次性遞進安排需以符號化思維為核心，構建從具體運算到抽象表達的認知框架。其教學可以從算術表達式入手，依托生活實例自然過渡到用字母表示數的基礎代數式（單項式），幫助學生理解變量替代具體數值的意義；在此基礎上擴展至多項式，讓學生認識到代數式可以表示更復雜的數量關系；之后系統展開整式與分式的對比學習。在整式方面，通過單項式、多項式的加、減、乘運算（如合并同類項、分配律的應用等）強化代數變形規則；在分式方面，借助分母含字母的表達式，結合實際問題，強調分母非零的限制條件，辨析分式與整式的本質差異。

“數與式”的內容主線應為“有理數一實數一整式一分式”。這些內容通過數及運算、式及運算勾連起來，其教學應以數的運算規則為根基，逐步延伸至式的抽象表達。例如，在運算法則上，數的運算律可以自然遷移至式的運算。具體來說，有理數運算分配律的基本原理能延伸至整式乘法運算的展開過程中；分數的通分與約分邏輯與分式運算完全一致；等等。因此，數與式既存在具體與抽象的關系，又存在特殊與一般的關系。

2.“方程與不等式”的結構化

“方程與不等式\"涉及一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、不等式（組）及其解法等，它是代數知識體系的核心內容，是刻畫數量關系的重要模型，其教學結構應呈現“縱向類比、橫向推廣\"的立體化特征。

在縱向維度上，教師可以以“等式一不等式\"為主線，先從等式性質（如等式兩邊同時加、減、乘相同的數，等式仍然成立）出發，引導學生掌握一元一次方程的解法，接著通過實際問題（如人教版教材中“銷售中的盈虧\"問題），引導學生理解方程是一種表達數量相等關系的數學模型，解題應聚焦于未知數取值的確定，然后通過類比等式引入不等式，引導學生探析等式和不等式在變形規則上的異同，揭示其共性與差異，最后以生活實例（如人教版教材中“消費方案選擇\"問題）凸顯不等式在“范圍分析\"中的獨特價值。這個過程能體現從確定性關系到不確定性關系的思維躍遷。

在橫向維度上，這部分知識體系呈現“從單一到多元”的特征：一方面，從一元一次方程到二元一次方程組、三元一次方程組，強調利用代入、消元等方法研究多變量關系問題，深化學生對系統性建模的認知;另一方面，從單一不等式到不等式組，強調結合數軸法分析多約束條件下的解集關系，幫助學生掌握復雜問題的分層處理策略。這種結構既保持知識的內在一致性，又體現認知層次的提升。

“方程與不等式”知識的建構應以模型觀念為紐帶，通過方程與不等式的對比，形成“從等號到不等號”從單變量到多變量、從線性關系到非線性關系的結構化體系。這種設計方法有助于學生依托方程經驗跨過不等式學習的門檻，通過差異性辨析提高數學思維的嚴謹性，最終實現從基礎工具應用到復雜現實問題建模的能力躍遷。

3.“函數”的結構化

“函數\"主要包括函數的概念、一次函數、二次函數和反比例函數。其結構化設計應主要以“變量關系”為核心，引導學生探索事物變化的規律，并通過層層遞進的方式建立對函數的系統性認知。在內容結構上，三類初等函數均可遵循“概念一圖象一性質一應用\"的研究范式，如學習“二次函數”，可以先從典型生活情境中抽象出變量關系，接著用三種形式刻畫函數的規律，然后借助圖象分析函數的單調性、極值及變化趨勢等，最后應用二次函數解決實際生活中的問題。在知識結構上，“函數\"縱向銜接小學階段變量關系的相關知識與高中階段函數的形式化定義（如集合、映射等）；橫向貫通“數與式”\"方程”“不等式\"等知識模塊。具體而言，代數式是函數表達式的基礎，坐標系提供圖象分析工具，方程和不等式作為函數的特殊狀態與函數具有內在聯系。教師在教學中可以以數形結合為紐帶將函數思想貫穿于方程、不等式的求解過程中，如通過函數圖象交點求解方程、利用函數值域分析不等式解集等。

二、數與代數各主題之間的結構化

1.體現各主題內容之間縱向的邏輯關聯實數、代數式、方程、不等式、函數具有縱向的邏輯關聯。數是起點，實數通過字母表示數的符號抽象過程，并經過有限次的加、減、乘、除、乘方、開方等代數運算，可以轉化為代數式；方程與不等式是用等號或不等號進行關系建模、連接代數式形成的；函數是用含有其他變量的代數式表示方程中一個變量形成的，它是動態關系抽象的工具。

2.通過內容結構的相似性強化認知結構

數與代數領域內容設計可以利用內容結構的相似性，強化認知過程中方法的一致性建構，這是結構化設計的一種體現。如有理數和實數的內容通常按照\"定義一性質一運算一應用\"的研究范式展開，這體現了內容的結構化。有理數的教學可以通過引入負數將自然數擴充到有理數，繼而按照“有理數的概念一有理數的性質一有理數的運算一有理數的應用\"學習路徑進行。而實數的教學可以先復習有理數的學習路徑，再類比這樣的路徑展開探究，讓學生實現學習遷移。類似的，方程與不等式的常見研究范式是“概念一解法一應用”。研究函數，如一次函數和二次函數等結構相似的內容，通常遵循“概念一圖象一性質一應用\"的研究范式。研究范式的一致性不僅有利于凸顯相關內容的內在結構，還有助于學生建立系統性思維，強化認知結構。

3.通過研究方法的引領建立知識結構

數與代數領域內容的結構化要關注知識之間的銜接和溝通，通過類比、歸納、推廣、特殊化、轉化等數學思想方法的引領，建立不同知識之間的關聯。例如，算術中數的運算（如加法、乘法）可以類比遷移到代數中多項式的運算；算術中的等式性質可以推廣到代數中方程的解法。又如，將無理方程通過平方運算轉化為有理方程；將分式方程通過去分母轉化為整式方程；將高次方程通過因式分解或換元法轉化為低次方程；將多元方程通過代入法或消元法轉化為一元方程。這種轉化為構建結構化的方程知識體系提供了邏輯紐帶。

三、教學建議

1.設計序列化問題，引發整體性思考

為了讓學生建立結構化認知，教師應把握知識形成的關鍵點、知識之間的內在聯系以及問題變式的發散點等，設計恰當且具有啟發性的序列化問題，引發學生的整體性思考。以函數性質的教學為例，教師可以聚焦函數的性質有哪些、如何研究函數的性質等關鍵點及其關聯，設計3個引導性問題，引發學生對函數本質的整體性思考與理解。問題1：什么是性質？性質是一類事物共有的特性。問題2：什么是函數的性質？現實世界中的某些變化會隨著時間的推移而有增有減、有快有慢，有時達到最大值，有時處于最小值，這些現象反映到數學中，就是函數值隨自變量的增加而增加或減少，以及函數值何時最大、何時最小的問題，這些問題對應函數的性質單調性、最大值、最小值。問題3：怎樣研究函數的性質？教師可以引導學生利用函數的定義、圖象、解析式展開研究，經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等數學活動，積累活動經驗，發展數學思維，提高發現、提出、分析和解決問題的能力，培養獨立思考、探究質疑、合作交流的學習習慣。

2.設計探究性任務，引導深度思考

在設計探究性任務時，教師應以引導學生深度思考為核心目標，通過精心設計的問題情境和任務結構，引導學生從表層知識學習轉向深層次的理解與應用。首先，任務設計應基于學生的認知水平和興趣點，選擇貼近生活或具有挑戰性的問題情境。例如，在“一元一次不等式\"教學中，教師可以設計開放性問題：“某書店正在進行促銷活動，購買圖書可享受折扣。已知：購買金額滿100元享受9折優惠；購買金額滿200元享受8折優惠。請分析：在什么情況下一次性購買更劃算？在什么情況下分兩次購買更劃算？是否存在一種能使實際支付金額最小的購買方式？如果有，請給出具體的購買策略。\"作答這種問題，學生不僅需要運用方程及不等式知識深入分析問題，還需要結合實際情況優化方案。這種問題有利于培養學生的邏輯思維和問題解決能力。其次，任務設計應具有層次性，從簡單到復雜逐步推進學生學習。最后，任務設計應體現一定自主性。教師應鼓勵學生在探究過程中自主提出問題，并通過小組合作、實驗驗證、數據分析等方式尋找答案。例如，在探究“籃球拋物線運動”時，教師可以讓學生實際測量籃球的投擲高度和距離，收集數據并嘗試用二次函數建模，從而將數學知識與實際現象聯系起來。此外，教師應注重任務的評價與反饋，通過學生自評、學生互評和教師評價相結合的方式，引導學生反思探究過程中的不足，提升思維深度和學習能力。

3.強化算理教學，突出代數推理

在數與代數領域內容的教學中，教師應強調算理與數學推理，因為這是提升學生數學核心素養的關鍵。算理教學應注重從具體到抽象的過渡，幫助學生理解算法背后的原理。例如，在“有理數的加減法\"教學中，教師可以通過數軸直觀演示運算過程，幫助學生理解負數加正數的算理。同時，教師應通過歸納法引導學生探索規律，如探究“三角形數”“環形點陣”等，理解相關計算公式或表達式的形成過程。在代數推理的訓練中，教師應注重符號意識的培養和邏輯推理能力的提升。例如，在“數的整除性\"教學中，教師可以借助邏輯論證問題，如“證明四位數 能被4整除的充要條件是其末兩位數 能被4整除\"等，培養學生的符號意識和推理能力；在“一元二次方程\"教學中，教師可以引導學生通過配方法推導求根公式，體會代數推理的普遍性；在“函數\"教學中，教師可以引導學生分析函數圖象的變化規律，發展幾何直觀和推理能力；等等。

數與代數領域內容的結構化設計對數學學習至關重要，教師可以通過合理組織知識內容，構建各部分內容之間的邏輯聯系，并在教學中通過設計序列化問題、探索性任務以及強化推理訓練等教學手段，幫助學生形成完整的數學認知體系，增強數學核心素養，使其具備解決復雜問題的能力。

（姜惠敏系新疆石河子大學理學院副教授，黃建系四川省汶川中學校高級教師、北京師范大學訪問學者）

文字編輯劉佳