以有余數(shù)除法為錨點(diǎn)創(chuàng)新設(shè)計(jì)單元教學(xué)

本文針對(duì)有余數(shù)除法教學(xué)的現(xiàn)實(shí)困境，設(shè)計(jì)以“分物決策\(yùn)"為核心的大單元教學(xué)，基于“班級(jí)研學(xué)物資優(yōu)化分配\"大任務(wù)，從具身化操作、決策思維培養(yǎng)、跨學(xué)科聯(lián)結(jié)三個(gè)方面設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在解決序列化問(wèn)題的過(guò)程中提升估算、試商、驗(yàn)算等運(yùn)算能力，并創(chuàng)新設(shè)計(jì)素養(yǎng)導(dǎo)向的評(píng)價(jià)方式。

一、有余數(shù)除法教學(xué)的現(xiàn)實(shí)困境

1.認(rèn)知斷層現(xiàn)象

學(xué)生學(xué)習(xí)有余數(shù)除法時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知斷層問(wèn)題。武漢市某小學(xué)二年級(jí)10個(gè)班的問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果顯示， 6 5 % 的學(xué)生能準(zhǔn)確計(jì)算 2 3 ÷ 5 = 4 ? s 3 ”，但對(duì)“23塊餅干，每人分5塊，最多能分給幾人？\"這類實(shí)際問(wèn)題， 3 8 % 的學(xué)生錯(cuò)誤地選擇\"5人”。這一現(xiàn)象揭示出學(xué)生存在算法與算理脫節(jié)的問(wèn)題。深入追蹤發(fā)現(xiàn)，學(xué)生脫離具體分物情境列豎式計(jì)算時(shí)，計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生中有一半以上的學(xué)生難以解釋余數(shù)必須比除數(shù)小的內(nèi)在邏輯。這說(shuō)明算法操作與意義建構(gòu)之間的失衡，導(dǎo)致\"實(shí)物一表象一符號(hào)\"的認(rèn)知鏈難以形成。

2.問(wèn)題情境割裂

現(xiàn)行教材在有余數(shù)除法內(nèi)容的編排上存在問(wèn)題情境離散情況。如人教版教材橫跨3個(gè)單元分散呈現(xiàn)7類有余數(shù)除法應(yīng)用題，如“分鉛筆”“租船問(wèn)題”“周期問(wèn)題”等。這種編排方式導(dǎo)致例題相互孤立，缺乏一個(gè)貫穿始終的任務(wù)情境。這可能導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械記憶不同情境問(wèn)題的解題套路，難以建立一套通用的\"余數(shù)處理策略”。調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)“周期問(wèn)題”后，僅 3 7 % 的學(xué)生能自主遷移分物經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)計(jì)算解決“第38朵花是什么顏色\"這類問(wèn)題；大多數(shù)學(xué)生仍然依賴?yán)L制完整周期圖的策略解題。這些現(xiàn)象反映出離散情境教學(xué)導(dǎo)致的學(xué)生思維遷移受阻困境和解題策略固化危機(jī)。

3.評(píng)價(jià)導(dǎo)向偏差

對(duì)有余數(shù)除法的考查往往過(guò)度依賴計(jì)算正確率、解題速度等量化指標(biāo)，而要求學(xué)生闡明余數(shù)實(shí)際價(jià)值的開(kāi)放性試題占比不足且多為附加題。這種評(píng)價(jià)導(dǎo)向可能導(dǎo)致余數(shù)處理邏輯解釋能力、方案優(yōu)化意識(shí)等處于監(jiān)測(cè)盲區(qū)，不被教師和學(xué)生重視。有余數(shù)除法相關(guān)題目缺乏對(duì)\"是否需要進(jìn)一\"\"怎樣調(diào)整方案”等決策層級(jí)設(shè)問(wèn)的評(píng)價(jià)偏差，催生了“虛假問(wèn)題解決\"的教學(xué)怪圈。對(duì)“用載重6噸的卡車運(yùn)輸32噸貨物\"的典型案例， 7 3 . 9 % 的五年級(jí)學(xué)生僅滿足于呈現(xiàn) 的計(jì)算過(guò)程，而不去考慮“剩余貨物需再派1輛車運(yùn)輸”的實(shí)際工程方案。這體現(xiàn)了評(píng)價(jià)維度殘缺對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展的制約。

二、以“分物決策”為核心重構(gòu)概念網(wǎng)絡(luò)

1.錨定單元核心概念

教師以“有限資源的公平分配與數(shù)學(xué)表征\"為核心，構(gòu)建如下大單元教學(xué)概念體系。

分物公平性 整除與余數(shù)的產(chǎn)生 余數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)↓

與分?jǐn)?shù)除法的聯(lián)結(jié) 余數(shù)處理策略 現(xiàn)實(shí)決策需求（進(jìn)一法/去尾法/分?jǐn)?shù)表示）

從學(xué)科本質(zhì)看，這一概念體系聚焦數(shù)學(xué)建模過(guò)程，將分物活動(dòng)解構(gòu)為“現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化一數(shù)學(xué)問(wèn)題現(xiàn)實(shí)化\"的過(guò)程。“余數(shù)處理策略\"作為聯(lián)結(jié)抽象計(jì)算與真實(shí)情境的樞紐，要求學(xué)生突破機(jī)械運(yùn)算的局限，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展決策能力。例如，對(duì)“48人乘船游湖，每船限載6人，需要幾條船\"而言，余數(shù)“0\"在數(shù)學(xué)計(jì)算上看似完美，而在實(shí)際決策中卻要考慮安排空船以保障安全等現(xiàn)實(shí)因素。這要求學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)解題嚴(yán)謹(jǐn)性與現(xiàn)實(shí)決策靈活性之間的辯證關(guān)系。此外，該概念體系延伸至分?jǐn)?shù)除法，設(shè)置了“有余數(shù)除法結(jié)果的分?jǐn)?shù)表示\"認(rèn)知接口。

2.設(shè)計(jì)貫通性單元任務(wù)

為幫助學(xué)生理解和應(yīng)用有余數(shù)除法知識(shí)，教師針對(duì)四年級(jí)學(xué)生設(shè)計(jì)了貫穿大單元教學(xué)的“班級(jí)研學(xué)物資優(yōu)化分配\"大任務(wù)。該任務(wù)分8個(gè)課時(shí)實(shí)施，其實(shí)施階段、數(shù)學(xué)焦點(diǎn)和相應(yīng)的素養(yǎng)目標(biāo)如表1所示。

采購(gòu)清單制定階段要解決單價(jià)與數(shù)量的精算問(wèn)題。教師依托“用200元班費(fèi)采購(gòu)單價(jià)6元的筆記本，可以買(mǎi)多少本？\"問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生先計(jì)算得出4 2 0 0 ÷ 6 = 3 3 （本）…2（元）”，然后討論余數(shù)“2元\"如何處理、最終結(jié)果是33還是34。有的學(xué)生用估算方法驗(yàn)證，因?yàn)?6 × 3 3 ≈ 1 8 0 ， 1 8 0 lt; 2 0 0 ，所以確認(rèn)33本的價(jià)格在預(yù)算范圍內(nèi)；有的學(xué)生提出增補(bǔ)4元（ 6 - 2 = 4 預(yù)算，加購(gòu)1本以更好地滿足分配需求的想法；還有的學(xué)生提出可以把剩余的2元留作備用金，以應(yīng)對(duì)后續(xù)物資增補(bǔ)需求。午餐分裝階段的目標(biāo)是理解余數(shù)的現(xiàn)實(shí)不可分性。教師基于情境“17份盒飯平均分給5個(gè)小組，每組分得3份，還余2份\"提問(wèn)：剩余2份能否拆分？學(xué)生通過(guò)分餐過(guò)程演示，明確余數(shù)需保留，深化了對(duì)體現(xiàn)余數(shù)的現(xiàn)實(shí)不可分性問(wèn)題的理解。交通車輛安排階段的目標(biāo)是明確進(jìn)一法的決策邏輯。教師呈現(xiàn)問(wèn)題情境：43人乘車，每輛車最多能坐9人，需要安排多少輛車？學(xué)生計(jì)算得出‘ 4 3 ÷ 9 = 4 （輛）7（人）”后，教師引導(dǎo)學(xué)生討論4輛車夠不夠。學(xué)生發(fā)現(xiàn)余下的7人仍需1輛車來(lái)載，所以結(jié)果是5輛，從而深入理解了進(jìn)一法源于現(xiàn)實(shí)需求。剩余經(jīng)費(fèi)處理階段要關(guān)注小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)結(jié)。教師創(chuàng)設(shè)“結(jié)余的13元要平均分給8人\"的問(wèn)題情境。學(xué)生計(jì)算得出每人分得“1.625元”（ 1 3 ÷ 8 = 1 . 6 2 5 后，教師引導(dǎo)他們用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。學(xué)生寫(xiě)出 出1后，教師引導(dǎo)其對(duì)比兩種表征方式的差異。學(xué)生發(fā)現(xiàn)1.625元可看作1元6角2分5厘，直觀表示具體數(shù)值;而13能清楚地表示把13元平均分成8份。后續(xù)，學(xué)生在教師點(diǎn)撥下理解了小數(shù)與分?jǐn)?shù)的等值關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)兩者的轉(zhuǎn)化打下了基礎(chǔ)。

四個(gè)階段以余數(shù)為線索展開(kāi)，形成“計(jì)算（采購(gòu)） ? 理解（分裝） 應(yīng)用（車輛） ? 拓展（經(jīng)費(fèi)）\"的教學(xué)邏輯，體現(xiàn)了從知識(shí)習(xí)得向能力遷移的跨越。

三、教學(xué)實(shí)施的三重突破

1.具身化操作：從具象到符號(hào)的認(rèn)知腳手架

動(dòng)態(tài)分物實(shí)驗(yàn)。為幫助學(xué)生更好地理解有余數(shù)除法的概念，教師緊扣午餐分裝階段核心內(nèi)容“食物總數(shù) ÷ 小組數(shù) 每份量”，設(shè)計(jì)“23塊餅干平均分5組”的實(shí)驗(yàn)，并用磁性圓片和分隔板作為教具。實(shí)驗(yàn)分兩個(gè)階段。第一階段通過(guò)直觀操作感知余數(shù)存在。學(xué)生用磁性圓片代表餅干，用分隔板劃分出5個(gè)組別，通過(guò)逐一分發(fā)操作，得出每組分得4塊，還剩3塊，以此呈現(xiàn)分物后余數(shù)的實(shí)際狀態(tài)，并同步記錄算式 5 × 4 = 2 0 。第二階段制造認(rèn)知沖突揭示余數(shù)邊界。在嘗試給每組追加1塊餅干時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要5塊餅干，但手中僅剩3塊。這個(gè)矛盾點(diǎn)或者說(shuō)決策點(diǎn)出現(xiàn)后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比觀察生成“余數(shù) lt; 除數(shù)\"的關(guān)鍵認(rèn)知，明確了余數(shù)的取值范圍。

數(shù)形結(jié)合建模。針對(duì)學(xué)生在運(yùn)算中暴露的豎式對(duì)位錯(cuò)亂、單位混淆等問(wèn)題，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合構(gòu)建模型來(lái)解決。教師以\"23塊餅干平均分給5人\"的情境為載體，通過(guò)標(biāo)記法幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)具象操作與符號(hào)表征的協(xié)同。例如，教師用綠色色塊標(biāo)記分物過(guò)程，每完成一組分配，便在豎式計(jì)算結(jié)果中商的個(gè)位數(shù)字處涂色，幫助學(xué)生建立“商的個(gè)位數(shù)值與實(shí)際分配份數(shù)的個(gè)位數(shù)值對(duì)應(yīng)”的認(rèn)知；在分物操作與算式書(shū)寫(xiě)時(shí)同步標(biāo)注“塊”，通過(guò)“分掉20塊\"的階段性標(biāo)記強(qiáng)化單位識(shí)別。

2.決策思維培養(yǎng)：從算術(shù)到策略的升華設(shè)計(jì)變式問(wèn)題鏈。在交通車輛安排階段，為了培養(yǎng)學(xué)生的決策思維，提高其在不同情境下靈活運(yùn)用余數(shù)處理方法的能力，教師設(shè)計(jì)了階梯式問(wèn)題組。

基礎(chǔ)題：27名學(xué)生乘車，每輛車限乘6人，需要幾輛車？這個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生用進(jìn)一法計(jì)算 [ 2 7 ÷ 6 = 4 （輛）3（人），得出需要5輛車的結(jié)論，強(qiáng)調(diào)實(shí)際生活中涉及人身安全的問(wèn)題不可突破底線。

對(duì)比題：用27元購(gòu)買(mǎi)單價(jià)6元的筆記本，最多買(mǎi)幾本？此問(wèn)題要求學(xué)生用去尾法計(jì)算 [ 2 7 ÷ 6 = 4 （本）3（元），得出4本的結(jié)論，有助于其理解資源受限情況下，不能超出實(shí)際可支配資源來(lái)分配。

拓展題：用27分鐘做6分鐘/次的健身動(dòng)作，能做幾組？這個(gè)問(wèn)題旨在引入連續(xù)量測(cè)量的概念，學(xué)生可用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示結(jié)果，如 2 7 ÷ 6 = 4 . 5 （組）。

變式問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中理解余數(shù)處理方法的多樣性，增強(qiáng)其根據(jù)不同情境合理決策的能力。

提煉決策依據(jù)。在剩余經(jīng)費(fèi)處理階段的總結(jié)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生建立余數(shù)處理方法的“三維度\"判斷準(zhǔn)則。維度一是資源性質(zhì)，即判斷資源是可拆分還是不可拆分。例如，車輛座位屬于不可拆分資源，而貨幣可以找零，屬于可拆分資源。我們處理余數(shù)時(shí)要根據(jù)資源的性質(zhì)選擇合適的方法。維度二是安全要求，如車輛不得超載，必須優(yōu)先考慮安全因素，因此要采用進(jìn)一法解決問(wèn)題。維度三是結(jié)果精確度需求，即判斷是否允許用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。例如，健身動(dòng)作組數(shù)的計(jì)算允許半組的存在，此時(shí)可以用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。綜合考量三個(gè)維度，學(xué)生就能準(zhǔn)確選擇合適的余數(shù)處理方法，形成余數(shù)處理策略，提高決策思維能力。

3.跨學(xué)科聯(lián)結(jié)：從數(shù)學(xué)到生活的意義重構(gòu)

以計(jì)算機(jī)科學(xué)啟蒙跨學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)為例。在交通車輛安排階段，教師通過(guò)Python代碼演示余數(shù)運(yùn)算在循環(huán)隊(duì)列座位分配算法中的實(shí)際應(yīng)用。教師先呈現(xiàn)問(wèn)題：“23名學(xué)生按每組5人入座，如何快速確定每個(gè)人的組號(hào)與座位號(hào)呢？”接著，教師讓學(xué)生嘗試手動(dòng)分組，暴露效率低的問(wèn)題，自然引出編程解決方案。然后，教師進(jìn)行代碼拆解與可視化演示，最終在編程平臺(tái)上寫(xiě)出如下代碼。

python students=23

group_size=5 for i in range（students）：

group=i//group_size position=i%group_size

print（f\"學(xué)生{i}→第{group + 1}組第{position + 1位\"）

這段代碼會(huì)從第0名學(xué)生開(kāi)始，一直到第22名學(xué)生，逐個(gè)為他們確定所在小組和組內(nèi)位置。對(duì)于每名學(xué)生，代碼要做兩件事。一是計(jì)算該生所在小組，用該生編號(hào)（i）除以每組人數(shù)（5），取商的整數(shù)部分，得出組號(hào)，用這個(gè)組號(hào)加1得出實(shí)際組號(hào)。如編號(hào)8的學(xué)生，8除以5，商是1，可得他在第2組。二是計(jì)算該生的組內(nèi)位置，用該生編號(hào)除以每組人數(shù)，取余數(shù)，用余數(shù)加1可得其組內(nèi)位置。同樣以編號(hào)8的學(xué)生為例，8除以5，余數(shù)是3，可得他在組內(nèi)是第4個(gè)位置。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生修改參數(shù)，如students=37、group_size ： = 6 等，觀察余數(shù)變化對(duì)分組的影響等。

四、素養(yǎng)導(dǎo)向的評(píng)價(jià)創(chuàng)新

教師通過(guò)測(cè)試、課堂觀察、數(shù)據(jù)分析和訪談等方式評(píng)價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果。在單元后測(cè)中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生的策略遷移能力與前測(cè)相比顯著提高， 8 5 % 的學(xué)生能自主將“車輛調(diào)度\"的經(jīng)驗(yàn)遷移到“疫情物資發(fā)放”等新情境中，并且最優(yōu)方案產(chǎn)出率達(dá)到 6 3 % ，這說(shuō)明學(xué)生能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。課堂觀察結(jié)果顯示，學(xué)生在實(shí)物操作環(huán)節(jié)能準(zhǔn)確解釋商與余數(shù)的關(guān)系。通過(guò)課后訪談，教師發(fā)現(xiàn) 8 2 % 的學(xué)生能舉例說(shuō)明“余數(shù)必須比除數(shù)小\"的實(shí)際意義，這表明學(xué)生透徹理解了算理。

教師還引入“余數(shù)決策能力雷達(dá)圖\"形成性評(píng)價(jià)系統(tǒng)，構(gòu)建學(xué)習(xí)過(guò)程的動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)機(jī)制。系統(tǒng)通過(guò)采集學(xué)生的解題策略選擇軌跡、錯(cuò)誤修正日志及方案陳述視頻等多模態(tài)數(shù)據(jù)，從計(jì)算準(zhǔn)確性、策略合理性、方案創(chuàng)新性、表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)性四個(gè)維度生成可視化評(píng)估結(jié)果。學(xué)生可通過(guò)雷達(dá)圖了解自身優(yōu)勢(shì)與短板，開(kāi)展靶向訓(xùn)練。

（作者單位：武漢市光谷第二初級(jí)中學(xué)）文字編輯劉佳