初中旋轉(zhuǎn)變換結(jié)構(gòu)化復習策略探析

為破解傳統(tǒng)復習知識鞏固碎片化、題型練習機械化、反饋指導籠統(tǒng)化的問題，本文聚焦知識聯(lián)結(jié)、方法遷移、策略優(yōu)化，探析旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)構(gòu)化復習策略。

一、知識結(jié)構(gòu)化：構(gòu)建三層認知體系

1.生活化切入，夯實概念根基

把握旋轉(zhuǎn)三要素是理解旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)鍵點，筆者借助生活素材鞏固學生對旋轉(zhuǎn)三要素的認識，夯實基本概念。對旋轉(zhuǎn)中心，筆者通過門開合過程中門軸這個固定點等生活實例，強化學生對“不動點”作用的認識。對旋轉(zhuǎn)方向，筆者借助鐘表指針運動軌跡等，向?qū)W生強調(diào)順時針方向與逆時針方向的規(guī)范定義。對旋轉(zhuǎn)角度，筆者利用動態(tài)模型，如正方形紙片繞中心點旋轉(zhuǎn) 后與原來的圖形重合、鐘表走動15分鐘對應(yīng)分針順時針旋轉(zhuǎn) 等，深化學生對旋轉(zhuǎn)角度與圖形位置動態(tài)關(guān)聯(lián)的認識。在此基礎(chǔ)上，筆者結(jié)合實例引導學生從幾何直觀、代數(shù)表達和三角函數(shù)值三重視角理解和描述旋轉(zhuǎn)角。

2.系統(tǒng)性聯(lián)結(jié)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

為幫助學生構(gòu)建旋轉(zhuǎn)性質(zhì)“推理鏈”，筆者從旋轉(zhuǎn)三要素出發(fā)，引導學生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變換與其他幾何知識的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。首先，基于“找對應(yīng)點 對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心等距 對應(yīng)邊長度守恒 旋轉(zhuǎn)角相等 圖形全等”的遞推關(guān)系，建立證明框架；其次，通過平移、軸對稱等變換與旋轉(zhuǎn)變換的對比，凸顯旋轉(zhuǎn)“繞點保距\"的獨特性；最后，結(jié)合正三角形繞中心點旋轉(zhuǎn) 后“自重合”、圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后“恒重合\"等案例，深人理解全等變換。

在跨模塊知識融合方面，筆者先將旋轉(zhuǎn)與對稱結(jié)合，引導學生分析圖形旋轉(zhuǎn) 與中心對稱的等價性，然后將旋轉(zhuǎn)與相似聯(lián)動，引導學生探究旋轉(zhuǎn)縮放復合變換下相似圖形的構(gòu)造（如三角形相似中的“一旋轉(zhuǎn)二相似\"模型），最后將旋轉(zhuǎn)與對稱、函數(shù)圖象融合，通過平面直角坐標系中點旋轉(zhuǎn)的坐標變換，向?qū)W生滲透函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)規(guī)律，如拋物線關(guān)于 x 軸、y 軸對稱或繞坐標系中某個點旋轉(zhuǎn) 時，只要將頂點按要求對稱或旋轉(zhuǎn)，再結(jié)合新的開口方向（開口大小不變），就可以直接得到新圖象的解析式。

3.深層次拓展，強化數(shù)學本質(zhì)

筆者從三個方面拓展學生的思維深度：一是運動觀的培養(yǎng)，把旋轉(zhuǎn)視為圖形在平面內(nèi)的位置變化運動，理解其“保距、保角\"特性；二是不變性的挖掘，分析旋轉(zhuǎn)過程中線段長度、角度大小、圖形面積的不變性；三是對稱美的感悟，基于敦煌藻井紋樣、雪花晶體等藝術(shù)圖案，賞析旋轉(zhuǎn)變換的對稱美。

二、題型結(jié)構(gòu)化：實施四階復習策略

1.基礎(chǔ)操作題：三步規(guī)范作圖

基礎(chǔ)操作題的錯誤往往集中于選錯旋轉(zhuǎn)中心，如在平行四邊形繞對角線交點旋轉(zhuǎn)的情況下，部分學生錯誤地把圖形頂點作為旋轉(zhuǎn)中心。對此，筆者總結(jié)“定中心、標方向、抓關(guān)鍵點”三步規(guī)范作圖法，即先根據(jù)題目描述或圖形特征確定旋轉(zhuǎn)中心（如平行四邊形對角線交點），然后用箭頭標明旋轉(zhuǎn)方向，若題目未說明則需討論兩種可能，最后連接旋轉(zhuǎn)后的各頂點，并用圓規(guī)確保對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心等距。

2.綜合推理題：四步破解難題

教師可以引導學生通過“模型識別一方法提煉—結(jié)論梳理一體系建構(gòu)\"四個步驟破解難題。以“手拉手模型構(gòu)造技巧\"復習教學為例。課堂上，筆者呈現(xiàn)2024年深圳某區(qū)期末數(shù)學試題。

（1）如圖1，已知， Δ A B C 和△ECD是等邊三角形，點 B ， C ， D 在同一直線上，連接 B E ， 和邊 A C 交于點 G 連接 A D 和 B E 交于點 求證：

（2）在（1）的條件下，如圖2，將 Δ E C D 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度 ），連接CF。 ①∠ A F B = ·② 猜想線段 C F ， A F 和 的數(shù)量關(guān)系，并證明。（如果證明需要用到 ① 的結(jié)論，可以直接使用，無需再次證明。）

（3）如圖3，在 Δ A B C 中， A B = A C ，過 Δ A B C 外一點 D ，作 ∠ A D B = ∠ A C B ， B D 和邊 A C 交于點 F ， 連接 C D ，過點 A 作 A E ⊥ B F ， ，垂足為點 E ，若 C D = 3 B D = 9 ， A D = 7 ，請直接寫出 的值。

模型識別階段，筆者引導學生找出圖1中兩個等邊三角形的共頂點 C ， 發(fā)現(xiàn) C A 和 C B 長度相等， C E 和 C D 長度相等，其夾角也相等的典型特征。方法提煉階段，筆者引導學生從共頂點入手，將共頂點的兩組等邊以“大手拉小手\"的方式重新組合，獲得“手拉手”全等即 由此，問題（1）得以解決。證得全等后，筆者引導學生關(guān)注“第三邊\"（“大手小手”之外的邊） A D ， B E 的位置關(guān)系，根據(jù)“8字形”導角可得 ，根據(jù)第三邊上的高相等可得點 C 到 A D ， B E 的距離相等，進而通過證明得出 F C 平分 ，最后基于 ，在 上截取線段 F P . 使 F P = F C ，構(gòu)造等邊 Δ P C F ， 完成問題（2）的證明。對于問題（3），基于前兩問中的\"旋轉(zhuǎn)手拉手”全等和條件 A B = A C 筆者引導學生在 B D 上取點 K ， 使 A K = A D ，構(gòu)造“旋轉(zhuǎn)手拉手”全等即 Δ A B K ? Δ A C D ，并進一步求解。結(jié)論梳理階段，筆者引導學生歸納解題思路：“SAS”證全等 全等三角形的第三邊 A D 和 B E 相等 第三邊夾角 ∠ A F B 等于旋轉(zhuǎn)角 ∠ A C B 第三邊的交點與共頂點的連線 F C 平分第三邊的夾角 體系建構(gòu)階段，筆者引導學生從以下三個方向拓展學習。

方向一：婆羅摩笈多模型。如圖4所示，點 C 是兩個等腰直角三角形共有的直角頂點，“大手” C A ， C B 和“小手” C D ， C E 由原來的標準\"手拉手\"變?yōu)殄e位“手拉手”，可得如圖5所示的兩個新的三角形，即 Δ B C D 和 Δ A C E ，這就是婆羅摩笈多模型。其常常涉及如下結(jié)論： 中第三邊 B D 上的中線長度等于 Δ A C E 中第三邊 A E 長度的一半，且 B D 上的中線垂直于 此外，教師還可以將條件“ ”變?yōu)橐话銞l件“ ∠ A C B + ”，讓原模型變成如圖6所示的旋補四邊形（兩三角形頂角互補的普通等腰三角形共頂點），進而引導學生建立通用模型。

方向二：全等變相似。例如，把圖7所示模型的條件 變?yōu)椤? ”的普通關(guān)系（如圖8），則 Δ B C E ? Δ A C D 變成 Δ B C E ～ Δ A C D 從而將“手拉手\"全等歸納為“手拉手\"相似的特殊情況，實現(xiàn)從特殊到一般的過渡。

方向三：靜態(tài)變動態(tài)。筆者結(jié)合直角坐標系設(shè)計關(guān)于動點軌跡的問題，將“手拉手”全等從靜態(tài)變?yōu)閯討B(tài)。如圖9所示，在平面直角坐標系中，點 A 的坐標為 （ 2 ， 0 ） ，點 B 的坐標為 （ 5 ， 0 ） ，點 P 為線段 外一個動點，且 ，請直接寫出線段 A M 長的最大值及此時點 P 的坐標。

學生可以通過構(gòu)造共頂點 P 的等腰直角三角形解題，即先以點 P 為旋轉(zhuǎn)中心將 P A 順時針旋轉(zhuǎn) 構(gòu)造等腰 R tΔ A P N ， 得 ，利用這個“手拉手\"全等模型將AM轉(zhuǎn)換為BN，然后聚焦 Δ A B N ， 利用三角形三邊關(guān)系發(fā)現(xiàn) B N = A B + A N 時BN有最大值，求得最大值為“ ”，此時點 P 坐標為。

3.動態(tài)幾何題：兩階分析方法

動態(tài)幾何類習題指圖形在坐標系中旋轉(zhuǎn)前后變化的相關(guān)問題，教師可以引導學生借助兩階段分析法復習。筆者以下題為例做具體闡述。

【初步探究】如圖10，折疊三角形紙片 A B C ，使點 C 與點 A 重合，得到折痕 D E . 展開鋪平后， A B 與 D E 的位置關(guān)系為， A B 與 D E 的數(shù)量關(guān)系為 。

【再次探究】如圖11，將 Δ C D E 繞點 C 順時針旋 轉(zhuǎn)得到 Δ C M N ， 連接 B M ， A N ， 若 B C = 5 ， A B = 3 ，求 AN的值。

【拓展提升】在（2）的條件下，在順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當 C N / / A B 時，求AM的長。

第一階段：全面考慮旋轉(zhuǎn)角度。一般來講，幾何圖形旋轉(zhuǎn)角度可以根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程分為多個區(qū)間，如【拓展提升】中 Δ CMN的旋轉(zhuǎn)應(yīng)考慮 整個范圍，作圖時可以先過點 C 作 A B 的平行線，分為點 N 在點 C 上方和下方兩種情況，然后畫出每個區(qū)間內(nèi)符合條件的圖形。

第二階段：細致捕捉臨界條件。臨界條件的捕捉要依據(jù)臨界狀態(tài)，如線段重合、面積最大（最小）、垂直（平行）關(guān)系出現(xiàn)等。如上題，由 C N / / A B ， ∠ N 和∠ A 為直角，可得MN/AC，進而可構(gòu)造直角三角形，用勾股定理計算AM的長。

4.應(yīng)用創(chuàng)新題：真實問題建模

對于涵蓋旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱、中心對稱、函數(shù)圖象等知識的綜合題，教師可以引導學生通過找基本圖形拆解問題，降低難度，然后小組合作探究相關(guān)知識點的內(nèi)在聯(lián)系，討論解題思路和方法，形成解題模型。同時，教師應(yīng)設(shè)置跨學科問題。如，筆者融合物理學知識設(shè)計題目，讓學生分析齒輪傳動系統(tǒng)中旋轉(zhuǎn)角度的比例關(guān)系；應(yīng)用工程學知識設(shè)計題目，讓學生計算旋轉(zhuǎn)樓梯踏步板的投影長度與傾斜角度；等等。具體例題如下。

某游樂場有一個直徑為 5 0 m 的圓形摩天輪，其最高點距離地面 5 5 m ，其旋轉(zhuǎn)一周需要 1 2 m i n 。圓周上座艙 P （ 看作一個點）在距離地面 5 0 m 處，它逆時針旋轉(zhuǎn) 5 m i n 后距離地面的高度是 m。（結(jié)果根據(jù)“四舍五入\"法精確到0.1。參考數(shù)據(jù)： ）

三、策略結(jié)構(gòu)化：落實三環(huán)精準指導

診斷環(huán)節(jié)：三級錯因定位。首先是知識性錯誤，如學生將旋轉(zhuǎn)角誤認為兩對應(yīng)邊的夾角，而非對應(yīng)點連線的夾角。對此，筆者借助幾何畫板演示，先固定旋轉(zhuǎn)中心，再演示旋轉(zhuǎn)角形成的過程。其次是方法性錯誤，如對動態(tài)幾何題中的旋轉(zhuǎn)方向未分情況討論。對此，筆者強調(diào)旋轉(zhuǎn)問題“無圖常有陷阱”，而陷阱往往設(shè)在旋轉(zhuǎn)方向上。

干預環(huán)節(jié)：靶向訓練設(shè)計。以旋轉(zhuǎn)方向混淆問題的矯正訓練為例。在學生確立正確的方向認知基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計分層練習：基礎(chǔ)層為靜態(tài)圖形旋轉(zhuǎn)作圖、求相關(guān)角度等問題；提高層為多角度區(qū)間分析的問題，如旋轉(zhuǎn) 時圖形的位置及相關(guān)邊或角的計算等；拓展層為結(jié)合實際問題建模，如計算摩天輪運動過程中某個點的水平或鉛垂距離變化等。

評價環(huán)節(jié)：三維能力觀測。復習教學評價應(yīng)關(guān)注知識理解、方法應(yīng)用和策略創(chuàng)新三個維度。知識理解維度，如能否準確描述旋轉(zhuǎn)三要素及全等性質(zhì)，可用課堂提問、繪制概念思維導圖等方式評價；方法應(yīng)用維度，如能否獨立完成“手拉手\"模型構(gòu)造及相關(guān)證明，可通過專題測試、解題過程解說等方式評價；策略創(chuàng)新維度，如能否提出兩種以上解決動態(tài)幾何題的方法，可通過設(shè)計解決問題方案等方式評價。

（作者單位：徐光輝，武漢市光谷實驗中學；張娜，武漢盤龍經(jīng)濟開發(fā)區(qū)第一小學）

文字編輯劉佳