指向運算能力培養的盲校珠算除法教學策略

【中圖分類號】 G761

運算能力主要是指根據法則和運算律等進行正確運算的能力。培養學生的運算能力，離不開口算、筆算、簡算、估算等計算方法的教學。學生掌握多種計算方法，不僅有助于提高運算能力，而且有助于培養思維的靈活性。盲文正摸反寫的獨特讀寫方式，給視障學生書寫豎式筆算造成一定的障礙。因此，盲校普遍使用中國傳統的數字計算方法一一珠算，來解決盲校大數計算教學的難點問題。《盲校義務教育數學課程標準（2016年版）》建議教師要注意處理好珠算撥珠法與算理的關系：強調學生對算理的理解，要求學生能根據計算法則進行撥珠計算[1]。其中，珠算除法的演算過程較為復雜，需要注意的問題也很多，學生容易出錯，是珠算教學中的難點。

珠算除法的學習要求在人教版盲校數學教材三年級下冊第二單元“除數是一位數的除法\"中首次提出。“除數是一位數的珠算除法”是視障學生學習多位數珠算除法的知識基礎和思維基礎。珠算除法主要有“商除法\"和“歸除法”兩種。“商除法\"的計算方法和筆算除法計算原理基本相同，便于學生理解算理和加強口算練習。因此，盲校以“商除法”教學為主。在珠算除法教學中，教師應聚焦視障學生對除法意義的理解，引導視障學生在縱向聯系、橫向比較、縱橫貫通中化解珠算除法學習的難點，幫助學生理解算理、掌握算法，培養運算能力。

一、縱向聯系：深化珠算除法算理理解，筑牢視障學生運算能力根基

教師只有把學生的已有知識和觀念作為教學起點，并給予學生更多學習和建構的機會，才能促進學生的學習[2]。算理解決的是“為什么這樣算\"的問題，主要指計算過程中的道理、思維方式。視障學生只有理解算理、明確方法，才能靈活、簡便地計算。脫離算理探究而單純追求計算方法掌握的珠算除法教學，對視障學生的發展是不利的。因此，“除數是一位數的珠算除法\"教學需要將算理探究與算法掌握置于同等重要的位置，引導視障學生回憶學過的表內除法和有余數除法的實物操作、拼擺除法豎式等，將新舊知識聯系在一起進行珠算除法算理探究，喚醒視障學生已有的學習經驗，關聯除數是一位數的除法口算、筆算、珠算的算理，深化視障學生對除法算理的理解。

小學階段學生的思維以具體形象思維為主，視障學生更是如此。由于視覺受損，視障學生主要通過動手操作去感知、體會計算過程中的道理。珠算除法教學需要融人具體現實問題的解決過程，增強學習的趣味性和探究性，讓視障學生感受到珠算學習的價值。此外，教師在教學中需要組織參與度高、關聯性強、交互友好的平均分實操活動，讓學生直觀感受除法算理，為進一步探索珠算除法的合理程序打好基礎。

例如，在教學52-2時，教師應遵循視障學生“具體一半抽象一抽象”的思維縱向發展規律，緊扣數的意義和計數單位，組織平均分計數單位個數的活動，讓視障學生明白52除以2（被除數的首位除不盡）的算理是：5個十和2個一分別除以2得到2個十和6個一，2個十和6個一就是26。教師首先利用實物教具，指導學生進行分物求商，為其理解除法算理提供直觀支撐。然后引導學生根據分物求商的經驗，用樂高盲文積木，依據除的順序，逐一擺出商、部分積、余數。接著對照樂高盲文積木豎式講解珠算，在算盤上布數，算盤右邊滿檔撥被除數52，算盤的左邊撥除數2。第一步平均分被除數首位十位上的數5，每份分得2個十，說明除到被除數十位上數夠商1，這種情況稱為“夠除”。根據珠算中確定商的位置的口訣“夠除隔位商”，在被除數左邊第二檔（隔一位）上撥數2。第一次分掉了 2×2 個十，即4個十，從被除數5個十中減去4個十，差等于1個十，說明被除數十位上的數還剩下1（用2除5得到的余數）。第二步繼續平均分被除數十位上剩下的數1，每份分不到1個十，說明除到被除數十位上數不夠商1，這種情況稱為“不夠除”，要用到珠算另一句確定商的位置的口訣“不夠除挨位商”。平均分被除數前兩位（十位上剩下的數1和個位數2，即12個一），每份分得6個一，說明6是商的個位上的數。在被除數左邊的第一檔（挨位）上撥數6。第二次分掉了 2×6 個一，即12個一，從被除數12個一中減去12個一，差等于0，說明被除數已被完全分完了。這表明，做完了除法，并且沒有余數。

視障學生經歷具體化的“分物求商”逐漸抽象的“拼擺豎式”聽從指令的“撥珠演算”的活動過程，通過對照、比較、類推、遷移，發現雖然這些平均分的活動的呈現形式不同，但蘊含的除法算理是一致的。除法豎式是算理的直觀表達，能完整地呈現“平均分計數單位的個數\"的全過程，讓視障學生更好地領悟珠算除法的算理，為珠算除法算法學習打好基礎。

二、橫向比較：強化珠算除法算法學習，豐富視障學生運算能力內涵

精算在本質上是對于數的運算，算理是運算的本質[3]。珠算除法的算法是依據除法算理來構建與解釋計算的方法、法則，解決“怎么計算”的問題，以及如何算得方便、準確的問題。珠算“商除法”與筆算除法基本相同，運算時采用表內乘法口訣進行估商，從被除數中減去部分積，逐步求出商。因此，理解筆算除法算理、掌握筆算除法算法是學習“商除法”的前提和關鍵。

“商除法”與筆算除法的最大不同是商的位置、演算過程的呈現方式。“商除法”中商定位法“夠除隔位商，不夠除挨位商”，容易讓學生產生珠算中商的數位不固定的錯覺。“商除法”的演算過程難還原，表示被除數的算珠在計算中被一步步消減，每一步的部分積從被除數中減去，導致珠算過程中出現的錯誤難查，也不易改。在“商除法”算法教學中，教師需要引導視障學生通過除法豎式算法的學習來化解商定位、減部分積等珠算難點問題，帶領視障學生借助操作來理解除法豎式，清楚地看到豎式中的每個數所對應的操作中的具體對象，以加深視障學生對算理的理解，使其掌握筆算除法的計算法則，并在演算珠算除法的過程中加強與筆算除法計算法則的比較，歸納出“商除法”的計算方法。

例如，在教學一位數除三位數（商兩位數）的“商除法\"時，教師設計了溝通筆算的算理與算法之間關系的活動，重點解決筆算中當被除數的最高位不夠商1，要用除數去除被除數的前兩位數的問題，進而破解商定位的難題。教師以 148÷6 為例，講解被除數的最高位不夠商1的算法。首先指導視障學生將分物求商的操作過程轉化為用樂高盲文積木進行豎式計算，將“從高位算起\"的過程展開，邊分析算理，邊講解計算過程（見圖1），并引導視障學生有序思考以下問題：

①148÷6 是用6去除幾？② 當1個百除以6不夠商1個百時，該怎么辦？③ 14個十除以6，商應寫在哪位上？

通過拿學具分一分、邊擺豎式邊觀察、邊猜測邊擺等活動，將“1個正方體（1個百）和4個正方形（4個十）\"與\"148的前兩位數是14個十\"勾連起來，不斷強化視障學生的觸覺表象，用表象支撐視障學生的思維，將平分14個十（正方形）的操作經驗與6除14個十的算理算法建立聯系，促成以上三個問題的解決。使視障學生明確“從高位算起”的計算法則：先用除數試除被除數的首位，如果它比除數小，再試除被除數的前兩位，以及商的寫法“除到哪一位，就把商寫在哪一位的上面”

視障學生邊撥珠邊說計算過程。教師提問：“觀察算盤上的商24各個數位所在的位置與被除數148各個數位的位置，你有什么發現？\"引導視障學生思考勾連商的各位位置與被除數的各位位置的關系，進而自主歸納出除數是一位數的“商除法\"計算方法：除的順序和筆算相同，從被除數的最高位算起，按“夠除隔位商，不夠除挨位商\"來確定商各位的位置。先用除數去除被除數的最高位，如果夠除，就把商撥在被除數左邊第二檔上（隔一位）；如果不夠除，就去除被除數前兩位，把商撥在被除數左邊的第一檔上（挨位），再從被除數里減去部分積，然后按同樣的方法用除數去除余下的數，直到除盡或除到余數小于除數為止。

在整個教學過程中，教師利用視障學生已有的除法口算經驗，結合一定的直觀操作活動，使視障學生養成有序思考和操作的習慣，自主概括出珠算除法的計算規律，提升分析、歸納、遷移的能力。

三、縱橫貫通：構建珠算除法思維模型，助力視障學生運算能力提升

運算能力不僅包括會算和算正確，還包括對運算意義的理解。除法的運算意義是平均分配及乘法的逆運算等。學好除數是一位數的珠算除法，能促進對除法的一般計算方法的掌握。教師可借助直觀手段，在算理與算法之間架起一座橋梁，使視障學生能夠直觀地感悟計算的道理和計算的法則，加深對除法運算意義的理解。針對視障學生學習珠算除法中“商定位\"的難點問題，教師可設計縱橫交織、互相關聯的活動，讓視障學生感受商定位法“夠除隔位商，不夠除挨位商\"存在的必要性和作用，構建算理與算法相融的珠算除法思維模型，促進學生思維發展、運算能力提高。

一是橫向進行口算與珠算對比，讓視障學生領悟商定位法的內在道理。例如，讓學生分別用口算和珠算方法計算 18÷2.38÷2 ，引導學生發現：兩位數除以一位數的商不一定全是兩位數，當被除數首位上的數小于除數時，不夠除挨位商，要除幾十幾個一得幾個一，商的首位是個位；當被除數首位上的數大于等于除數時，夠除隔位商，是除幾個十得幾個十，商的首位是十位。但無論被除數的首位是否夠除，是商定位法保證了商的十位都在被除數首位（十位）左邊第二檔，確保商的各位在算盤上精準定位。

二是縱向開展新舊知識比較，使視障學生體悟確定商首位的重要性。例如，在用算盤計算 38÷2 /138÷2 的過程中，引導視障學生將一位數除兩位數的商定位法類推至一位數除三位數，覺察“被除數的首位是否夠除”是“確定商首位”的關鍵環節。通過對比活動，幫助視障學生經歷將除法意義與除法結構建立聯系的學習過程，培養其直覺思維能力。

三是關聯口算、估算、珠算的計算特點，幫助視障學生掌握商最高位的判斷方法。例如，視障學生通過口算 210÷7=30 ，帶著計數單位進行計算，形成“除幾十幾個十得幾個十”的認識，為珠算 252÷7 確定商的最高位打下基礎。珠算 252÷7 時，首先引導視障學生應用已有的估算技能，估出大致結果252÷7≈30 。利用估算可以檢查珠算除法商的最高位有沒有錯誤。然后用珠算求出準確商，將兩次結果進行對比，使視障學生體會用不同的算法不僅可以起到互補的作用，而且可以檢驗結果的正確性。

四是加強商的定位知識的專題練習，促使視障學生踐悟商定位法的思維模型。例如，通過數道按要求填寫被除數最高位上的數的練習，幫助視障學生理清珠算除法的各個環節，使視障學生能在珠算過程中有效地對各環節實施自我監控，特別要關注自己易出錯的壞節，如忘記在珠算前判斷商的位數等。教師提問學生：“口20÷3的商是兩位數，有幾種填法？”引發學生逆向思考：口20后面有兩位數，說明被除數“口20”是三位數，需填寫被除數最高位上的數。進一步啟發視障學生思考：因為除數是3，要使除得的商是兩位數，被除數最高位的數值不能大于或等于除數，即□20不能大于或等于320，所以□里只能填1或2。教師要讓視障學生認識到判斷商的位數是做珠算除法的第一步，也是極為重要的一步。通過一題多解和多題一解交替出現的練習，使視障學生理解運算的算理并形成有序思考的習慣，掌握珠算除法的方法，提高運算的熟練度。

總之，在珠算除法教學中，教師需要依據視障學生的認知規律，開展口算、分物求商、拼擺豎式、撥珠演算等活動，將操作、口算、豎式、珠算相結合，溝通表示除法意義的動作表征、語義表征、符號表征之間關系，幫助視障學生貫通對口算、筆算、珠算的算理一致性的理解，掌握珠算的方法，培養視障學生的數感和推理能力。同時，要提出一些啟發性的問題，為視障學生提供數學思考、傾聽、交流的機會，從而建立起活動、符號、算法之間的連接，拓展知識聯系的通道，豐富對除法意義的理解；要引導視障學生親歷建構兩位數除以一位數的口算、多位數除以一位數的數學模型的過程，使知識結構與認知結構有機融合，讓視障學生在結構化的認識中發展運算能力。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.盲校義務教育數學課程標準（2016年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：370.

[2]布蘭思福特，布朗，科金，等.人是如何學習的：大腦、心理、經驗及學校[M].程可拉，孫亞玲，王旭卿，譯.上海：華東師范大學出版社，2002：2-3.

[3]史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：27.

（責任編輯：黃春露）