聚焦高考常見二項式定理相關題型的深度剖析

二項式定理是高中數學的重要內容，也是高考數學考查的重點內容，在試卷中占有一定分值.在歷年高考中，二項式定理常以客觀題的形式出現，并且相關試題的命題風格與考查方向相對穩定.本文深入剖析與二項式定理相關的常見題型.

1求二項式展開式中的特定項及相關量

在二項展開式中，常常會出現諸如常數項、有理項、整式項以及系數最大的項等特殊項.求解這些特殊項的關鍵在于借助二項展開式的通項公式 .通過分析題目所給條件，構建關于 r 的方程或不等式，從而確定 r 的取值.

1）求特定項的系數

例1 （2024年北京卷4）在 的展開式中， 的系數為（ ）.

A. 15 B.6 C.-4 D.-13 易知 的二項展開式為

r = 2 求特定項的系數時，準確寫出二項展開式的通項公式是關鍵，根據通項中 x 的冪次列方程求解 r ，進而確定特定項系數，求解時要認真計算，避免出錯.

2）求常數項

例2 （2024年天津卷11）在 的展開式中，常數項為

O 易知 的二項展開式為 解析

令 6 （ r - 3 ） = 0 ，可得 r = 3 ，則 ，故常數項為20.

求常數項就是令二項展開式的通項公式中 x 的冪次為0，解出 r ，再代入計算，需注意通項公式的正確運用以及組合數的計算.

3）求有理項

例3 已知 （其中 ∣ a gt; 0 ∣ 的展開式中的第7項為7，則展開式中的有理項共有（ ）.

A.6項 B.5項 C.4項 D.3項

C 解析

易知展開式的第7項為

由題意可得 ，所以 n = 7 ， a = 1 ，則展開式的通項為

（ k = 0 ， 1 ， 2 ， ? s ， 7 ） .

令 ，則 k = 0 ， 3 ， 6 ，所以展開式中的有理項共有3項，故選D.

點求有理項，需令通項中 x 的冪次為整數來確定 r ，再根據已知條件求出 n 和 a ，最后利用i判斷有理項個數.

4）求展開式中系數的最大值

例4 （2024年全國甲卷理13） 的展開式中，各項系數的最大值是

易知 的二項展開式為

設展開式中第 r + 1 項系數最大，則

即 又 ，所以 r = 8 ，則展開式中系數最大的項是第9項，且該項的系數為 點找二項式系數的最大值，可依據通項設第r + 1 項最大建立不等式組求解，但要清楚二項式系數的性質，準確計算組合數.

5）展開式系數最小的問題

例5 的展開式中，系數最小的項是（ ）.

A.第4項 B.第5項C.第6項 D.第7項

易知 展開式的通項公式為 （ 0 ? r ? 1 0 ， r ∈ 【系數為

當 r 為奇數時， 才能取得最小值.由二項式系數的性質可知 是 的最大項，所以當 r = 5 時， 取得最小值，即第6項的系數最小，故選C.

確定展開式系數的最小項，可結合通項系數正負規律和二項式系數的大小判斷，但要注意系數正負規律與二項式系數變化特點.本題當 r 為奇數時展開式中的項的系數為負數，于是只需考慮 r 為奇數的情形.

6）求相關量的最大值

例6已知 ，若存在 k ∈ 使得 ，則 k 的最大值為

易知二項式 的通項為

二項式 的通項為

所以

若 ，則 k 為奇數，此時

所以 ，則 k lt; 1 0 0 - k ，解得 k lt; 50.又 k 為奇數，所以 k 的最大值為49.

本題聚焦于二項式定理的應用，解題的關鍵是分別寫出 與 的通項公式，然后根據 的條件，分析出 k 的取值特點，進而確定 k 的最大值.在整個解題過程中，要清晰二項式系數與項的系數的區別，熟練運用通項公式進行分析和計算，避免混淆概念導致出錯.

2求多項式和（積）的展開式中的指定項

對于多項式和（積）的展開式問題，可以將其化歸轉化為二項式問題求解.

例7 （2022年新高考I卷 的展開式中 的系數為 （用數字作答）.

因為 ，所以 的展開式中含 的項為

故 的展開式中 的系數為－28.

例8若 ，則 a" 3"=

易知

所以 （2號

將已知展開式左邊轉化為 的形式是解題的關鍵.

3求展開式中的系數和

在求解展開式所有項的系數和，以及奇數項、偶數項系數和問題時，可以用賦值法進行求解，一般依據題目所給式子的結構特點選擇賦值.

例9（多選題） 的展開式中 x 的奇數次冪項的系數之和為64，則（ ）.

A. a = 3

B.展開式中常數項為3

C.展開式中 的系數為30

D.展開式中 x 的偶數次冪項的系數之和為64

設 .令 x = 1 ，則

令 x = - 1 ，則

由 ①- ② 可得

因為展開式中 x 的奇數次冪項的系數之和為64，所以 2 × 6 4 = 6 4 （ a - 1 ） ，解得 a = 3 ，故A正確.

令 x = 0 ，則展開式中的常數項為 ，故B正確.

因為

其中 展開式的通項為

所以 展開式中 的系數為 ，故C錯誤.

由于各項的系數和 則偶數項的系數和為 1 2 8 - 6 4 = 6 4 ，故D正確.

綜上，選ABD.

點用賦值法求冪指數為整數項的相關系數和時，可通過 x 取特殊值構建等式，然后相加減得出奇數或偶數次冪項系數和.

例10（2022年浙江卷12）已知多項式 （ x + 2 ） · ，則

易知含 的項為 · ，則 令 x = 0 ，則

令 x = 1 ，則 ，所以 （2

求解展開式的系數和，賦值法是常用方法.首先要深入分析式子的結構特征，根據所求系數和的類型（如所有項系數和、奇數項或偶數項系數和等），選取恰當的 x 值代入原式.在代入計算時，確保每一步計算的準確性，因為任何一處計算失誤都可能導致最終結果錯誤.

例11 求和： 令 ，則

故

觀察式子 ，與二項式定理相似，但是缺少 ，需進行配湊.

4近似計算及同余問題

近似計算需先關注精確度，通過選取二項展開式的前幾項來計算結果.利用二項式定理處理整除和求余數問題時，通常把被除式轉化為與除式相關的二項式形式，再運用配湊法、消去法求解.

例12 （精確到0.01）.

易知原式等價于

3 2 - 0 . 1 6 - 1 = 3 0 . 8 4 .

近似計算要關注精確度，選取展開式的前幾項計算時應注意各項的系數及冪次，保證結果精確.

例13 現給出一個同余問題：如果 a 和 b 被 除得的余數相同，那么稱 和 b 對模 m 同余，記為 a ≡ b （ m o dm ） .若 ， ，則 b 的值可以是（ ）.

A.2023 B.2024 C.2025 D.2026

C 解析

因為

5 2 0 2 4"-C 2 0 2 4 1 5"2 0 2 3"+" C "2 0 2 4 2 5 2 0 2 2 "-… -C 2 0 2 4 2 0 2 3 5 1" + 1 = 5 （ 5 2"0 2 3 "-" C 2 0 2 4 1 5 2 0 2 2"+

所以 能被5整除，則 5 "（ 5 20 2 3 "- C 2 0 2 4 1 5 2 0 2 2 "+ C 2 0 2 4 2 5 2 0 2 1 "- 除以5余數為1，故 除以5余數為1.

又 2 0 2 3 ÷ 5 = 4 0 4 ? s 3 ， 2 0 2 4 ÷ 5 = 4 0 4 ? s 4 2 0 2 5 ÷ 5 = 4 0 5 ， 2 0 2 6 ÷ 5 = 4 0 5 ? s 1 ，所以 b 的值可以是2026，故選D.

解決同余問題時，可將原式轉化為二項式形式，再利用二項式展開得出余數，從而進行逐項驗證.

5 二項式系數與組合數的關系

二項式系數與組合數之間存在著緊密的聯系，在高考中常以等式的形式出現.這類問題主要考查學生對排列組合公式的理解和運用，通過分析各個等式是否成立，能有效檢驗學生對相關知識的掌握程度.

。例14（多選題）在下列有關排列數、組合數的等式中， ，則正確的是（ ）.

A. （204號 B. C. D.

0 對于選項 ，故 解析

A正確.

對于選項B，因為

所以B錯誤.

對于選項C，因為

所以C正確.

對于選項D，令

（204則

令 x = 1 ，可得 ，故D正確.

綜上，選ACD.

判斷排列組合等式時，可依據排列組合公式對各選項進行逐一分析.

6 與導數交會

求解與導數交會的二項式問題時，需對二項展開式的等式兩邊求導，再通過賦值法求出相關系數.這不僅考查了對二項式定理的理解，還考查了對導數的應用能力，體現了知識的綜合性.

例15 （多選題）已知 ，且存在正整數 n ，滿足 ，則下列結論正確的是（ ）.

A. n = 6 （204號B. C. 展開式中所有項系數和為126D. 展開式中二項式系數最大的項為第三項和第四項

因為 ，所以對上式兩邊同時求導得 .令 x = 1 ，則

令

則 ，所以

由 ①- ② 得

解得 n = 6 ，故A正確.

對于選項B和C，有

在 ③ 中，令 x = 1 ，則

由選項A知 n = 6 ，則

在 ③ 中，令 x = 0 ，結合選項A知 n = 6 ，則 ，故B錯誤，C正確.

對于選項D， 的展開式共有7項，二項式系數為 ，最大的二項式系數為 ，所以 二項式系數最大的項為第四項，故D錯誤.

綜上，選AC.

對于與導數交會的二項式問題，解題的核心思路是對等式兩邊進行求導，然后通過賦值來求解相關系數.

（完）