例析不等式的證明策略

2025-06-16 00:00:00楊華文

高中數理化 2025年10期

不等式是高中數學的重要內容.近幾年的數學強基競賽中經常出現以不等式為背景的證明題，尤其是結構具有一定對稱形式的不等式，它全面考查學生對重要不等式、基本不等式、柯西不等式，乃至琴生不等式等掌握的熟練程度，因而綜合性大、靈活性強.本文結合部分不等式證明題的解答，揭示一些不等式的基本證明策略，希望能為讀者提供思路和幫助.

1典例剖析

例1 已知正數滿足 a + b + c + d = 1 求證：（20

分析1使用基本不等式證明.

知識準備若 x gt; 0 ， y gt; 0 ，則，當且僅當 x = y 時，等號成立.

證法1因為 a + b + c + d = 1 ，所以

（ 1 + a ） + （ 2 + b ） + （ 3 + c ） + （ 6 + d ） = 1 3 ，于是

當且僅當

時，等號成立.又 a + b + c + d = 1 ，所以當時，等號成立.

綜上得證.

既然能夠捕捉到數字13這條敏感信息，找到已知和待證之間的這層關系，那么按照多項式的乘法予以展開，之后利用基本不等式就能順利求解.

分析2使用柯西不等式證明

知識準備，當且僅當存在常數 k ，使得時，等號成立.

證法2 記待證不等式為

因為

所以式 ① 等價于

即證

亦即證

也即證

又 a + b + c + d = 1 ，所以

（ 1 + a ） + （ 2 + b ） + （ 3 + c ） + （ 6 + d ） = 1 3 .

于是式 ② 等價于

由柯西不等式得

當且僅當

即時，等號成立.

又 a + b + c + d = 1 ，所以當時，等號成立.

綜上，得證.

利用柯西不等式證明不等式一直是近幾年數學競賽的熱點、難點.難在需要靈活根據柯西不等式的結構特點對題目條件或結論中的相關代數式進行適當的轉化與變形，為利用柯西不等式創造條件.因此，熟練掌握柯西不等式的各種變式及其推論是很有必要的.本題就需要把已知條件配湊為所證結論中分母的結構形式，從而使問題得解.

分析3使用加權形式的琴生不等式證明.

鑒于一些學生對琴生不等式不太熟悉，所以先補充相關知識.

知識準備 1）凸（凹）函數的定義

如果函數 f （ x ）在（ a ， b ）上連續且二階可導，對任意的 x ∈ （ a ， b ），若恒成立，則 f （ x ）在（ a ，b ）上是凸函數；若恒成立，則 f （ x ）在（ a ，b ）上是凹函數.

2）凸（凹）函數的性質（1）如果 f （ x ）在（ a ， b ）上是凹函數，那么

（2）如果 f （ x ）在（ a ， b ）上是凸函數，那么

說明：凹函數的兩個自變量的算術平均數的函數

值不小于其函數值的算術平均值，凸函數的兩個自變量的算術平均數的函數值不大于其函數值的算術平均值.

（3）上述性質推廣到 n 個自變量的情況如下：如果函數 f （ x ）在（ a ， b ）上是凹函數，那么對于任意的，都有

若 f （ x ）是凸函數，則不等號方向相反，當且僅當時，等號成立，此不等式即為琴生不等式.

（4）若 f （ x ）是（ a ， b ）上的凸函數，則對任意的為正數，有

若 f （ x ）是凹函數，則不等號方向相反，此不等式即為加權形式的琴生不等式.

證法3構造函數，則

所以 f （ x ）在（ 0 ， + ∞ ）上是凹函數.又因為 a + b + c + d = 1 ，所以由琴生不等式的加權形式得

中學數學教材中出現了相關知識（人教版普通高中教科書必修第一冊第101頁第8題（2）），教材中雖未提及凸（凹）函數這一概念，但在歷年競賽和各地高考試題中涉及凸（凹）函數知識或以凸（凹）函數為背景的試題頻繁出現.本題使用加權形式的琴生不等式顯得更為簡潔.

2 類題分析

例2在△ABC中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ，，求證：

證明不等式的左邊部分可證明如下.

因為函數在（ 0 ， + ∞ ）上是凸函數，所以，即，當且僅當a = b 時，等號成立.

又因為函數在（ 0 ， + ∞ ）上是增函數，，當且僅當a=b時，等號成立.

同理可證，當且僅當 b = c 時，等號成立；當且僅當 c = a 時，等號成立.三式相加得

又 a + b + c gt; 0 ，所以

當且僅當 a = b = c 時，等號成立.

不等式的右邊部分可證明如下.

因為是輪換對稱式，所以地位平等，不妨設 γ ? b ? a ，則

所以 .又因為函數在（0，+ ∞ i ）上是增函數，所以

同理可證 .三式相加得

即

得證.2號

求證本題時多次使用琴生不等式，然后利用不等式同向的可加性使問題獲解.

例3 已知正數a，b，c，d滿足a+b+c+d=4，求證：

證法1由正數滿足 a + b + c + d = 4 可得

b + c + d = 4 - a gt; 0 ? 0 lt; a lt; 4 ，

同理可得

則待證不等式等價于

構造函數，則

所以函數 f （ x ）在（0，4）上是凸函數，于是

所以

當且僅當 a = b = c = d = 1 時，等號成立.

綜上， 12得證.

證法2由于在已知條件和待證的結論中，，c ， d 地位平等，都是輪換對稱式，因此所證不等式成立的條件一定是 a = b = c = d .因為 a + b + c + d = 4 且4的算術平均值是1，而 a ， b ， c ， d 相等時就是 a = b = c = d = 1 ，所以

由 a + b + c + d = 4 ，可得

b + c + d = 4 - a gt; 0 ? 0 lt; a lt; 4 ，

同理可得

不妨令 - 1

所證不等式等價于

令，則，故 1

g （ x ）在 [ 0 ， 1 ）上單調遞增，所以

即同理可證兩式相加可得

即

亦即

當且僅當 a = b = c = d = 1 時，等號成立

綜上 12得證.

利用琴生不等式證明這道題顯得較為簡捷.由于本題涉及輪換對稱不等式，因此也可以用均值替換的方法進行證明.

例4已知正數 x ， y ， z 滿足 x + y + z = x y z ，求

證明由題意可知為正數，且 x + y + z = x y z ，則

由基本不等式可得

當且僅當 x = y = z 時，等號成立.

由柯西不等式可得

當且僅當 x = y = z 時，等號成立.

得證.

本題的證明需要綜合運用基本不等式與柯西不等式，要求考生具備敏銳的信息捕捉能力以及知識的遷移應用能力.

從這幾道題的探索過程可以發現，一些不等式尤其是輪換對稱不等式，本身形式很美，體現出它的外在美.同時，解法很有技巧性，體現出它的內在美.對于準備參加強基競賽或重點高校自主招生的學生而言，有必要自主學習琴生不等式.琴生不等式并不復雜，它源于教材，既有根可循，又有法可尋，可謂是“有源之水，有本之木”.另外，學生還需要重點掌握基本不等式及多維的柯西不等式.

3牛刀小試

練習1已知 Δ A B C 的內角 A ， B ， C 的對邊分別為，求證：