觀察分析 適當(dāng)轉(zhuǎn)化 多想少算 提升思維

高中數(shù)學(xué)作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，在培育學(xué)生邏輯思維、抽象思維以及創(chuàng)新思維方面發(fā)揮了重要作用.然而，審視當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生常常深陷大量機(jī)械性的計(jì)算練習(xí)之中，過度關(guān)注運(yùn)算結(jié)果，卻嚴(yán)重忽視了對(duì)數(shù)學(xué)問題內(nèi)在本質(zhì)的深度觀察與精準(zhǔn)分析，進(jìn)而阻礙了自身思維能力的有效提升.

數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)不僅是讓學(xué)生掌握知識(shí)和技能，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和解決問題的能力.傳統(tǒng)重計(jì)算輕思維的學(xué)習(xí)模式已難以滿足現(xiàn)代教育對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)培養(yǎng)的要求.如何學(xué)會(huì)觀察和分析問題，巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，減少煩瑣計(jì)算，進(jìn)而提升自己的思維能力，這是學(xué)生在復(fù)習(xí)備考中需要重點(diǎn)突破的挑戰(zhàn).本文將圍繞這一核心問題，提出“觀察分析、適當(dāng)轉(zhuǎn)化、多想少算、提升思維”的觀點(diǎn)，并通過理論闡述與案例分析探索有效學(xué)習(xí)策略.

1觀察分析：洞悉問題本質(zhì)

1. 1 觀察解析式結(jié)構(gòu)，理解問題本質(zhì)

例1(2024年新課標(biāo)Ⅱ卷8)設(shè)函數(shù) f ( x ) = ，若 f ( x )?0 ，則 的最小值為（ ）.

由題意可知 x + a 與 同號(hào).因?yàn)楹瘮?shù) y = x + a 與 都是增函數(shù)，結(jié)合圖像可知這兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)相同，即 x + b = 1 ， x + a = 0 ，所以 b = 1 + a ，則

所以 的最小值是 ，故選C.

本題若利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) f ( x ) 的最小值，則問題就變得復(fù)雜了，要求 的最小值，

關(guān)鍵要找到 a 和 b 的數(shù)量關(guān)系．觀察題中函數(shù)的特

點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)函數(shù) y = x + a 與 都是增函

數(shù)，所以當(dāng) x + a 與 同號(hào)時(shí)，它們的零點(diǎn)必然相同，這樣就得到 b = 1 + a .破解這一類試題的關(guān)鍵是觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，從函數(shù)的性質(zhì)入手，尋找參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

1. 2 觀察數(shù)據(jù)特征，尋找隱藏規(guī)律

例2（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷14)在圖1的 4 × 4 的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有1個(gè)方格被選中，則共有 種選法；在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是

11 21 31 40

12 22 33 42

13 22 33 43

15 24 34 44

第1個(gè)空：運(yùn)用排列組合的方法.

依題意可知被選出的4個(gè)方格必須每行有1個(gè)方格、每列有1個(gè)方格，這相當(dāng)于將四行和四列分別配對(duì).將四行先排好順序，所求的方法數(shù)即為四列的排序方法數(shù)，即4個(gè)元素的全排列數(shù)

因此，共有24種選法.

第2個(gè)空：整體變換化簡(jiǎn).

將第一列的每個(gè)數(shù)同時(shí)減去10，這樣無論選哪4個(gè)方格，它們中的數(shù)之和都減少了10.同理將第二列的每個(gè)數(shù)同時(shí)減去20，第三列的每個(gè)數(shù)同時(shí)減去30，第四列的每個(gè)數(shù)同時(shí)減去40.接下來將第一行的每個(gè)數(shù)同時(shí)減去1，第二行的每個(gè)數(shù)同時(shí)減去2，第三行的每個(gè)數(shù)同時(shí)減去3，第四行的每個(gè)數(shù)同時(shí)減去4.這樣就化歸為在方格表(如圖2)中選4個(gè)方格，要求每行每列都恰有1個(gè)方格且使得被選出的方格內(nèi)的數(shù)之和最大，然后將這個(gè)最大值加上 1 0 + 2 0 + 3 0 + 4 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 1 1 0 .

由于圖2中只有2個(gè)1，其余的數(shù)都不大于0，所以被選出的4個(gè)方格中的數(shù)之和不大于 1 + 1 + 0 + 0 = 2

另一方面，選圖2中2個(gè)1所在的方格、第一行第二列的方格以及第三行第四列的方格，這4個(gè)方格中的數(shù)之和恰為2.因此，在化簡(jiǎn)后的方格表中，被選出的4個(gè)方格中的數(shù)之和的最大值是2，故在原方格表中被選出的4個(gè)方格中的數(shù)字之和的最大值是 1 1 0=1 1 2

試題考查排列組合和離散最值問題，對(duì)于這一類試題，可利用整體變換來化簡(jiǎn)，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算.例如，在本題中可以將所有情況羅列出來，比較每種情況的方格中4個(gè)數(shù)之和，也可以對(duì)整個(gè)方格表中的數(shù)進(jìn)行整體變換來化簡(jiǎn)問題，還可以通過調(diào)整的方式依次固定每個(gè)位置上的數(shù)，最后求出答案.

1.3觀察解析式結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)奇偶性

例3（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷6)設(shè)函數(shù) f ( x ) = ，當(dāng) x ∈ ( - 1 ， 1 ) （204時(shí)，曲線 y = f ( x ) 與 恰有一個(gè)交點(diǎn)，則 a = （ ）

令 f ( x )=g ( x ) ，則

即 令 Cos x ，則問題等價(jià)于函數(shù) h ( x ) 有唯一零點(diǎn).觀察發(fā)現(xiàn)h ( x ) 是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的特征可知 h ( x ) 的唯一零點(diǎn)必定是 x = 0 ，所以 h ( 0 ) = 0 ，即 a - 1 - 1 = 0 ，解得a = 2 ，故選D.

本題也可以采用分離參數(shù)的方法，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，但這樣處理運(yùn)算量較大.如果能抓住問題的本質(zhì)（若偶函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則這個(gè)零點(diǎn)必定是0)，則可直擊問題的核心.這也充分說明了觀察函數(shù)結(jié)構(gòu)，挖掘函數(shù)性質(zhì)在解題中的重要性.

2適當(dāng)轉(zhuǎn)化：突破思維瓶頸

2.1轉(zhuǎn)化變量的主次關(guān)系，突出變量地位

例4（2025年八省聯(lián)考8)已知函數(shù) f ( x ) = .若當(dāng) x>2 時(shí)， f ( x ) > 0 ，則 的取值范圍是（ ）.

A. ( - ∞ ， 1 ] B.[-2，1]C.[-1，2] 正 ) . [ - 1 ， + ∞ )

當(dāng) x>2 時(shí)， f ( x ) > 0 等價(jià)于 x ( x - a ) - 或 將 a 視作未知量進(jìn)行變形可得 或 1622<0，由此推出-x

本題的研究對(duì)象為含參數(shù) 的函數(shù) f ( x ) = .若采用常規(guī)方法，將其寫成分段函數(shù)并繪制函數(shù)圖像的草圖，進(jìn)而求解 a 的取值范圍，不僅運(yùn)算量較大，還極易忽略 a 為負(fù)數(shù)的情況.這里將 a 視為主元，直擊問題核心，減少不必要的討論.在雙變量恒成立問題中，如果將 x 視為變量不利于問題的快速求解，則可另辟蹊徑，將參數(shù) 視為變量，這是主元法解題的核心思想.

2.2 整體換元，挖掘問題的本質(zhì)

例5 已知關(guān)于 x 的方程 在(0，2)上有解，則實(shí)數(shù) a 的最大值為（ ）.

0 χ2+χ+a，則3a=3t-χ2-x，所以 解析 原式可化為 ，即

因?yàn)? 所以 t = x ，則 ，整理得

，則 時(shí)， 單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，所以

（2 即 a 的最大值是 ，故選B.

換元法是一種常用的數(shù)學(xué)方法，用于解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題.它通過將一個(gè)復(fù)雜的表達(dá)式

或方程中的變量替換為另一個(gè)變量，從而簡(jiǎn)化問題的求解過程.對(duì)于本題而言，僅僅換元還不夠，還需要通過挖掘問題的本質(zhì)來優(yōu)化解題.

3多想少算：優(yōu)化解題路徑

例6（2025年八省聯(lián)考19）在平面四邊形ABCD 中， A B = A C = C D = 1 ， ，將 Δ A C D 沿 A C 翻折至 Δ A C P ，其中P 為動(dòng)點(diǎn).

(1)設(shè) P C ⊥ A B ，三棱錐 -ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都 在球 O 的球面上. （i）證明：平面 P A C 上平面 A B C ： （ii）求球 O 的半徑. (2)求二面角 A-C P-B 的余弦值的最小值

（1)（i）如圖3所示，因?yàn)?A C =

C D = 1 ，所以 ∠ C A D =

.又 ∠ B A D =

，所以 .

A B ⊥ A C ，經(jīng)翻折后同樣有

A B ⊥ A C .又 A B ⊥ P C ：

P C ∩ A C = C ，所以 A B ⊥

平面 P C A .又 A B ? 平面 A B C ，所以平面PAC ⊥ 平面 A B C

（i）作 O 在平面 A C P 內(nèi)的射影 （圖略），所以 平面 A C P ，故 ：

又 O A = O C = O P ，所以 ，所以 為 Δ A C P 的外心，則 sin∠APC= 2O'A，所以 設(shè) . O A = O B = R ，則 所以 ，解得 故球 O 半徑為

(2)如圖4所示，過 A 作 A H 上平面PBC于點(diǎn)H ，過 H 作 H F ⊥ P C ，交 P C 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ，連接A F ， P H ，所以 ∠ A F H 即為二面角 A-C P-B 的平面角，記為 α ， ∠ A P H 即為 A P 與平面 P B C 的線面角，記為 θ

由三正弦定理可得 sin θ = sin α sin ∠ A P C . 又 ，所以sin 取 B C 的中點(diǎn)為 ，因?yàn)? ，所以

進(jìn)而有cos 故二面角 A=C P-B 的余弦值的最小值為

本題作為壓軸題，是有一定難度的.常規(guī)方法是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，這是求解立體幾何問題的通用方法，不過運(yùn)算量比較大.根據(jù)球面的定義及正弦定理，可求出三棱錐P -ABC外接球的半徑.利用幾何法，作出二面角A-CP-B的平面角，并結(jié)合三正弦定理可以得到二面角A-CP-B余弦值的最小值.這樣的解題策略也符合新高考多想少算的命題要求，在求解二面角的最值時(shí)，如果向量法比較煩瑣，可從幾何關(guān)系入手，利用幾何法（如投影法、三正弦定理等）求解，優(yōu)化解題路徑.

4小結(jié)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決各種數(shù)學(xué)問題.通過倡導(dǎo)“觀察分析、適當(dāng)轉(zhuǎn)化、多想少算、提升思維\"的學(xué)習(xí)方法，能夠幫助學(xué)生擺脫傳統(tǒng)重計(jì)算、輕思維的學(xué)習(xí)模式，更好地適應(yīng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的要求.在復(fù)習(xí)備考過程中，學(xué)生應(yīng)養(yǎng)成善于觀察問題的習(xí)慣，從數(shù)據(jù)、圖形、條件與結(jié)論的聯(lián)系等多方面人手，準(zhǔn)確把握問題的本質(zhì)，同時(shí)要注重培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想，學(xué)會(huì)將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化、陌生問題熟悉化.

（完）