對一道解三角形“正切比模型”問題的探及思考

在高三復(fù)習(xí)備考中，學(xué)生不應(yīng)局限于對題自的具體解答和重復(fù)訓(xùn)練，而應(yīng)對問題進行深層次的探究及引申，充分挖掘題目的內(nèi)涵和外延，用更高的觀點去看待問題.本文以一道“正切比模型”問題為例，闡述它的解法探究、解法辨析、一般化推廣及試題遷移.2025年湖南省常德市高三一模數(shù)學(xué)第16題就是一道“正切比模型\"問題，筆者先對其從多種視角進行解法探究，對條件 進行轉(zhuǎn)化，再比較不同解法的特點，從而總結(jié)出求解此類問題的通法，歸納出問題的一般性結(jié)論.

解三角形中的“正切比模型”問題是指題目中出現(xiàn)三角形的兩內(nèi)角的正切值為定值的條件，或者經(jīng)過恰當(dāng)?shù)娜呛愕茸儞Q可以轉(zhuǎn)化為 =λ（其中λ為常數(shù)）的試題模型.與三角形經(jīng)常出現(xiàn)的內(nèi)角正弦、余弦條件相比，這類條件比較少見，故而這類試題能夠有效防止機械刷題的現(xiàn)象，達到檢驗學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的.解決此類模型有以下兩個難點：一是如何將題目所給的隱形條件轉(zhuǎn)化為兩內(nèi)角的正切比值，這需要從不同的視角用恰當(dāng)?shù)淖冃渭记蛇M行轉(zhuǎn)化；二是怎樣利用正切比值去解決問題，這需要在自己的知識儲備中找到恰當(dāng)且有效的工具去處理問題，即既依賴平時知識儲備的廣度和深度，又要有一定的解題靈感

1考題呈現(xiàn)

題目 已知△ABC的內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別（2號 為 ，且

（1）求邊 ：

（2）若tan ，求 Δ A B C 面積的最大值.

分析對于第（1）問利用邊角互化易得 c = 2 . 第（2）問是“正切比模型”問題，對學(xué)生而言，tan C = 2tan B 這一正切關(guān)系屬于解三角形中相對陌生的條件，如何處理此條件，處理后怎樣與△ABC面積聯(lián)系起來，怎樣將陌生的問題等價轉(zhuǎn)化為熟悉的問題是解

題的關(guān)鍵.

2 解法探究

解法1（切化弦 + 正弦有界性）因為 tan C = 2tan B ，所以 sin C cos B = 2 sin B cos C ，則

3si

由正弦定理得 3 c cos B = 2 a .又 c = 2 ，所以3cos B = a ，從而

當(dāng)且僅當(dāng) 即 時，等號成立，所以△ABC面積的最大值為

解法2（弦化切 + 基本不等式）因為

所以 ，故

又

所以

當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立.

解法3（數(shù)形結(jié)合）易知 均為銳角，如圖1所示，作邊 B C 上的高 A D ，則 因為tan ，所以 即 B D = 2 C D ，

從而

當(dāng)且僅當(dāng) B D = A D ，即 時，等號成立.

解法4（角化邊 + 配方法）因為tan C = 2tan B ，所以sin C cos ，故 cos B = （202 2 b cos C .由余弦定理可得整理得 ，從而再應(yīng)用余弦定理得

化簡可得 cos A = 2 ，即cos ，所以

當(dāng)且僅當(dāng) 時， 取得最大值

解法5（數(shù)形結(jié)合 + 換元法）同解法 如圖2所示，過點 C 作底邊 A B 的高 C E ，不妨設(shè) A E = 1 + d ， B E = 1 - d ， C E = h ，則 ，從而 ，整理得 ，所以 ，即 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，則 中

解法6（利用正切與面積的關(guān)系）設(shè)△ABC的面積為 S ，則

tan C . tanB

又tan ，所以

化簡可得 ，下同解法4.

3解法比較

上述六種解法呈現(xiàn)出不同的解題過程，但是解題思想都是相近的，即用等價轉(zhuǎn)化的思想將學(xué)生較為陌生的“正切比模型”條件轉(zhuǎn)化為相對熟悉的式子.先用弦化切、切化弦、角化邊、邊化角等思想得到三角形的三角與三邊之間的關(guān)系，再設(shè)法表示出三角形面積的函數(shù)式，最后需要選擇合適的方法求函數(shù)的最值.解法1是先切化弦，再利用配湊技巧得到三角形三角之間的關(guān)系，然后利用正弦定理角化邊且進一步表示出面積，最后利用正弦函數(shù)的有界性求解面積的最值.解法4也是先切化弦，再用余弦定理得到三角形三邊之間的關(guān)系，最后運用二次函數(shù)配湊法得到面積的最大值，這兩種方法是學(xué)生容易想到的.解法6利用正切與三角形面積之間的關(guān)系將正切關(guān)系直接化為邊的關(guān)系，是較為簡捷的解法.解法3與解法5將正切比值的條件與三角形的高相掛鉤，通過數(shù)形結(jié)合的思想簡化這一條件，提高了解題效率，考查了學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).解法2別具一格，它先將面積公式中的邊化角，再弦化切，從而與條件中的“正切比模型”相聯(lián)系，最后使用基本不等式求解最值.比較六種解法的特點和優(yōu)劣，可以使學(xué)生提煉出解決問題的通法，從而提高學(xué)生的解題能力.

4一般化推廣

若△ABC的三個內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊為 ，且ABC不是直角三角形，則下列四個條件等價：

（1） ：（2） c = （ λ + 1 ） b cos A ：（3） （2（4）

證明 易知

si si 即 （ 1 ） ? （ 2 ） ：

由（1）得 ，因為

即 （ 1 ） ? （ 3 ）

因為 ，所以由正弦定理得

由正弦平方差公式知

即 （ 3 ） ? （ 4 ） ：

上面所得的一般性結(jié)論一般稱為正切比值定理.

5 正切比值定理在高考及模擬考中的應(yīng)用

例1已知 Δ A B C 的三個內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊 分別為 ，且sin Acos ·sin C .求 b

T 若cos A cos C = 0 ，則 或 不妨 解析 設(shè) ，顯然 sin A cos C ≠ 5 cos A sin C ，與題設(shè)矛 盾，故cos A cos c ≠ 0

對sin A cos s A sinC 兩邊同時除以cos A cos C ，可得tan .由正切比值定理可得 ，所以 2 b = 3 b ，解得 b = 3

D 例2 已知△ABC的三個內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 ，tan ，且 c = 2 b ，求角 A

由正切比值定理可知

又 c = 2 b ，所以 .由余弦定理知

所以 ：

例3 在銳角△ABC中，已知 ：

（1）求 （2）求 的最小值.

O （1）不妨設(shè)△ABC的三個內(nèi)角 A ， B ， C 的對解析 邊分別為 a ， b ， c .由 ，可得 ，故 .由正切 （20號 比值定理可得 ，解得 λ = 3 ，故

（2）由正切恒等式知

tar 將tan 代人 ① 得

記tan A = x ，tan B = y ，則

因為△ABC為銳角三角形，所以 若 3，則 則 Δ A B C 不是銳角三角形，不符合題意，故 ，由 ② 得 則

例4 已知銳角 Δ A B C 的三個內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 ，若2cos 則 B 的取值范圍為

由2cos""可得""解析

"整理得"".由正切比值定理可得"，解得 λ = 3 ，則tan"".因為 C 為銳角，所以tan cgt;0 ，故

解得tan""故"

例5 已知△ABC的三個內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c ，且""，則

因為5sin C = 6 sin （ A - B ） ，所以sin C = sin（A-B）.由正切比值定理可知"""解得 λ = 1 1 ，從而

c = （ λ + 1 ） b cos A = 1 2 b cos A ，

本文所述的“正切比模型\"問題，其解題思想比較靈活，求解時要結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等知識，從切化弦、弦化切、邊化角、角化邊等角度將其轉(zhuǎn)化為熟悉的解三角形問題.在高考和模擬考的選擇題、填空題中，若發(fā)現(xiàn)“正切比模型\"的條件時，可以無需經(jīng)歷復(fù)雜的推理和論證，直接使用正切比值定理進行求解.事實上，在平時的學(xué)習(xí)中，學(xué)生若遇到一些重要的衍生結(jié)論，應(yīng)推導(dǎo)出其證明方法，同時掌握其使用場景，以便在考試中遇到類似考題時可以較快找到解題思路，

本文系安徽省合肥市教育信息技術(shù)2023年度課題“智慧課堂下利用GGB培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)探究能力的實踐研究”（項目編號：HDJ23017）階段性研究成果.

（完）