從定比分點的視角看解三角形

解三角形作為高中數學的重要內容，在高考中占有重要的地位，所以對三角形各種性質的研究是學生日常學習的重點.“奔馳定理”的常規認識是通過向量的角度并結合三角形重心的性質推導得出的，本文從定比分點的視角，對“奔馳定理”進行探究，以期幫助學生對三角形的性質形成進一步的認識.對于平面上的任意一個三角形，它的“四心”（即重心、內心、垂心和外心，它們分別是三角形三條中線、三條角平分線、三條高線、三條垂直平分線的交點）是學生學習的重點，因此文末附上關于三角形“四心”坐標公式的簡單推導思路.

1定比分點

1. 1 定比分點公式1

定比分點公式1：已知平面上不同的兩點 和點 P ，若" A P =λ"P B"，則點 P 的坐標為

證明當 λ = - 1 時，點 A 與點 B 重合，不符合條件，故 λ ≠ - 1 ，取一點 O （ 0 ， 0 ） ，設點 P （ x ， y ） .因為 ，即 0 ，所以 O P"=" ，則點P的坐標為（（+λx2，y1+λy2）.

對比定比分點公式與中點坐標公式（+2，y1+y2），可以發現定比分點公式只是給該端點增加了權重，使得原本的中點向該端點的位置偏移，這也就是定比分點公式的本質.那么可不可以將這一結論推廣至更一般的形式：在同一平面內，對于 n 個點，它們是否可以決定點 P 的位置呢？

1. 2 定比分點公式2

在定比分點公式1中，注意到點 A 與點 B 的關系是不對稱的，為了更好地實現推廣，需要將其轉化為如下的對稱形式.

定比分點公式2：已知平面上不同的兩點 和點 P ，若它們滿足ａ""P A + b P B = "0"（ ，則點 P 的坐標為 ：

證明當 a = - b 時，點 A 與點 B 重合，不符合條件，故 a ≠ - b ，即 a + b ≠ 0 . 若 （ （ a b ≠ 0 ） ，則 即 令 ，由定比分點公式，可得到點 P 的坐標為

1.3 廣義定比分點公式

廣義定比分點公式：已知平面上 n 個點 ， 和一點 P ，若 ，則點 P 的坐標為

證明 設 P （ x ， y ） ，由 ，知

將 x 和 y 視作常數，化簡后可得

至此，得到了廣義的定比分點公式，對于平面內任意 n 個點，都可以通過公式找到點 P 的坐標，也為后續研究三角形（解析幾何）提供了一個重要的工具.下面以三角形中的“奔馳定理”為例，看看定比分點在研究這方面的內容時有哪些獨特的優勢.

2 三角形中的“奔馳定理”

三角形中的“奔馳定理”：如圖1所示，對于Δ A B C 內任意一點 P ，都有

證法1 如圖2所示，延長 A P 與 B C 邊相交于 點 M ，則

故

因為

所以

證法2（定比分點視角）根據廣義定比分點公式，可知對于每一個平面內的點 P ，其坐標的唯一性等價于 中系數的唯一性.

設系數 α ， β ， γ 滿足

令 ，如圖3所 示，延長向量 ，則 ，故 點 P 為 Δ D E F 的重心，則

同理可得

因為點 P 為 Δ D E F 的重心，所以

故

定比分點視角的證明方法從一個全新的視角來看待點 P 和 Δ A B C 中三點的關系，可以讓學生更加深入地感受遞推所帶來的推廣能力.它不一定比常規方法簡單很多，只是從另一個視角讓學生深人理解“奔馳定理”.

3 應用

例1 設點 P 在△ABC內且為△ABC的外心（即△ABC外接圓的圓心），其中 .如圖4所示，若 Δ P B C Δ P A C ， Δ P A B 的面積分別為 y ，則 x + y 的最大值為

根據“奔馳定理\"可得 ，即 .兩邊同時 平方可得

又點 P 是 Δ A B C 的外心，所以 ，且

解得 ，當且僅當 時，等號成立，故 x + y 的最大值為

例2如圖5所示，已 知點 A ， B ， C ， P 在同一平 面內，且滿足 ， （20 則

O 由 ，可得 解析

，所以

由RP ，可得 1PC，所以 ，整理得

根據“奔馳定理”，可得

以“奔馳定理”為例，可以用定比分點的視角解決三角形（解析幾何）中的很多問題（如有關三角形“四心\"的很多性質與問題），本文給出三角形“四心”的向量表示及坐標，感興趣的讀者可自行學習和證明.

4拓展與補充：三角形的“四心”

設△ABC三個頂點的坐標分別為 ， ，則 Δ A B C 的重心坐標為

結合上面所推導出的廣義定比分點公式，可以得到 Δ A B C 重心的向量公式為

設△ABC的內角 A ， B ， C 的對邊分別為 記△ABC的內心為 I ，則三角形內心的向量公式為

ａI A + b" I B"+ c I C "=0 .

設△ABC的三個頂點的坐標分別為 ， ，根據上面所推導出的廣義定比分點公式可以得出 Δ A B C 的內心坐標為

記△ABC的垂心為 H ，則三角形垂心的向量公式為

同樣地，根據廣義定比分點公式，可以得到三角形的垂心坐標公式.設 Δ A B C 三個頂點的坐標分別為 ，則 Δ A B C 的內心坐標為

記△ABC的外心為 O ，則三角形外心的向量公式為

根據廣義定比分點公式，可以得到三角形外心的坐標公式.設 Δ A B C 三個頂點的坐標分別為 . ，則△ABC的外心坐標為

例3 （多選題）瑞士著名數學家歐拉在1765年證明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半”，后人稱這條直線為“歐拉線”.直線 l 與 y 軸及雙曲線 的兩條漸近線的三個不同交點構成集合 M ，且 M 恰為某三角形的外心、重心、垂心所構成的集合.若 的斜率為1，則該雙曲線的離心率可以是（ ）.

由題意可知 a ≠ b .設直線 l 的方程為 y = x + m ，l 與雙曲線 的兩條漸近線及 y 軸的交點分別為 A ， B ， P .聯立 可得點 A 的坐標為 .聯立 可得點B 的坐標為 .聯立 （ 可得點P 的坐標為 （ 0 ， m ）

因此，

接下來進行分類討論.

若 A 為重心， B 為外心， P 為垂心，則 ，化簡得 ，故離心率為

若 A 為重心， B 為垂心， P 為外心，則 ，化簡得 a = 0 ，故離心率不存在.

若 A 為垂心， B 為重心， P 為外心，則 ∣ B P ∣ = ，化簡得 a = 0 （舍）或2b，故離心率為

若 A 為外心， B 為重心， P 為垂心，則 ∣ A B ∣ = ，化簡得 a = - 3 b （舍）或 5 b ，故離心率 為

若 A 為垂心， B 為外心， P 為重心，則 ∣ B P ∣ = ，化簡得 或 b = 3 a ，故離心率為 或 ：

若 A 為外心， B 為垂心， P 為重心，則 ，化簡得 a = - 3 b 或 b = - 3 a ，故離心率不存在.

綜上，選ABD.

本文從教材上介紹的簡單定比分點視角出發，先將定比分點公式的形式進行變換，使之變為對稱的形式，之后將定比分點公式進行推廣.推廣之后，合理將其應用到三角形的“奔馳定理”及三角形的“四心”中，從推導過程來看，從一個新的視角看待點與點之間的關系，可以很好地培養學生數學抽象和邏輯推理等數學學科核心素養.

（完）