祖恒原理：跨越千年的幾何智慧，照亮體積計算的航道

1祖恒原理的數學史發展

祖晅原理是中國古代數學史上的重要成就，其發展脈絡也是球體體積公式的發現過程.

1. 1 《九章算術》中的公式

《九章算術》中記載：置積（立方）尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.相當于給出了已知球的體積 V 求球的直徑的公式，即 d = 3根號下"1 6／ 9V球，則V球 = 9／ 1 6} d" 3

1.2劉徽的發現與牟合方蓋

魏晉時期，數學家劉徽為《九章算術》作注時，發現其中關于球體的體積公式不準確.他在正方體內畫了一個內切圓柱，再橫向畫了一個同樣的內切圓柱，將兩個圓柱所包含的立方體共同部分（如圖1）取名為牟合方蓋，并計算發現 V牟合方蓋·但根據《九章算術》中球體的體積公式知 球外切等邊圓柱，可是圓柱又比牟合方蓋大，顯然《九章算術》中球體的體積公式不準確.雖然劉徽后來也未能找到計算牟合方蓋體積的方法，但他深入探索數學原理，首次提出了通過截面比較體積的創新方法，為后續數學理論的突破埋下了伏筆.

1.3 祖沖之父子的貢獻

祖晅站在父親祖沖之研究的基礎上，繼承了劉徽的截面思想，完善并正式提出了祖晅原理，將其系統化表述為“冪勢既同，則積不容異”.意思是夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

利用該原理，祖晅順利求出牟合方蓋的體積，他首先將求牟合方蓋的體積轉化為求立方體去掉牟合方蓋所剩余部分的體積，再發現剩余部分體積的 一個倒正四棱錐在任意等高處的截面面積總是相等的，則根據祖晅原理，剩余部分體積的 與該等高的倒正四棱錐的體積相等，于是問題最終轉化為求正四棱錐的體積，則V牟合方蓋= 3r，所以V球=

祖晅原理的發現過程不僅是球體體積公式的發現過程，還為計算不規則或不熟悉幾何體體積提供了思路和方法，展現了中國古代數學家從實踐探索到理論構建，從解決具體問題到提煉普適原理的卓越智慧與不懈努力，為世界數學的發展貢獻了中國智慧.

2 祖恒原理

祖晅原理：“冪勢既同，則積不容異.\"其中“冪”是橫截面面積，“勢”是幾何體的高，“積”是幾何體的體積.祖晅原理是用來計算一些不規則的幾何體的體積的重要原理，在使用祖啦原理時，要注意幾何體的等高性；其次要保證在等高處，兩個幾何體被任意平行于底面的平面所截得的截面面積必須相等.這里的“等高處\"指的是兩個幾何體在高度方向上的相同位置.截面積相等是應用祖晅原理的關鍵條件，它保證了在兩個幾何體中對應高度的部分具有相同的體積.

3 祖恒原理的應用

引例 利用祖晅原理推導半徑為 R 的球的體積公式.

分析1由球體的特征，可知上下兩個部分是對稱的，故只需求半球的體積，

由祖晅原理可知只需研究高 h （ 0 ? h ? R ） ）處的截面面積.由球的幾何特征知此截面為圓（如圖2），該圓的半徑為 ，故截面面積為 .觀察截面面積，其中 可以看作一個定圓的面積， 是變化的圓的面積，所以可以借助一個底面半徑為 R 、高為 R 的圓柱，挖去一部分幾何體來表示半球體的體積.此時可將求半球的體積問題轉化成求被挖去的幾何體的體積問題，而被挖去的幾何體是什么呢？

當 h = 0 時，截面圓的面積為 ；當 h = R 時，截面圓的面積為0，在高 h 處截面面積為 .要如何找到這個被挖去的幾何體？此時需要進行化歸與轉化，當 h 從0到 R 變化時，這個被挖去的幾何體的截面圓的半徑從0到 R 變化，被挖去的這個幾何體是由上述變化的圓堆疊而成，那這些圓可以隨意擺放嗎？當然可以.但是，沒有具體的公式計算這個被挖去的幾何體的體積，所以在轉化過程中要將原幾何體轉化為可以求且好求體積的幾何體.

可以將截面圓面積為0看成一個點，那么不妨思考底面是圓，且有一個頂點的幾何體是什么呢？很容易想到圓錐，于是可以將這些圓的圓心放置在過半球球心且垂直于半球底面的垂線上.此時可以直觀感受到被挖去的幾何體是底面半徑為 R 、高為 R 的倒置的圓錐（如圖3）.

這一結論是否正確呢？考慮過上、下底面圓心的軸截面，如圖4所示，只需證明高 h 處截去的圓與軸截面的交點 D ，以及高 h 為0和 R 處截去的圓與軸截面的交點 A ， B 在一條線上

設 ，則 ，故 ，故線段 A B ， A D 與線段 的夾角都相等，則 A ， B ， D 三點共線，所以與半 球等高且在同高處橫截面面積相等的幾何體是底面 半徑為 R 的圓柱中挖去一個同底等高的倒置的圓 錐，則

故

分析2通過分析1得到高 h 處的截面面積為 ，其中 是邊長為定值 的正方形的面積， 是邊長為 的變化正方形的面積，則可以借助一個底面正方形邊長為 、高為 R 的長方體，挖去一個底面正方形邊長為 、高為 R 的正四棱錐（如圖5）來表示半球體的體積，故

祖晅原理的精髓在于化歸與轉化的數學思想.它不是直接去研究復雜幾何體的體積，而是從宏觀的、截面面積相等的角度去思考，將復雜問題轉化為簡單問題.在構形方面，祖晅原理通常與球體、圓柱、圓錐、正棱柱、正棱錐等幾何體相結合.

在計算半球體的體積時，可以將半球體任意等高處的截面面積表示為一個定圓的面積減去一個動圓的面積.這種變形方法不但簡化了計算過程，而且更加直觀地展示了祖晅原理的實質.這種構形方法不但直觀易懂，而且能夠巧妙避開直接求球體體積的困難.

如圖6所示，廣州塔的整體輪廓可以看成是雙曲線的一部分繞虛軸旋轉得到的.以下是研究廣州塔的一個數學題型：將曲線 y ? 6 0 ， x gt; 0 ） 圍成的部分繞 y 軸旋轉一周，得到一個旋轉體，直線 y = h （ 0 ? h ? 6 0 ） 繞 y 軸旋轉一周形成的平面截此旋轉體所得截面圓的面積為；根據祖咂原理，構造適當的一個或多個幾何體，則此旋轉體的體積為 （后文中將此旋轉體簡記為雙曲旋轉體）.

分析1將雙曲旋轉體的體積轉化成一個圓柱和一個圓錐的體積之和.

令 y = h ，得 如圖7所示，高 h 處的截面面積為 ，則等高h 處的截面面積是半徑分別為2和 的兩個圓的面積之和，其中截面面積為 4 π 的部分，可以看成半徑為2、高為60的圓柱;對于余下部分 ，當 h 從0變化到60時，半徑從0變化到8，故可以看成是一個底面半徑為8、高為60的倒置的圓錐.因此，將此旋轉體的體積轉化為圓柱和圓錐的體積之和，故

分析2補形成圓柱后，先計算圓柱切割雙曲旋轉體后的幾何體體積，并將其轉化成一個圓柱的體積與一個圓錐的體積之差.

令 y = 6 0 ，得 若以雙曲旋轉體的上表面為底面（其半徑為 ），構造如圖8所示高為60的圓柱，其中圓柱的體積為 先計算此圓柱中減去雙曲旋轉體的切割體的體積.

在等高 h 處切割體的截面面積為

則等高 h 處的截面面積是半徑分別為8和 的兩個圓的面積差，其中截面面積為 部分，可以看成半徑為8、高為60的圓柱體；對于余下部分 ，當 h 從0變化到60時，半徑從0變化到8，故可以看成是一個底面半徑為8、高為60的倒置的圓錐.因此，此切割體的體積轉化為圓柱和圓錐的體積之差，故

所以此旋轉體的體積為

在這一問題中，對雙曲旋轉體的體積進行了兩種方式的轉化，一是轉化為圓柱和圓錐的體積之和；二是通過切割，先將原雙曲旋轉體補成圓柱，再利用祖晅原理求切割的幾何體的體積，將該切割的幾何體的體積轉化為圓柱減去圓錐的體積，最終用補成的圓柱體積減去該切割的幾何體體積即可得到雙曲旋轉體的體積.因此，動態的截面圖形的面積除了可以看作面積之和，還可以看作面積之差.在求幾何體體積時可以轉化為求兩個幾何體的體積之和或兩個幾何體的體積之差.無論是面積之差還是面積之和，本質都是比較兩個幾何體在等高處的截面面積是否相等.在代數式的變形方面，可以根據具體問題的需要選擇適當的變形方法，如面積差法或面積和法等.這些變形方法都是基于祖晅原理的實質進行推導的.

當然，除了轉化為圓柱與圓錐的體積之和（或差），還可以轉化為正四棱柱和正四棱錐的體積之和（或差），大家可以試試.

分析3由題意可知雙曲線的漸近線方程為 y = .將漸近線 軸旋轉一周，得到的旋轉體顯然是一個圓錐，此圓錐的底面半徑為8、高為60，故此圓錐的體積為

那么直線 y = 0 與 y = 6 0 在第一象限內與雙曲線及漸近線圍成的圖形（如圖9）繞 軸旋轉一周，得到的旋轉體是什么呢？我們不妨來看看.

如圖10所示，直線 y = h 與漸近線交于點 ，與雙曲線在第一象限交于點 h ），與 y 軸交于點 R （ 0 ， h ） ，故此旋轉體在高 h 處的截面是個圓環，此圓環的面積為

這是一個定值，所以借助祖晅原理可以將此旋轉體的體積轉化為底面半徑為2、高為60的圓柱體的體積與上述圓錐的體積之和，此圓柱的體積為 ，故雙曲旋轉體的體積

至此，我們借助雙曲線的漸近線將雙曲旋轉體的體積巧妙轉化為一個圓柱和一個圓錐的體積之和.通過這一轉化再一次深刻感受到借助祖晅原理可將一個陌生的幾何體的體積轉化為熟悉的幾何體的體積之和.

帶著這些知識，一起來試著借助祖恒原理計算一些陌生的幾何體的體積.

練習1圖11是一種四角帳蓬的示意圖，其中ABCD是邊長為 的正方形，分別以AC和BD為直徑的半圓面AOC與BOD均垂直底面A B C D ，參照祖晅原理求半球體的體積計算方法，則該帳篷的體積為

分析由圖12可知，四角帳篷在任意高為 h （ 0 ? h ? 1 處的橫截面為正方形，其截面面積為

故要構造等高 h 處面積為 的幾何體.該幾何體是由一個底面正方形邊長為 、高為1的正四棱柱挖去一個以此正四棱柱下底面中心為頂點、上底面為底面的正四棱錐（如圖13），故該帳篷的體積為

練習2已知雙曲線 c 的漸近線方程為 y = ± 2 x ，一個焦點為 ，直線 y = 0 與 y = 3在第一象限內與雙曲線及漸近線圍成如圖14所示的圖形OABN，則它繞 軸旋轉一周所得幾何體的體積為

分析根據祖晅原理，考慮高 h 處的截面面積.由題意可得雙曲線 C 的方程為 ，如圖15所示， y = h （ 0 ? h ? 3 ） 在第一象限內與漸近線的交點 D 的坐標為 ，與雙曲線在第一象限內的交點 E 的坐標為（ .記y = h 與 y 軸交于點 F （ 0 ， h ） ，則高 h 處的截面面積為 ，即該幾何體在任意高度處的橫截面面積都相等，為定值 π ，故構造一個半徑為1、高為3的圓柱體，且

祖晅原理是一個具有深刻內涵和廣泛應用價值的幾何原理，它體現了中國古代數學家在立體幾何領域的深刻洞察力和創新思維.通過深刻理解祖晅原理的核心思想和方法意義，學生可以更好地運用該原理來解決實際問題.此外，祖晅原理也啟示學生在解決數學問題時要善于運用化歸與轉化的思想方法，將復雜問題轉化為簡單問題，從而找到解決問題的有效途徑，

（完）